Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

42.43. Методика изучения объемов тел в шк. курсе геом.

Теория измерения трудна для школы, поэтому из-т элементарную теорию объёмов (но не отходя от научного). Выводы теорем осуществляются в разных уч-х по-разному. Уч. Киселёва:

У него все теоремы док-ся элементарными ср-ми, а мелким шрифтом теоремы доказаны с пом. принципа Кавальери. Уч. Барыгина: формулы доказывались с пом. формулы Симпсона (англ. мат-к). Уч. Скопица: широко применялся интеграл. Уч. Погорелова:  исп. синтез, с пом. интеграла: шар и его части. Уч. Атанасяна: интеграла больше, это пирамида, призма, конус и шар. Уч. Смирновых: принцип Кавальери.

Берём два геометрических тела: Ф1, Ф2. Эти оба тела помещают между двумя параллельными плоскостями: α и β. Верхнее основание принадлежит верхней плоскости, нижнее - нижней. Рассекаем тела плоскостью γ║α, γ║ β. Пересечение плоскости и тела определяют фигуру, кот. наз-т сечениями: F1, F2. Если S(F1) = S(F2) → объёмы этих тел равны: V(Ф1) = V(Ф2). Наглядное его обоснование Смирновы дают в уч-ке - представл. два тела из прозрачного материала, разделены на слои (цилиндры) и их V равны → объёмы тел б. равны. Ф1 - та фигура, V кот. м. вычислить по формуле, Ф2 - не знаем V. Проблема: как найти V Ф2.

Формула Симпсона:  Здесь берём одно тело. Помещаем тело нижней гранью на плоскость α. Пересекаем тело плоскостью β║α. Обозначим расстояние от плоскости α до  секущей плоскости через х, тогда площадь сечения б. ф-й. это расстояние от плоскости α; если она изменяется по квадратичному закону, т.е. ах2 + вх + с, то V = 1/6 H * (Sниж + 4Sсред + Sверх), H - высота.

Этапы: 1. пропедевтический (5-6 класс)

2. систематический (11 класс).

1. 1-е представление на уровне наглядно - интуитивного (физического смысла) как числа кубиков с ребром, равным 1-цы длины (а затем и её долями). V- часть пр-ва, кот. занимает тело. Слова - синонимы: вместительность, содержимое (кол - во воды в ведре, в бассейне, кол - во воздуха в комнате.  Даются два св-ва объёма: равные фигуры имеют равные объёмы; V(Ф1)  +  V(Ф2) = V(Ф), если Ф  = Ф1  +  Ф2.

Единицы: см3 , м3. Важно знать перевод, иметь представление о кубической единицы. В школе есть модель кубика. Определение: что такое см3: это объём куба  с ребром 1 см. Процедура измерения объёма: выбираем единичный кубик, укладываем его в этом теле, подсчитываем число этих кубиков (м. приближенное зн-е, либо точное зн-е по формуле). В качестве первой формулы для установления формулы выбирается прямоугольный параллелепипед и выясняется формула: V = авс. Даётся правило:  длину умножаем на ширину и на высоту. Выводят индуктивно:  игра кубики -   а) высыпаем все кубики и пересчитываем;  б)  м. пересчитать по другому: сколько кубиков укладывается по площади основания и надо посчитать кол - во слоев; в) измеряем линейкой длину, ширину и высоту. Аналогия с площадями. Число, выраж. объём, зависит от единицы измерения. Аналогичная терминология с физикой: физики говорят об измерении объёма, а мат-ки о вычислении. Очень много упражнений. 5-6 класс и в алгебре основной школы даются готовые формулы.

2.  по Погорелову: что такое объём? Сначала эта уч. задача решается для простых тел, т.е. упрощается. Тело наз-ся простым, если его м. разбить на конечное число тетраэдров. К этим простым телам отн-ся выпуклые многогранники: призма, пирамида. Аксиоматическое определение, 4 аксиомы; каждому телу ставим в соответствие объём: F→V(F).

1. это положительное число  2. V(F1) = V(F2), если F1=F2.

3. F1 + F2 = F, то V(F1) + V(F2) = V(F).

4. V(E)=1, если Е=1.

5. монотонность.

Ставится задача о вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда. Формулу уч-ся знают: V = авс, на конкретных примерах м. ее обосновать, а, в, с принадлежат N. В 11-м классе она док-ся и формулируется в виде теоремы (дедуктивно выводятся).

1 подход к док-ву: традиционный, полной индукции; 1случай: а,в,с принадлежат R (десятичные дроби);  2случай: иррациональные а,в,с. Такое док-во было у Киселева и сохранено у Атанасяна. 2 подход: у Погорелова: аналогично с площадями: 1случай: лемма: объёмы 2-х прям. парал. с равными основаниями относятся как их высоты; 2 случай: через перемножение а*в*с.

№ по порядку	Измерения а,в,с	Обозначение V	Применение леммы
1	1,1,1	1
2	а,1,1	V1	V1/1 = а/1
3	а,в,1	V2	V2/1 = в/1
4	а,в,с	V	V/V2 = с/1 ПеремV=авс.

40. Понятие площади фигуры, методика изучения площадей различных фигур.

Понятие площади - одно из важнейших в мат-ке и рассм в теории измерения величин (раздел «Метрическая геометрия»), кот. имеет прикладной характер. Идея измерения геометрических величин связана: 1. с идеей аксиоматического метода;  2.  с теорией геометрического числа;  3.  с методами мат. анализа.

Уч-ся знакомятся с рядом формул, с пом. которых расширяется возможность применения аналитического метода. Надо различать: 1.  понятие площади фигуры;  2.  вычисление площади фигуры. В школе строгой теории измерения величин не даётся, величина не определяется.  Школьная программа ввиду прикладного характера (и в мат-ке, и в физике) темы, всегда предусматривала её серьёзное изучение. В современной программе ( в отличие от традиц.) ставится вопрос о вычислении площади криволинейной трапеции - алгебра и начала анализа. Важно вычленить три вопроса: 1. что такое площадь?  2.  всякая ли фигура имеет площадь?  3.  как её находить:  практически, приближённо;   с пом. формул, точное вычисление.

3 этапа в изучении этой  темы:  1. пропедевтический, 5-6 кл.  2. систематический, геометрия, у Атанасяна - 8 кл., у Погорелова - 9кл.  3.  с помощью интеграла, 10 кл.

2 подхода к изложению  теории (к определению теорем):  1. конструктивный, покрытие фигуры  масштабной сеткой, подсчёт квадратиков.  2. аксиоматический (в уч. Погорелова  понятие площади определяется  через систему аксиом).

Мотивировка изучения площадей фигур. Задачи измерения корнями уходят в глубокую древность. На уровне ученика 5 кл (в ряде учебников понятие площади даётся и в нач. шк.). 1-й этап: 5,6 кл.(пропедевтика). Дается интуитивно наглядное представление о площади как числе идентичных квадратов (иначе площадь - место, которое занимает фигура). Важно, чтобы уч-ся усвоили, что площадь есть число (положительное). Каждая фигура имеет площадь. Число это не зависит от выбора единицы измерения. Св-ва: 1. равные фигуры имеют равные площади; 2. если фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. Единица измерения: мм2, см2 , м2, дм2, ар (сотка), га. Наименование: в нач шк. - кв.см., а потом: см2. Это м. уже сделать, т.к. введено понятие степени.  1 см2 = 1см*1см. Переход от одной единицы к другой: 1 ар = 100 м2. Что из себя представляет эта  единица? 1ар = 10м*10м. Это квадрат со стороной 100м.

Рисуем палетку ≈ значение.

 

3. с помощью формул. Формула  выводится с уч., не док-во, а  вывод.

а) подсчитаем число квадратиков, 28

б) 4*7 = 28

в) 4см*7см = 28 см2

 

4. без формул

 

Особо стоит вопрос о площади круга. Надо учеников подвести.

   2R2<Sкр<4R2

Находи ср.  арифм.                             

 (2R2 + 4R2)/ 2 = 3R2

S≈3R2, S=πR2.

Атанасян - 8 класс, Погорелов - 9  класс. Погорелов различает многоугольник (контур) и плоский многоугольник -  с внутренней областью. Речь пойдет о плоском многоугольнике.

       S - ?

 Ставится задача   об   опр-и площади, а                                                                       не вычислении.

  Каждой фигуре   F соответствует                                   S(F)                          !

                              F→S(F)

1. Площадью наз число: S(F)≥0, св-во положительности

2. Равные фигуры имеют  равные площади: F1 = F2 → S(F1) = S(F2), св-во инвариантности.

3. Если фигура сост. из  фигур: F = F1 + F2 + F3, так что их пересечение

 

 

 

 

32. Методика изучения перп-ти прямых и пл-й в пр-ве.

Всю тему условно можно разделить на 3 части:

1. ┴ прямых в пространстве
2. ┴прямой и плоскости
3. ┴плоскостей

План: 1. Возм-ть распол-я (модели).  2. Опред-е (рассм. признаки, с пом. кот-х опред-м перпенд-на прямая пл-ти или нет)  - без док-ва.

Уч-к Скопица – векторный метод. 3. Признаки, 4. Св-ва, 5. Реш-е задач.

1)Этот этап рассматривается как повторение пройденного ранее. Определение: две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900. иллюстрация на  моделях многогранников и в  окр. действительности. Важно подчеркнуть, что в пространстве взаимно перпендикулярные прямые могут не иметь общих точек. В учебнике Погорелова не вводится понятие ┴-ных  скрещивающихся прямых.

Далее  рассматривается признак: если 2 пересекающиеся прямые параллельны  соответственно 2 ┴ прямым, то они тоже ┴.

2)Изучение целесообразно начать с рассмотрения случаев взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Встает вопрос: в каком случае прямая Ç-ая плоскость будет ей ┴?

Определение: прямая, Ç-ая плоскость,называется ┴-ой этой плоскости, если она ┴-на любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Судить о ┴ прямой и плоскости, пользуяс определением невозможно, так как прямых в плоскости бесконечно много(┴ ко всем не проверишь), поэтому пользуются признаком. Признак: если прямая ┴-на 2 Ç-имся прямым, лежащим в плоскости, то она ┴-на данной плоскости.

Док-во этого признака в различных учебных пособиях различно: в большинстве, в том числе  в учебнике Погорелова  док-во проводится с помощью рассмотрения цепочки равных треугольников. Такой подход позволяет целенаправленно повторить  большой раздел  планиметрии.

В учебнике Атанасяна рассматривается ряд теорем(св-в)-

-если 1 из 2 параллельных ┴  к пл-ти, то и другая прямая  ┴ к этой пл-ти.

-если 2 прямые ┴-ны к  пл-ти, то они параллельны.

-через любую точку пространства  проходит прямая ┴-ная к данной  пл-ти  при том только одна.

3)Раздел о ┴-ти плоскостей следует начать с повторения взаимного расположения 2 плоскостей. По аналогии с параллельностью прямых о ┴-ти 2 плоскостей судят по углу между ними. Поэтому встает проблема: что такое угол между плоскостями?

Атанасян вводит понятие двухгранного угла. Погорелов угол между плоскостями рассматривает как угол между прямыми, полученными при пересечении 2 плоскостей 3-ей плоскостью, ┴-ной линии их пересечения. Такой подход изучения ┴-ых пл-тей позволяет избежать введения понятия двухгранного угла. Признак: если 1 из 2 пл-тей проходит через прямую,┴-ную к др. пл-ти, то такие пл-ти ┴-ны. Следствие: плоскость,┴-ная к прямой, по которой Ç-ся 2 данные пл-ти,┴-на к каждой из этих плоскостей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32. Методика изучения параллельности прямых и плоск-й в пр-ве.

Тему  «½½-ть в прост-ве» м разделить на 3 части:

1)½½-ть прямых в пространстве, скрещив. прямые.

2)½½-ть прямой и плоскости

3)½½-ть плоскостей в простр-ве.

Изучение параллельности в пр-ве изучается в противопоставлении со скрещивающимися прямыми и тогда добавка,  что прямые должны лежать в одной пл-ти будет ученикам понятна.

1) изложение первого пункта  следует начать с беседы о  том,  сколько общих точек м. иметь две прямые: 2 прямые м. иметь  бесчисленное множ-во  точек, т.е. совпадать ; 2 прямые м. иметь только  одну общую точку, т.е. пересекаться.

Взаимное расположение прямых в простр-ве:

а) прямые a и b имеют только одну общую точку :  a и b пересекаются

б)  все точки прямых a и b- общие; прямые совпадают.

в) прямые a и b не имеют общих точек ; a и b параллельны

г) прямые a и b не имеют общих точек: a и b – скрещивающиеся.

В случаях а)-в) a и b лежат в одной пл-ти,  в случае г)- не лежат в одной пл-ти.

Теорема о парал-ти прямых: ч/з любую точку пр – ва, не лежущую на данной прямой, проходит прямая парал-я данной и притом только одна.

2) О ½½-ти  прямой и пл-ти следует начать с беседы о возможном числе  общих точек у прямой и пл-ти..

Прямая и пл-ть не могут иметь только 2 общие точки, ибо  в противном случае  прямая будет лежать в этой пл-ти. Может ли прямая иметь с плоскостью  только одну общую точку? Да.

Взаим. расположение  прямой и пл-ти в пр-ве:

А) Б)

 

                      m

 

 

 

Б)

В)           m

 

 

 

 

Пользуясь чертежами, уч-ся могут самост-но  дать определ-е  ½½-ти прямой и плоскости. С помощью определения не всегда можно судить о том,  что данные прямая и плоскость  параллельны, поскольку прямая и плоскость безграничны.

Лемма о пересеч. пл-ти паралл. прямыми: Если одна из двух // пр-х пересек. данную пл-ть, то и др. прямая пересек. эту пл-ть.

Признак // прямой и пл-ти: если прямая, не лежащая в данной пл-ти // к.-либо прямой, лежащей в пл-ти, то она // данной пл-ти.

3)  следует начать с  разговора  о возможном числе  общих точек  у 2-х плоскостей. Две разл. плоскости не могут  иметь только одну общую точку. Две плоскости пересекаются по  прямой.