Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

23. Методика изуч-я показат-й ф-ии в средней школе.

Мотивировка. К показат-м ф-м подводят 2 процесса: размножение бактерий и реактивный распад. Предл-ть задачу: Нек-е бактерии дел-ся пополам каждые полчаса. Сколько бакт-й получ-ся из 1 бакт. ч/з 10 ч. Ответ: геом. прогрессия bn=b1qn-1, b20=220. Написать ф-лу для вычис-я числа бактер. (у) после х получасов у=2х. Задача о бактериях подсказала о целесообразности показат. ф-ии.

План: мотивировка, определение, график, св-ва, применение.

Перед введением  понятия показат. функции, вводится понятие степени с иррац. показателем. Почему ф-ция наз-ся показательной? потому что переменная находится в показателе степеней.

Определение: показательной ф-цией наз-ся ф-ция вида у=ах, где а – заданное число, а>0 и а ≠ 1. График показательной ф-ции: кривая, направленная вогнутостью вверх. Изуч-ся дедуктивно (в Башмакове). График показ-й ф-ии строится только по точкам.

Если а <0, то точки разбросаны по всей координатной плоскости и не могут намечать никакую кривую – можно дать практическую работу.

Св-ва:

1. обл-ть определения –R;
2. область  значений – R+
3. ф–ция непрерывна в любой точке области определения

Для док-ва нужно показать, что ур-е ах=b, где а>0, а ≠1 не имеет корней, если b≤0 и имеет  корень при b>0;  при а>1 ф-ция возрастает, 0<а<1- убывает.

Док-во: пусть а>1и x2>x1. Докажем, что y(x2)>y(x1). Так как x2>x1 , то x2-x1>0 => ах2-х1>1, т.е. >1,=> ах2> ax1

аналогично убывание. График  показ-ой. ф-ции имеет след. вид: y=ax.

     Y                                                                 Y

                               y = ax                                                   y = ax

                                a>1                                                       0<a<1

       1                                                                          1 

                                  X                                                                               X

 

 

Технология обучения показат-ой ф-ции:

• содержание (понятие степени с дробным показ-ем);
• определение показ-ой ф-ции;
• график;
• св-ва, исследование ф-ции;
• производная и её применение к исследованию ф-ции;
• уравнение;
• неравенство.

Применение: показ. ф-ция часто  испол-ся при описании разл. физ. процессов:

1. радиоактивный распад : eT 

2. барометрическая формула:      давление воздуха убывает с  высотой по закону:  – ф-ла Циолковского, связ. Скорость ракеты с ее массой m

В начале изучения:

1. рост бактерий в питательной среде
2. закон радиоактивного распада
3. рост численности населения
4. банковская система: подсчёт процентов

Рез-ты обуч-я описаны у Башмакова (табл.)

Как предлагают из-ть разные авторы: Башмаков: вводит понятие показ. ф-ии с пом-ю задачи на излучат-ю способность абс. ч. тела. Потом даёт определение степени с произв-м показат-м, св-ва степеней, потом исследов-е показ-й ф-ии (св-во показ. ф-ии, док-во очень кратко, добавляет в свойства ещё положительность), производная показ-й ф-ии, число е. Задачи рассм-т на монотонность.

Мордкович: Отлич-ся тем, что каждое св-во в виде теорем, описаны св-ва и предложены примеры. Рассм-ны св-ва на конкретном примере с целым и дробным показателем и сравнивает их.

Колмогоров: даёт опр-е показ-й ф-ии, разбирает на примере, потом св-ва (пишет, что док-во их не входит в программу), задачи на нах-е наиб. и наим. знач-я. График строится по точкам.

Алимов: Св-ва показаны те же. Но к каждому св-ву приводится док-во или объяснение. В других уч-х после всех св-в даётся док-во, а здесь после каждого.

 

 

 

 

 

 

 

 

21. Методика изучения квадратичной ф-ии

Это 2-я ф-ция, кот. изучается. Она изуч-ся поэтапно. При этом использ-ся индуктивный метод. Макарычев: y=x2 (7 кл.) → y=ax2 (9 кл.)     y=a(x-m)2  y=a(x-m)2+n → y=ax2+bx+с

В общем виде св-ва не формулируются. Но в общем виде конкретных ф-й (у=2х2+3х+5) св-ва перечисляются, и строится график разными способами (выделение полного квадрата по формулам, по точкам и с помощью движений и преобразований). А для ф-и у=ах2 в обще виде формулируются и записываются все св-ва.

Алимов: в 8 кл. изуч-ся вся ф-ция, причем ≈ к квадратному ур-ю, причем 2),3),4) в тексте учебника не рассм-ся. Дорофеев (9 кл.) начинает с общего вида, хотя график : y=x2  был в 7 кл..

y=x2 

                          S=x2

                   х

 В связи с построением  графиков начинают рассм-ся геометрич. преобразования графиков: растяжение  и сжатие, симметрия, параллельный  перенос по осям. Макарычев  начинает  изучение: y=x2  с задачи 

1. y= x2 +n
2. y= a(x-m)2
3. y= a(x-m)2 +n

Изготавливают шаблон. Св-ва: они выясняются исходя из графика, таблицы, формулы.

1) x=0, у=0 2) x ≠ 0, то у > 0 3) (-x)2 = (+x)2 = x2  ось ординат (у)- это ось симметрии

   y=ax2 , где а≠0      7 класс  а>0           

1) если а>0, то y=ax2 принимает полож-е значения при x≠0

    если а<0, то  y=ax2 принимает отриц-е значения при x≠0

2) парабола y=x2  симметрична относительно оси ординат.

3) если а>0, то y=ax2 возрастает при х≥0 и убывает при х≤0

     если а<0, то  y=ax2 убывает  при х≥0 и возрастает  при х≤0

Выделяют 3 уровня при изучении преобразования графиков:

1) В одной системе координат строятся конкр. графики и их преобразования.

2)  При рассм. графиков на 1 уровне дается общий вывод для ф-ции: y=x2  или  y=ax2+bx+с

3) Вообще для ф-ций.

В разных уч. этот материал рассм. по-разному:

1. уч. Алимова: рассм. только  на частных примерах;

2. Макарычев: даётся обобщение  и вывод, этот материал дается  для ф-и у=ах2

3. он же: для ф-и вида  у=аf(x)(мелким шрифтом).

Парабола обладает многими  интересными св-ми, которые использ-ся в технике. Например, на оси симметрии параболы есть точка, кот. наз. фокусом параболы. Если в этой точке находится источник света, то все отраженные от параболы лучи идут парал-но. Это св-во использ-ся при изготовлении прожекторов, локаторов.

y=x2 , (0;1/4)

y=ax2 , (0; 1/4а)

В общем для этой ф-ции св-ва не формулируются, но они формулируются для каждого конкр-го случая.

9 класс: После изучения  общефункц-х понятий: область значения,↑, ↓, и т.д., уч-ся снова возвращаются к квадратичной ф-ции вида y=ax2+bx+с, где а≠0, в и с любые. Рассм-ть частные случаи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. Неравенства в курсе математики и методика их изучения.

Материал, связанный с нер-ми, составляет значительную часть шк. курса мат-ки. Это объясняется тем, что неравенства широко испол-ся в разл. разделах мат-ки, в решении важных прикладных задач. В шк-х учебниках определения нер-ва нет. Запись, в к-рой 2 числа или 2 выражения содержащие переменные соединены знаком >,<, >=, <= называются неравенством. Различают 2 вида неравенств: арифметич. (или числовые: 2>1), в записи которых  учавствуют только числа  и неарифметич. или с переменной( в записи которых наряду с числами участвуют ф-ции одного или неск. переменных: x2+y2 ≥ R2). Сначала вводятся числовые. Нер-ва: строгое или нестрогое; одинакового смысла или противоположного смысла. Двойное нер-во: верное или неверное. Пропедевтика очень небольшая. Сначала уч-ся надо вспомнить как сравнивать: обыкновенные дроби, десятичные, обыкновенные дроби и десятичные, отриц. числа. Числовые неравенства нужны для того, чтобы записать результат сравнения чисел. На практике при сравнении чисел различных множеств мы используем разные методы сравнения (правила сравнения зависят от конкретного множества к-ому принадлежат числа). В мат-ке существует стремление к общему методу. Для сравнения существует общий метод (способ) сравнения, он основан на определениях: (a>b)<=>(a-b>0), (a<b)<=>(a-b<0), (a=b)<=>(a-b=0).

Алгоритм:

1)составляем разность  между левой и правой частью неравенства;

2) преобразовываем эту  разность;

3) устанавливаем знак этой  разности или сравниваем с  нулём;

4) делаем вывод на основании  определений.

Основные св-ва неравенств: если a>b, то b<a; если a<b, то b>a (антисимметричность)  если a>b и b>c, то a>c; если a<b и b<c, то a<c (транзитивность). Из числа типов заданий, в которых проявляется прикладная роль неравенств в курсе алгебры, это нахождение области определения ф-ции и исследование корней ур-я в зависимости от параметров. В изуч-ии нер-в большую роль играют наглядно – графические средства.

Пропедевтика – 1-7 кл., системат-е изучение – 8 кл.

Квадратные нер-ва: (Алимов связывает с урав-м), у Макарычева разорваны (8, 9 кл.) М. осущ-ть переход от реш-я нер-в к построению графика квадратич-й ф-ии. Найти нули ф-ии и посмотреть на каждом промеж-ке какой б. знак. Выбрать тот, кот. нужен по условию. Ответ считывается прямо с чертежа или графика.

Все нер-ва дел-ся на: линейное ах+b>0, квадратное нер-во ах2+bx+с>0, степенное нер-во хn>а, показат-е нер-во ах>b, логарифмич-е нер-во logax>b, иррац-е нер-во, тригон-е нер-ва.

Решение нер-в распад-ся на 2 шага: преобраз-е нер-ва к одному из стандартных и реш-е станд-го нер-ва. Общие приёмы реш-й нер-в: метод замены перем-х, метод интервалов, разложение на мн-ли, граф-й метод. Логар. нер-ва: Мордкович: 1) функц-но – графический, 2) логарифм-е 3) потенцирование (избавл-е от знака логарифма), 4) введение новой перем-й. Показ. нер-во: 1) приведение к одному и тому же основанию, 2) вынесение общ. мн-ля за скобки, 3) замена перем-й, логарифм-е, исп-я тождество, графич-й способ. Для реш-я триг-х нер-в необ-мо ввести понятии обратной ф-ии. Методы: использ-е графика ф-ии, с пом-ю един-й окр-ти.

Много мат-ла у Колмогорова и Мордковича.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Уравнения в курсе математики и методика их изучения.

     Существуют различные определения понятия уравнения. Рассмотрим следующее: уравнением называется равенство, содержащее неизвестное число. Значение неизвестного, при котором равенство становится верным, называют корнем уравнения. Решить уравнение, значит найти все его корни.

Роль ур-й: 1. Решение задач; 2. Объект изучения мат-ки; 3. Как формула. Уровни изучения: 1. Пропедевтический (1 – 4 кл); 2. Более продвинутый (5-6 кл.) 3. Систематическое изучение(7 кл.). Сущ-т 2 подхода к опред-ю урав-я: 1. Функциональный на общей обл-ти F пересекает G опред-я; 2. Алгебраический : Рав-во двух алгебраич-х выраж-й А(х) = В(х).

Понятие об уравнении даётся в 5 классе. Линейные уравнения с 1 неизвестным изучается в 6-7 классе, линейные уравнения с 2 неизвестными и системы 2 линейных уравнений с 2 неизвестными в 7 классе, квадратные уравнения и рациональные уравнения в 8 классе, тригонометрические уравнения в 10 классе. Понятие о дифференциальном уравнении, показательном и логарифмическом уравнении - в 11 классе.

1. В начальных классах рассматриваются линейные уравнения вида: 7+х=10, х(17-10)=70. Неизвестное число находят подбором, затем, используя связи между результатами и компонентами арифметического действия. Определ-е ур-й, сопутствующих понятий нет (корень, решение ур-й). 1кл: 2+=5; 2кл: 2+х=5. Уч-ся д. усвоить: правила, выработать навык решения ур-й с пом-ю правил. В конце 4 кл.: 2х+5=9.
2. в 5 классе уравнения решаются также на основе зависимости между результатами и компонентами действия, при этом часто предварительно проводится упрощение выражения. Учащиеся знакомятся с применением распределительного закона умножения  относительно +(-) к упрощению буквенных выражений. Выполняя такие упрощения, решают следующие уравнения: 4х+4х=424, 15а-8а=714 и т.д. также рассматриваются уравнения вида: 8,6-(х+2,75)=1,85.
3. В 6 классе при изучении  отрицательных чисел рассматриваются новые примеры линейных уравнений: -х=607, -а=30,4. На основании определения модуля числа решаются уравнения |x|=9,  |a|=3. новым шагом в ознакомлении учащихся с методами решения уравнений является изучение правила переноса слагаемого из 1части уравнения в другую. С помощью этого правила решаются следующие уравнения: 15у-8= - 6у+4,6 и др.

Либо в 5, либо в 6 кл. даются опред-я: ур-я, корень ур-я, решить ур-е. Вводится на задаче, наглядное пособие (рычажные весы) (Виленкин). Рычажные весы с один-й массой на чашечках нах-ся в равновесии, а математически это означает масса левой чашечки = массе правой. По условию задачи составляется уравнение. Уравнением наз-ся рав-во, содержащее букву, значение которой надо найти.

Дорофеев (6 кл.): понятие ур-я, определения не даёт. Понятие ур-я вводит на примере. Макарычев: впервые в 7 кл. буква замен-ся на переем-ю. Дает определ-е реш-я урав-я. Даётся новое понятие равносильности урав-я. Лин-е урав-я ах=b. Единств-й учебник, кот-й начинает давать задачи с парам-ми. Алимов: даётся задача, опред-е ур-й. Даётся понятие левой и правой части ур-я, корень ур-я. Нет равносильности. Обоснование правила решения ур-й он даёт на основе св-в верных числовых рав-в. Даются св-ва ур-й и алгоритмы решения ур-й.

4. В 7 классе систематизируются сведения о решении линейных уравнений, вводится понятие линейного уравнения. Линейные уравнения определяются с помощью равенства ах+b=0, где число а- коэффициент при неизвестном, b- свободный член. Решение линейного уравнения с 1 неизвестным полезно представить в виде алгоритма. Существенным шагом в 7 классе является введение понятия равносильных уравнений, а также системы 2 уравнений с 2 неизвестными.
5. Для темы квадратного уравнения, изучаемой в 8 классе характерна большая глубина изложения. Уравнение вида ах2+bх+с=0 , где а≠0, b, с-любые числа называется квадратным уравнением. В начале изучаются методы решения неполных квадратных уравнений, где 1 из коэффициентов b или с (или оба)=0. далее выводится формула корней квадратного уравнения и рассматривается теорема Виета, которая показывает зависимость между корнями и коэффициентами кв. ур-я. Владение теорией квад. ур-й позволяет учащимся решать биквадратные ур-я и уравнения вида : ,  при дальнейшем изучении учащиеся знакомятся с методами решения  тригоном., показат. и др. видов ур-й и поэтому им полезны задания на определение способа решения ур-й. Выполнение таких заданий целесообразно проводить в 2 этапа:
1. в начале для группы ур-й указать только способ решения.
2. После этого решить ур-е.