Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

13. Методика обучения приближенным вычислениям.

Тема усиливает практическую направленность школ. курса мат-ки. Также на практике часто приходится иметь дело с приближенными вычислениями. Мы сознательно заменим число его приближением, т.к. точного значения его нам не требуется. В мат-ке имеется спец. раздел «Вычислительная мат-ка», где изуч-ся теория приближенных вычислений. В школе даются его основы. Матем. аппарат  приближенных вычислений исп-ся в курсе физики, химии, где требуется находить числовые зн-я величин с пом. приборов, да еще надо знать погрешность вычислений по формулам. Приближ. вычисления изуч-ся в мат-ке, но в разных уч. имеется разл. степень детализации. Исп. разл. методические находки. Полнее эта тема в уч. Макарычева и Никольского. До сих пор этот раздел вызывает трудности для уч-ся. Он вроде бы и не нужен для мат-ки, но всё-таки матем. основы даются в мат-ке. Основные методы:

1. метод границ (нижняя  и верхняя граница приближ. зн-я). В главе неравенства: 3<a<4,  <3a<  ,  <a/5<  . Суть: один раз проверяется с недостатком, а второй – с избытком. Метод универсален. М. решить любую шк. задачу.

2. метод подсчета цифр. (практические приёмы вычислений). Особ-ть – его вероятностная природа. Вычислитель в больш-ве случаев уверен в получаемых рез-х.

3. метод полного и точного  учета погрешностей исх. данных.(основан на использов-ии формул, относящ-ся к границам относит-й и абсолют-й  погрешности.

«Точное число» и «приближённое число» - считают, что эти термины устарели, надо говорить о точном и приближённом значении числа.

Место изучения:  мат-ка - 5-6 классы; Макарычев - 7-8 классы (тема разбита); Алимов-8класс (всё сконцентрировано вместе); Дорофеев - 9 класс (очень мало).

Источники: 1. измерение величин с пом. соответствующих приборов. Почему? а) инструменты не вполне точны; б) в измерении неточности.

2. счёт большого числа  предметов;

3. всякого рода прикидки (на глаз) в вычислениях;

4. округление чисел - это  замена числа его приближенным  зн-м из практических соображений;

5. использование таблиц, микрокалькуляторов  и т.д.

5-6 классы: понятие о приближённом  значении числа (величины) с недостатком  и избытком.

М ≈ (4+5)/2=4.5

 Округление чисел.(5-6 кл) Это замена числа другим числом, выбор которого определяется по правилу. Замена некоторых цифр нулями: 123≈120. В десятич-х дробях легче ученикам.

Округление десятичных дробей. Различные подходы. 1. К правилу надо подвести на конкретной задаче: нужно перевезти 23 т. груза. Сколько рейсов должна сделать 5-титонная машина? 23/5=4.6 машин.

Из практических соображений, нужно 5 рейсов машины. 2. составим двойное нер-во: 4<4/6<5.

Выбираем лучшее из них, т.е. то число, которое ближе к 4.6

        4                 4.6        5    

Нужно рассмотреть 2-3 задачи. См. уч. и дальше подвести к правилу.

отбрасываем                     прибавляем на 1       

 

                    2   3   4     5    6      7     для десятичных дробей.

7-9 классы.

Округляя число в 5-6 классах, мы не задумывались в точности приближения? А для того, чтобы узнать эту точность приближения, нужно ввести новые понятия: 1. абсолютная погрешность (погрешность - Дорофеев, точность приближения). Она характеризует приближение (отклонение) точного числа от приближенного числом, т.е. мы имеем количественную характеристику. Такой характеристики достаточно, чтобы сравнить точность измерения одной и той же величины.  Задача: Один уч-к сказал, что 1000 уч-в в школе; 2-й - 950 уч-в. Чей ответ точнее, если в школе 986 уч-в.

Нужно составить разность: 986-1000=-14, 986-950=36. ответ: у 1-го точнее, он ближе к действительному.

Важен ли знак числа?  Нет, важно только отклонение. Пользуемся понятием модуля или абсолютной погрешности.  │х-а│ = h, х=а±h.

Пример: с пом. графика найти значение ф-и:

1.52 = 2.25

 

                            2.25

 

 

                                        

 

                                                          1.5

28. Методика введения понятия интеграла. Приложения интеграла.

В данный момент в школе большее внимание уделяется понятию первообразной, нежели понятию интеграла. Для введения понятия первообразной функции можно обратиться к таблице, в которой записаны функции и их производные, и поставить задачу воспользоваться ею для отыскания функции, производная которой равна данной (взятой из столбца производных)

1)y = c , y¢ = 0;  2)y = x , y¢ = 1     3)y = x2 , y¢ = 2x; 4)y = x3 , y¢ = 3x2;    5)y = x – 2 , y¢ = -2x- 3;   6)y = x - 3 , y¢ = -3x- 4;

7)y = cos x , y¢ = sin x; 8)y = sin x , y¢ = cos x

Дальнейшее развитие этой задачи: найти ф-ции, производные которых равны x2, x3, x – 2, x – 3. Поставленная задача решается неоднозначно: для каждой функции найдётся бесконечное множество функций, производная которых равна данной функции, эти функции отличаются только постоянной. После вводится определение первообразной ф-ции: Ф-ция F(x) наз-ся первообразной для функции f(x) в данном промежутке, если для всех х из этого промежутка F ¢ (x) = f (x).

Теперь таблицу можно переписать так:

1)f (x) = 0, F (x) = С;   2)f (x) = 1, F (x) = х + С;   3)f (x) = 2х, F (x) = х2+ С

4)f (x) = 3х2, F (x) = х3 + С;   5)f (x) = -2х- 3, х ¹ 0 , F (x) = х- 2 + С

На первых порах необходима проверка правильности решения задачи диф-нием для закрепления понятия первообразной и для ликвидации возможных ошибок (ученики путают формулы диф-ния и интегр-ния).

Далее док-ся теоремы: 1)Если F (x)–одна из первообразных для данной ф-ции f (x) в некотором промежутке, то любая ф-ция F(x)+С, где С – const, также является первообразной для f(x) в этом же промежутке. 2) Если F(x) – первообразная для f(x), то любая другая первообр. для f(x) имеет вид F(x) + С, где С – const.

Т.о., выражение F(x)+С обозн-ет мн-во всех первообр-х данной ф-ции.

Далее можно решить задачи физич-го содерж-я: скорость тела как ф-ция времени задана формулой  v = a t (a – ускорение).Найти путь как ф-цию времени движения.Такие задачи могут и предшеств-ть введению понятия перв-ной, демонстрируя необх-ть этого понятия для решения прикладных задач. Введение понятия неопределённого интеграла и символа ∫ f(x)dx для его обозначения не является строго необходимым в том небольшом курсе мат.ан.,кот-й возможен в школе, тем долее что запись ∫ f(x)dx вызывает трудности в объяснении происхождения символа. Вместе с тем введение такой символики позволяет в более наглядной форме записывать  формулы интегрир-ния. Ещё один аргумент в пользу введения символа ∫ f (x) dx – общепринятая запись. Символ ∫ f (x) dx и термин “неопределённый интеграл” можно ввести после док-ва привед-х теорем.При этом разъясн-ся, почему употреб-ся

слово “неопред-ный”, показывается связь м/д интегр-нием и диф-нием.

Приложение интеграла:

1.Вычисление  площадей

Поставим задачу н-ти способ для выч-ния площади криволинейной трапеции.(крив.трапеция – фигура, ограниченная графиком непрерывной ф-ции, осью х и прямыми, параллельными оси y). В число примеров надо включать такие, где длины перпендикуляров к оси х =0, а так же случаи, где график ф-ции является прямой или отрезком. Далее рассм-ся теор.: пусть f(x) – непрерыв. ф-ция, неотрицательная на отрезке [а;b], S – площадь соотв-щей крив.трапеции.Если F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке[а;b], то S = F(b) – F(a).

Решая задачи на выч-ние площади крив.трапеции, нетрудно убедиться, что площадь полностью определяется функцией у = f(x) и концами промежутка а и b. Действительно, всякая первообразная Ф(х) для ф-ции

f(x) отличается от любой другой её первообразной F (x) на постоянную, поэтому: Ф(х) = F(x) + С, т.е. Ф(а) – Ф(b) = (F(b) + С) – (F(а) + С) = F(b) - F(а). Т.о., любые две первообразные для ф-ции f (x) имеют на [а;b] одно и тоже приращение. Приращение первообразной для ф-ции  f(x) на [а;b] будем называть определённым интегралом от ф-ции f(x) на [а;b] и обозначать ∫abf(x) dx.

По определению ∫ab f(x)dx = F(b) – F(a), где F¢(x) = f(x).(Ф-ла Ньютона-Лейбница).

Очень важно соблюдать постепенность в наращивании трудности решаемых задач. Необязательно формулировать на языке эпселон – дельта. Ученики д. понять процесс составления интегральной суммы и научиться формулировать определение, пользуясь словами «как угодно малое».

 

14.15.16. Методика изучения тождеств-х преобраз. алгебр-х выр-й в шк. курсе математики.

Изучение разл-х преобраз-й выраж-й и формул занимает значит-ю часть  школьного времени при изучении мат-ки. Простейшие преобраз-я, опирающ-ся на св-во арифм-х операций, производятся уже в нач. школе и 5-6 кл. Но основная нагрузка по формиров-ю умений и навыков выпол-я преобраз-й прих-ся на курс школьной алгебры. Это связано с выделением и изучением обобщённых понятий тождества, тожд-е преобраз-я, равносильность преобраз-й, логические следствия.

Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него перем-х наз-ся тождеством. Замена одного выр-я другим, ему тождественно равным, наз-ся тождественным преобраз-м выр-я.

В 7 кл вв-ся  понятия тожд равные выражения, тождества и тождест преоб-ия выр-ия ( 3 базовых понятия  в теории тожд преобразований )

Методика введения тожд-ого выражения, основана на конкрет инд методике.

1. анализ эмпир материала
2. выясн. общие признаки  понятия , кот его хар-т
3. формулир. оределения
4. определение закрепляется путем  приведения примеров и контрпримеров
5. дальнейшее усвоение понятия в ходе прим.

Пропедевтика в 5-6 кл-х :

Нач. кл.  1) решая текст. задачи  уч-ся  пред-ся сост. числовые выражения

2 кл- буквенная символика появляется  х+3=5

3 кл- a+b, a-b, a*b,a/b

5-6 кл- продол-ся изучение, записи законов a(b+c)=ab+bc , записи  формул  v=s/t,  записи уравнений , чтение и запись букв-х  выр-ий , нахождение значений числ и букв выражений,  табл, в «лоб»- раскрытие скобок.

Понятие числ. и букв. выражений  ( на задаче выр-ия переменной )

Введение понятия  тожд. равных выраж-ий:

1. рассм.  задания «сравните значения выр-ий  2х+3х2 и 5х3 при некоторых значениях х. Всегда ли значения равны?».  Заметить, что при некот значениях х равны при других нет.
2. Аналог. задания.  вывод: на основании данной таблицы   делается вывод – значения  выр-ий= не при всех значениях х.
3. 5(у+3) и 5у+15.  Указ. значения  у.  непосредственными  вычислениями можно заметить,  что значения  этих выражений при  зад. У =. Будут ли они равны при других значениях у? можно ли ответить на этот вопрос не выполняя вычислений?  Изв., что для любого у (рац.  число ) вып-ся распределительный закон , поэтому соот. значения   выражений равны. Какие же выражения наз-ся тождественно равными?
4. Формулировка определения: 2 выр-ия наз-ся  тожд. рав-ми , если при любых значениях переменных соотв. значения  этих выражений равны.
5. Закрепление. Почему соотв. значения выр-ий  р+25 и 25+р равны?

Записать тожд. равные выр-ия содерж 1,2,3,… переменных. Доказать, что с(с-3) и с2-3  не явл. тожд.  равными.

6. дается определение тожд. преобраз-ия  ( мотивировка – упрощается  (< кол-во действий)  нахождение числового значения) выполн-ся на основе  св-в  действий над числами.
7. Приводится опр-ие понятия тождества. В учеб-х алгебры применяются разные определения  понятия тождества:
1. рав-во, верное при дюбых значениях переменных
2. ---------, при всех допуст-х знач-х пер-х
3. ---------, при любых значениях пер-х., принадл-х  данному множеству наз-ся тождеством на данном множестве.

2 подхода к тожд. преобразованиям:

1. функц 2) алгебр ( действия над выраж-ми)

тожд. преобр-ие показывает, что данное тожд. =. Изучение т.п. становится целенапр. если сразу применяется к решению задач, упр-ий, пимеров.  Предупр. ошибок –опр. роль , экономия времени на уроке.   -(a+b)=-a-b – приемы, спсоб. сознател . усвоению:аналогия между тожд-ми и числ-ми  равенствам ( обобщ –(3+5)=-3-5).

Эфф. приёмы – возраст. интереса отыскание различ. способов решения: упростить,

12. Методика изучения действительных чисел.

К изученным в 5-6 кл. рац-м числам добавляются иррац. числа и получаем действительные числа. Эта тема из-ся в 8-м кл. и нач-ся с рассм-я квадратных корней (у Никольского понятие рац-го и иррац-го числа даются в 6-м кл. на наглядной основе, затем в 7-м кл. повторяют этот материал. В мат-ке существуют разные теории действительного числа (по Дедекинду, Вейерштрассу, Кантору), но они не приемлемы для школы, т.к. очень трудны. Понятие дей-го числа в массовой школе дается фрагментарно (в классах с углубл-м изучением математики эта тема рассм-ся в старших классах).

Для практических нужд  достаточно рац-х чисел, поэтому мотивировка введения иррац-х чисел делается на основе внутренних потребностей мат-ки. 1. задача о нахождении стороны квадрата по его площади рассм-ся, а затем ставится вопрос всегда ли она разрешима. На множестве рац-х чисел нет такого числа, квадрат кот-го был бы равен 2 и т.д. (доказывается это со всем классом). После этого вводится понятие иррац-го числа. Существуют такие отрезки, длины кот-х не выражаются рац-ми числами, а аксиома геометрии говорит, что каждый отрезок имеет длину, значит противоречие и вводим иррац-е числа (раньше в учебнике рассм-сь несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной).