Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

Две плоскости могут совсем не иметь общих точек.

В ученике Погорелова  (10 кл)тема ½½-ть прямых и плоскостей начинается с ½½-ти прямых в простр-ве, затем рассматривается признак ½½-ти прямых ( две прямые параллельные третьей прямой параллельны). Потом признак ½½-ти прямой и плоскости ( если прямая не принадлежащая плос-ти ½½-на какой-нибудь прямой в этой пл-ти , то она ½½-на и самой пл-ти, признак ½½-ти 2-х плоскостей, свойства параллельных плоскостей.)

Признак // 2-х пл-й: Если 2 пересек-ся прямые одной пл-ти соотв-но парал-ны 2 пересек-ся прямым др. пл-ти, то эти пл-ти парал-ны.

Св-ва // пл-ей: 1. Если 2 // пл-ти пересек. третьей, то линии их пересеч-я //.

2. отрезки // прямых, заключенных  м/у // пл-ми, равны. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 (2) то .

S(F) = S(F1) + S(F2) + S(F3), св-во аддитивности.

4. Площадь квадрата со  стороной 1. S(1) = 1, св-во нормированности.

Погорелов вводит понятие простой фигуры и задачу вычисления делает для простой фигуры. Даёт определение фигуры, кот. наз. простой, такая, кот. допускает разбиение на треугольники диагоналями, выход. из одной точки. Какие фигуры яв-ся простыми? Все многоугольники - простые фигуры. Б. устанавливать формулы для различных видов многоугольников.

Прямоугольник:  традиционно - рассм. метод полной индукции: 1. когда а и в - рац. числа. 2.  когда а и в, или одно из них - иррац. Числа.

Зап - ся в виде бесконечных десятичных дробей. Проходит сложное док-во. Чтобы его упростить, Погорелов в посл. Изданиях переработал этот пункт в сторону упрощения. Доказывает лемму - вспомогательное утверждение: если мы имеем прямоугольник АВСД с высотой h1, если ещё пристроим на основании АД прямоугольник ВСС1В1, высота h2, то справедлива формула:   S1/S2 = h1/h2. Док-во сложное.   

Берем квадрат со стор-1 1, S=1. На стороне выстраиваем вспомомг-й прямойг-к, у кот-го длина =1, а высота а, на стороне а построим прямоуг-к со стор-ми а и в. Дважды взять пропорцию, перемножить и получится.

Параллелограмм. Метод равносоставленности.

Из этого параллелограмма нужно получить прямоугольник, площадь которого мы уже знаем. Отрезаем треугольник, приставляем с др. стороны S=а*h.

1. содержащие её;  2. содержащиеся  в ней с площадями как угодно  мало отличающимися от S.

Для вычисления площади круга исп-ся метод исчерпывания. При n→∞ пол-ся формула S=πR2. Погорелов не приемлет предельного перехода. Круговой сегмент и сектор. Рассм. их площади.

По Атанасяну: Параграф наз-ся «Площадь многоугольника». Сразу даёт понятие S многоугольника конструктивно. Описывает процедуру измерения. Даётся св-ва площадей, они аналогичны аксиомам Погорелова. Все показывает на примерах, не доказывает. Посл-ть изучения фигур та же самая. Проблема: площадь прямоугольника. Подходит иначе. Первая - лемма: S=a2 (у квадрата). Док-во леммы сложное. Второе дов-во на ссылку. Исп-ся формула сокращённого умножения из алгебры.

 Александров: вводит понятие площади многоугольной фигуры, сост. из многоугольников. Рассм. 3 св-ва:

1. св-во положительности 

2. S(F) = S(F1) + S(F2)

3. равные треугольники  имеют одну и ту же S.

Посл-ть: прямоугольник, прямоугольный треугольник, произвольный треугольник, трапеция, параллелограмм.

Алгебра и начала анализа.

Площадь криволинейной трапеции.

Площади поверхности.

1. многогранники

2. тела вращения.

Vш = 4/3 πR2.

Sсф = 4πR2. (производная от Vш), по Колмогорову.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) После прямого параллелепипеда идёт наклонный параллелепипед: V=Sосн*h.

Док-во: данный парал. подвергаем 2-м преобр-м: отсекаем и дополняем. От накл. Парал. сначала перейдем  к прямому, избавляемся от наклонности, а потом из прямого делаем прямоугольный. Придумал кто-то сделать это с помощью наглядной модели. Призма: сначала треугольная, а потом произвольная. Треугольная призма дополняется до параллелепипеда такой же треугольной призмой. Vпар. = 2Vпр. Произвольную разбивают на треугольные, её объём суммируется, V=Sосн*h. Пирамида: те преобразования, кот. мы делали в прямоугол. параллелепипеде: дополнения и отсечения не проходят с пирамидой. Нельзя заменить пирамиду равносоставленной с ней призмой. Т. Дэна Кадэна. Не все многогранники яв-ся равносоставленными. Однако формулу м. получит практически. Если куб Кюстера, кот. м. разбить на три равные пирамиды, тогда V=1/3 Vкуба  = 1/3 Sосн*h. Как доказать? Док-во элементарными ср-ми сложное. Атанасян прибегает к интегралу, однако Погорелов считает, что надо элементарными ср-ми. Сначала вводится лемма: пирамиды с равными основаниями и высотами имеют равные объёмы. Т: V  = 1/3 Sосн*h. Док-во простое. Дополняем данную пирамиду 2-мя ещё пирамидами с равными объемами до треугольной призмы, а призма треугольная уже известна. Произвольная пирамида. Разбиваем на тетраэдры. Усечённая пирамида: даётся через задачу. Замечание: Погорелов показывает, что объём не зависит от выбора основания тетраэдра и от способа разбиения простого тела на тетраэдры.

В начале изучался вопрос об объёме простого тела (разобьём на конечное число), тела вращения не яв-ся простыми телами - их нельзя разбить на конечное число тетраэдров. Даём общее определение объёма, аналогия с площадями, когда говорили о площади о окружности. Данное тело имеет объём, если существует: 1. содержащие его простые тела;  2.  содержащиеся в нем простые тела с объёмами сколь угодно мало отличающимися от объёма. Это определение применим к цилиндру. Строим две прямые призмы: 1. содержит цилиндр;  2.  сод-ся в цилиндре. Т.к. площади их оснований сколь угодно мало отл-ся от площади круга (основ. цилиндра), то их объём сколь угодно мало отл-ся от объёма призм. Конус: строим две пирамиды. Усечённый конус: на задаче.

Объём тела вращения: это понятие важно само по себе. Оно б. применено к шару, объём которого б. вычислять по интегралу.  Уч-м сообщ-ся общая   формула V тел вращения.

Сечение тела вращения плоскостью ХОУ:

     в                                        

V=∫πf2(π)dx.    V = 4/3 πR3 - объём шара.

                                       а

Выбираем декартовую с.к. с осями: х,у,z и помещаем туда шар. Договариваемся, как мы его поместим туда: центр шара д. совпадать с начало координат, R - радиус шара. Поверхность шара пересекаем плоскостью ХОУ. Получится окружность, вспоминаем с учениками ур-е окружности: х2 + у2 = R2

Пересекли поверхность шара, не весь шар, берем только верхнюю часть окружности. Как пол-ся шар? Надо взять полуокружность.

у=√R2 - x2, где -R≤x≤R.

              

 

                         

     -R                R

 

У Атанасяна - через интеграл. Уч. Смирновых и Александрова: последовательность изучения другая: сначала тела вращения, а потом многогранники, причём в основе лежит общее определение цилиндра. Если ортогональная проекция, то получаем прямой цилиндр; если ║ - я проекция, то наклонный цилиндр. Если в основании круг, то б. круговой цилиндр. Призмы - частный случай цилиндра. Начинаем рассмотрение с прямого цилиндра, т.е. берётся ортогональная проекция, Sосн*h. 1. в основании - квадрат, сторона а=1, h. V=h.  2.  в основании - фигура F с площадью S, h, V= S*h.

Следствие: 1. Vпрям.парал = авс;

2. Vпрям.приз = Sосн*h.

3. Vкр.ц = . πR2h.

4. Vнакл..ц = S*h (док-во принцип Кавальери).

а) Vнакл..призмы = S*h;

б) Vнакл..круг.ц. = πR2h.