Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

37. Методика изучения век-в на пл-ти и в пр-ве.

Определение вектора безразмерное. Вектор – направ-й отр-к, у кот-го указано начало и конец (школьное) – это параллельный перенос как геом-е преоразов-е. Изуч-ся 8 кл. Однако они уже изучали их в чизике при рассмотрении векторных величин, поэтому учащ-ся часто считают, что вектор – это физическая понятие, на самом деле оно абстрактно и не реально. В мат-ке вектор – это элемент векторного пр-ва  (основное понятие), которое в мат-ке не определяется, а хар –ся двумя группами аксиом Вейля(1918г). Делят на 2 этапа (планиметрия и стереометрия). Метод из-я: аналогия. Реш-е задач ввод-ся 2 методами: векторный (направ-й отр-к), коорд-й (пара чисел). Так как элементы векторного пространства м. б. элементами самой разнообразной природы, то примеры векторных пространств весьма многочисленны.

Вектор по-разному опр-ся на уровне школы. 1. Векторное пр-во – множ-во направленных отрезков (у Пог. и Атан.). Вектор – направленный отрезок. 2. Вторая интерпретация связана со множ0м классов направленных отрезков: сонаправленных и имеющих одинаковую длину. Вектор – класс эквивалентных отрезков (частично у Пог.) 4. Вектор – упорядоченная пара точек (чисел) (У Скопица). 5. Вектор – синоним векторной величины (У Алекс.). Сейчас в школе первый подход. У Пог. в основе лежит координатный метод и теория парал. переноса (легко док-ся св-ва). У Атан. исп-ся геометрический подход. Координаты изуч-ся позже (труднее док-ся св-ва операций). Сейчас вектор исп-ся для док-ва теоремы косинусов и гомотетии. В физике три вида векторов: связанные (начало – фиксированная точка)(сила, скорость); скользящие (точка приложения скользит по прямой – вращательное движение); свободные (скорость, ускорение).В геометрии рассм-ся свободные векторы. Вводят их, отталкиваясь от физики. Рассм-т два вида величин: скалярные и векторные (кроме своего числового значения имеют и направление, которое обозначается направленными отрезками. Отвлекаемся от физической природы величин и их св-в и даём определение: вектор – направленный отрезок. Обозначение – различные (изображение и обозначение – это разные понятия.)) Способы задания: 1. геометрический: направленным отрезком; 2. координатный (упорядоченной парой чисел – опережающий). Частный случай – нулевой вектор. Характ-ки: направление, длина (лучше говорить модуль или абсолютная велич.)

В учебнике Погорелова исполь-ся послед-ть изуч-я вект-х понятий: понятие в-ра, абсолютная величина (модуль) вектора, равные в-ра, нулевой вектор, откладывание в-ра от точки, кординаты в-ра, сложение в-ов, умножение, коллинеарные, скалярное произведение в-ра. У Атанасяна: понятие в-ра, нуль-векотр, модуль, коллинеар-е в-ры, соноправленные и противоположно-направленные, равные,откладывании в-ра от точки, сложение и вычитание, умножение в-ра на число , корд-ты в-ра, скалярное произвед. (отличие от Погорелова не только послед-ю, но и в методе изложения: Погор. – в основе координатный метод, Атанас. и др. – не использует метод корд-т, наглядное).  Три основных вопроса: трактовка понятия вектора; операции над векторами;  применение векторов к док-ву теорем и решению задач. Трактовка понятия вектора. В учебном пособии А. Н. Колмогорова  понятие вектора вводилось в конце VII класса и предшествовало применению векторов в курсе физики VIII кл, а в учебном пособии А. В. Погорелова векторы появляются в начале VIII кл. и изучаются параллельно с применением их в курсе физики VIII кл. В учебных пособиях по геометрии последних лет встречаем определения в-ра: у Колмогорова: «В геометрии параллельные переносы имеют и другое название — их называют векторами»; у Погорелова: «Направленный отрезок называется вектором»; в  пробном учебнике  Атанасяна и др: «Вектором называется направл. отрезок». Отличительной чертой изложения векторов в  пособии  Погорелова     явл.  широкое  использ-е координатного метода. При этом широко применяются свойства парал. переноса, который сам вводится с использованием координат. Парал. перенос есть движение. При парал. переносе прямые переходят в парал. прямые (или в себя). Рассм. еще одно свойство пар.  переноса: преобразование, обратное парал. переносу. Два парал. переноса, выполненные один за одним, дают снова пар. перенос. Парал.   переносом   в   пространстве   наз.  такое преобразование, при котором произвольная точка (х, у, z) фигуры переходит в, точку (х + а, y+b, z+c),  где  а, b ,  с — постоянные. Пар. перенос в простр-ве задается формулами х'=х+а, y' = y+b, z' = z+c. Все свойства п. переноса, имеют место и в пр-ве. В пр-ве м. доказать еще одно св-во парал.  переноса:  при  п. переносе  в  пространстве  каждая  плоскость  переходит либо  в  себя, либо  в  парал. ей плоскость. В Погорелове п.перенос очень широко используется при изучении векторов. С его помощью вводятся такие понятия, как «одинаково направленные векторы». Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине и обратно: если векторы равны по абсолютной величине и одинаково

34. Методика изучения геометр-х построений в осн. школе.

Геом-е построения (Г.П) рассматр-ся в разделе геометрии, кот-я наз-ся конструктивная. Основное понятие – построить фигуру. Оно даётся аксиоматически и разъясняется синонимами: провести, отметить, начертить. Аксиомы в конструктив-й геометрии наз-ся постулатами. Их 8: 1. каждая данная фигура построена (не путать с заданной); 2) если построены 2 фигуры, то построена фигура их объединяющая; 3. М. построить точки, принадлеж-е фигуре и не принадлеж-е. В школ. курсе эти постулаты не формулир-ся, но они подразумев-ся при решении задач на построение как очевидные. Геометр-е построения вып-ся с пом-ю набора инстр-в: линейка(с делениями и без), циркуль, угольник (прямой угол), транспортир. В геом-ии даются точные описания, что можно делать каждым прибором (с пом-ю аксиом) сообщ-ся в школе, но не наз-ют аксиом.

Сущ-т спец-е задачи (2 типа) на применение инстр-в: 1. без ограничения и 2. с ограничением их (7 кл. – циркуль, линейка; на фак-ве – только один инструмент).

Классич-я схема решения задач на построение: 1. поиск решения (анализ). Здесь исп-ся нисходящий анализ (прямо в тетради или на доске: делаем предположение, что задача решена и фигура построена. Изучаем фигуру, связи её элементов, пока не уясним послед-ть построений, ведущую к цели. Иногда условие разбивают на неск-ко частей. 2. (построение) осуществление цепочки указанной в анализе. 3. установление правильности решения, что получ-я фигура удовлетв-т условию задачи (док-во). 4. Решается вопрос о том, всегда ли задача может иметь решение, если имеет, то сколько (исследование). Наиболее трудным для уч-ся яв-ся 1 этап, т. к. нет определ-го алгоритма, но сущ-т приёмы, кот. помогают в поиске, но они связ-ся с конкретным методом решения. Методы: 1) метод ГМТ; 2)метод применения движений (метод симметрии, парал-й перенос, поворот); 3) метод подобия, включая гомотетию; 4) метод спрямления; 5) алгебраический метод; 6) сведение к элементарным построениям. В школе они исп-ся в разном объёме: наиболее часто: 1, 3, 6. Геом построения играют важную роль в геометрии.

С построениями уч-ся нач-т знаком-ся уже с 1 кл. при изуч-ии геом-х фигур. Построения дают возм-ть: 1)развивать конструктивные умения, 2) развивать графическую культуру, 3) развивать логическое мышление. С Г. П. связано изуч-е всех геом-х фактов, понятий, любая задача решается с чертежом (зрительная опора). Задачи на построение громоздки и их на к/р дают мало. Что значит построить фигуру? – Выполнить построение с пом-ю опр-го набора инструм-в по заданным условиям. В геом. построениях м. выделить 2 этапа:

1. Пропедевтический курс  (1-4, 5-6 кл), все построения выполняются с помощью любого набора инструментов. Изучают наглядно (метод индукт-й), геометрия или геом-е черчение показывает связь с черчением. Задачи элемент-е (провести прямую ч/з 2 точки, провести луч, отрезок, разделить отр-к пополам…). Некот-е постр-я обосновыв-ся: парал-е прямые, 2 прямые перпендик-ны м/у собой (Виленкин, 5 кл.), провести перпенд-р ч/з данную точку к данной прямой. Вводится символика (парал-ть, перпенд-ть).

2. Систематическое изуч-е (7-11 кл.) построения выполняются циркулем и линейкой без шкалы. Даётся понятие о задачах на построение, рассматр-ся элем-е задачи.

Содержание  геометр. построений в 7 кл-е такого : построение треугольника по разным элементам, построение угла равного данному, построение биссектрисы угла. В 8 кл добавляются задачи на построение  четырёхугольников. Уч-ся д. усвоить отличие задач на построение от других задач ( в нём чертеж играет вспомог-ю роль).

4-х этажная схема решения  задач:

Погорелов: главные этапы: 1 и 3, но необх-мо 2 алгоритма построения. У него главное – доказать всё. 4 этап в 7 кл. Исследов-я не проводятся; если оговорено в задаче, то проводятся – 8 кл. В учеб-ке нет образца оформления задач.

Атанасян: Есть задачи, кот-е выдержаны по схеме (со *). Оформление: 1 этап запис-ся только на первых порах, затем устно; 2 этап обяз-но с пом-ю инструм-в; 3 этап также обязателен; 4 – только в 8 кл. Линейкой м. проводить прямые и её части (откладывать луч). Циркулем: окр-ти с опред-м радиусом и центром. Ссылка на аксиомы. Задача: Отложить отр-к от данной точки.

Обучение решению задач на построение должно вестись последовательно и целенаправленно.

Задачи, решаемые системой курса:

1) Элем-е постр-я (анализ зад.). Д. уметь решать все уч-ся (обяз-й рез-т обуч-я) а)отрезок, равный данному; б) угол, равный данному, в) треуг-к, равный данному, г) деление отр-ка пополам, д) деление угла пополам, е) проведение перпенд-ра к прямой (точка Î прямой, восстановить ^; точка Ï прямой, провести ^) ж) треуг-к по трём сторонам. Методика хорошо изложена у Карнацевича (3 этапа: построение, док-во и описание). Эти задачи рассмотрены в теорет-й

 

25. Методика изучения триг-х ф-й в курсе мат-ке.

Начало положено в геометрии 8 кл. Цель: дают соотношения в прямоуг-м треуг-ке между сторонами угла (от 0 до 90). Уч-ся знаком-ся с основ-м тригоном-м тождеством (частный случай для угла А прямоуг-го треуг-ка доказ-т с пом-ю теоремы Пифагора). Составл-ся таблица знач-й.

В 9 кл. понятие синуса, косинуса, тангенса расширяется. Ввод-ся прямоуг-я сис-ма координат Оху и строится единичная окр-ть. Рассм-ся некоторые формулы приведения.

Цель в 9 кл: показать практическое применение при вычислении длины и расстояния до недоступных предметов.

В курсе алгебры и начала анализа уч-ся сталкив-ся с тригоном. ф-ми. В алгебре они рассматр-ся как числовые функции. В ряде учеб-в они рассм-ся в кач-ве угла поворота.

Этапы: I. Первоначальное знакомство с тригоном-ми ф-циями углового аргумента (8 кл).II. Введение   понятия   о  тригоном-х   ф-циях числового аргумента  (9 кл).III. Систематиз-я и расширение знаний о тр. ф-циях числового аргумента (10 кл). Исходя из особенностей этапа формирования понятия о тр. ф-циях числового аргумента формируем цель изучения указанного понятия в 10 кл: повторение известных из 9 кл. сведений о тр. ф-циях числового аргумента с целью выделения всех существенных признаков понятия; знакомство с графиками тр. ф-ций (y = sinx, cosx, tgx, ctgx).

Мотивировка: (Башмаков) Изучение периодич-х процессов, связь с астрономией, физикой, гармонич. колеб-я.

Нач-ся изучение с повторения (тригонометр-е выраж-я, определ-е , острого угла, то же самое для произвольного треуг-ка (угол от 0 до 180 град), введение новых определ-й с исп-м модели ед-й окр-ти (для числа). Перевод величины угла из градусов в радианы). В различных учеб-х различные подходы: а) Башмаков: функция→мат., Вращ-е движение →на их основании формулир-ся св-ва триг-х ф-й. (обобщ-е понятие: геом-я фигура  и угол поворота), тригон-е ф-ии числового аргумента.   Берем окр-ть с ед-м радиусом – един-я окр-ть получена поворотом Р0(1,0)на угол α радиан. Ордината  - синус, абсцисса – косинус. Числовые ф-ии заданные формулами у= sinx, у=cos x назыв-ся соотв-но синусом и косинусом. Область определения – все действ-е числа, обл.-ть знач-й [-1, 1] . Рассматривают св-ва: 1) sin (-x)= - sinx, cos (-x) = cos x; 2)2πn – период. Уч-ся строят графики синуса, косинуса, тангенса.

1. График синуса – синусоида. Делят отр-к от 0 до 2π и окружность на 16 равных частей. Польз-ся опред-м синуса. Получают эскиз графика. Построение графика на все числ-й прямой получ-ся из построенного графика с пом-ю параллельного переноса его вдоль оси х. Отрезок от -1 до 1 наз-ся линией синуса.

2. График ф-ии косинуса – косинусоида. Получают из графика синуса путем парал-го переноса на π/2 в отриц-м направ-ии оси х.

3. График ф-ии тангенса (котангенса) – тангенсоида (котангенсоида). Обл-ть опред-я – любое число кроме π/2 +πк.

Проводим касат-ю l,α – произвольный угол (не рамен 90 град). l – линия тангенса. Это неч-е ф-ии.      

Рассм-ся св-ва функций – четность, неч-ть, периодич-ть.

Алимов: до графиков изуч-ся св-ва ф-й: периодич-ть, монотонность. Это помогает легче строить графики. В основе – формулы приведения.

Башмаков: перидич-ть, знакопост-во, четность, знач-я тригоном-х ф-й, исследование тригоном-х ф-й.

Колмогоров: вначале дается общефункц-е понятия, которые конкретиз-ся на тригон-х ф-х (четность, периодич-ть, возрастание, экстремумы, исследование). Исследов-е по плану: обл-ть знач-й, обл-ть опред-й, четверти располож-я, наим-й полож-й период, точки пересеч-я с осями, промеж-ки отриц-х знач-й, промеж-ки полож-х знач-й, возраст-е(убыв-е), точки минимума (максимума) ф-ии.                                      

б)Мордкович:- тригонометрические ф-ии углового аргумента;     

- триг-е ф-ии числового аргумента. Вычисление значений нек-х углов                      (30, 45, 60), добавл-ся 0, 90, 180, 270, 360. Все остальные по табл. Брадисса.

2) определение (для числового аргум-та).

Нужно вводить модель – ед-я окр-ть, с ценром в начале корд-т. Преимущ-ва модели – взаимооднозн-е соответствие м/у точкой и числом.

3) опред-е триг-х ф-й. Ф-я вида у =    наз-ся тригонометрической.

4) Исследов-е св-в ф-ии по формуле или с пом-ю введ-х окруж-й,  числа – это ордината, угол поворота.

Св-ва: 1) х€(-∞; +∞), 2) у€[-1;1], 3) знак совпадает со знаком g, 4) монотонность : возрастает, если х2>х1, у2>у1   (1 и 4 четв), убывает    во 2, 3 ч.), 5) периодичность.   

В Башмакове есть рез-ты обучения по 3 уровням. З раздела в этих рез-х: приложение, применение алгоритмов, овладение теорией. В разных

8. Методика изучения логар-й ф-ии.

После изучения показат-ой ф-ции  изучается логарифмическая.

Зачем нужен логарифм числа описывает Башмаков. Нужны логарифмы для упрощения выч-й, Формула Циолковского , Vг – скорость газов, звукоизоляция: коэф-т звукоизоляции D=Alg, р0 – давл. звука до поглощ-я, р-давл. звука, прошедшего ч/з стену. Мотивировкой яв-ся показат-е урав-я. Для того чтобы записать корень урав-й необ-мо ввести понятие логарифма: 2х = 6(Мордкович решает ур-я графически: 2х = 4, 2х =8, 2х=6. )Изучение понятия логарифма можно начать с решения  показ-х уравнений

1. 2х=4   х=2                                   
2. 2х=8   х=3                                     
3. 2х=6   х=?

Решим графически. Корень уравнения сущ-т, но мы не можем его найти, нам не хватает рац. чисел: 2х=6, x=log26.

Определение: Логарифмом числа b по основанию а наз-ся  показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получилось b. Сразу вводят формулы.

Операции над логарифмами: 1) логарифмиров-е (обратная к возведению в степень, для нах-я логарифма числа), 2) потенцирование (операция по возведению в степень с соответствующим основанием)

Основное логарифмическое тождество: . Запись logab=c  читается так: логарифм числа b по основанию а равен с.

Из равенства  25=32 следует: 5= log232

Св-ва логарифмов:

1. loga1=0

2. logaa=1

3. logaxy=logax+logay

4. logax/y=logax-logay

5. logaxp=plogax

6. logax=logbx/logba

Сущ-т неск-ко способов введения логар-й ф-ии: 1) новая функц-я завис-ть, независимо от показат-й, 2) вводить с включением элементов от показ-й ф-ии, 3) вначале изуч-ся понятие обр-й ф-ии, затем логар-я ввод-ся как обратная к показат-й.

Алимов: определ-е даёт сам любому х соответствует у, у=, а>0, а≠1.