Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

10.Методика изучения положительных и отрицательных чисел.

Это 3 расширение понятия числа (после введения дробных чисел). Ключевой раздел курса мат-ки 5-6 кл. В рез-те получим мн-во рац-х чисел. Исключение – уч-к Никольского. Это расширение представляет значит. трудность. Изучении целых и дробных чисел широко исп-сь на практике, поэтому уч-ки осознавали потреб-ть. А в изучении отр. ч. наибольшую трудность представляет обоснование действий над ними. Уч-ль д. серьёзно отнестись к изуч-ю школьниками этой темы и помогать освоить её.

2 подхода в методике изучения: 1) Идею отриц-го ч. разъясняют на целых числах, а затем на дробных. 2) Сразу испол-ть и целые, и дробные числа. Экономия во времени, но трудно в усвоении уч-ми.

Мотивировка введения: 1) Внутр-я потреб-ть в мат-ке. Истомина исп-т подход: 4 – 5 =? (это не выч-ся). Предлаг-ся калькулятор и предл-ть вып-ть такое действие: 4 – 5 = -1. Числа, кот-е мы имеем со знаком «-» наз-ся отриц-ми.                                      х

                                     -1      0       1

2) Ч/з понятие вектора (подход Эрдниева). Вектор хар-ся 2 хар-ми: длина и направ-е. Этот подход треб-т ввести новое понятие «вектор». 3) на задачах. Рассм-е величин, кот-е м. изм-ся в 2-х противоположных направл-х. Этот способ наиболее применим. С пом-ю сис-мы задач надо показать ученикам, что для их реш-я не дост-но изв-х величин, нужны новые числа: а) задача с темпер-й (термометр). Он показал 100 С. Замёрзнет ли вода? Задача неопределенная. Надо сказать: тепла или холода. б) местонахожд-е объекта (нарис-ть дерево, дупло, белку. Где б. нах-ся белка, если она пробежит 0, 5 км от дупла. (не указано в каком напр-ии).в) денежные примеры (доход – расход, убыток – прибыль), г) игра в домино (штрафные очки «-», выигрыш «+».д) лента времени.

Вывод: в каждой задаче ввод-ся нач-я нулевая отметка. Поэтому нуль – хар-ка величины. В ответе задачи величина хар-ся числом и к этому числу добавл-ся оговорка направ-я, т. е. нематематич-я словесная запись. Математики предложили направ-е хар-ть мат-ми знаками «-» и «+» и ввели числа полож-е и отриц-е. Чисел без знаков нет!!!! Просто матем-ки договорились «+» у полож-х ч. не писать. 4) отриц. ч. вводятся как хар-ки точки, располож-й на корд-й прямой левее начала отсчёта. Это матемизированная форма практич-х задач (способ абстрагирования от величины).

Число – это хар-ка располож-я точки на одной прямой. Определ-е полож-х и отриц-х ч. в школе не даются.

2 базовых понятия: 1) противоположные числа, 2) модуль числа

                                                     ч/з расстояние          

Необ-мо дать опред-е тому и др. понятно и выяснить геом-я суть. Решают упраж-я на закрепление.

Сравнение (Никольский)4 способа: 1) с пом-ю ряда целых чисел, 2) с пом-ю модулей, 3) с пом-ю термометра, 4) с пом-ю модели коорд-й прямой. Правила д. б. усвоены в ходе упраж-й, а не формального заучивания. Послед-ть сравнения: 1) числа одного знака, 2) сравнив. с нулём, 3) когда разные знаки.

Действия: 1) вводятся на задачах, кот. подводят к этому действию и разъясняют его суть и формулируют правила. Правила даются ч/з алгоритмы. Важно научить раб-ть его знаками и модулем числа. Прежде ставим знак, а затем модуль числа. Упраж-е на выработку навыка. Сложение : - 7+(+4) = - 3 (Расход 7 тыс., а приход 4 тыс. Сколько получ-ся в день?) или                                            -2     А                                       

Виленкин                                                            3               (+3)+(-2)=(+1)

Труднее всего ввести умнож-е. Сущ-т много подходов: 1) дедуктивный (без задач), 2) на задачах (задача на движение туриста №1104 – Виленкин). Положение времени – время движения в будущее, отрицат. – время движения в прошлое. Скорость вправо – положит., влево - отриц-е. 3) рассуждения Эйлера. (+5)*(+3), т. е. +5+5+5=+15, (-5)*(+3), т. е. -5+(-5)+(-5)=-15, (+3)*(-5) анал-но,(-5)*(-3)

Итогом этой темы явл-ся понятие рац. числа и действия над ними. Даётся опред-е рац. числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Математич-е понятия и методика их изучения в школьном обучении.

Понятие-это одна из форм мышления, которая отражает общие существенные отличительные (специфическте) св-ва объектов и явлений  в действительности. Матем-кие понятия отражают в нашем мышлении опред-е формы и отнош-я действительности, абстрагированные от реальных ситуаций. Существенные св-ва объекта – это св-во объекта, без кот-х он престаёт существовать. Пример:(а+в)2 – существенные св-ва: квадрат, сумма, два члена. Каждое понятие объед-ет в себе класс объ-ктов (вещей, отношений), обозначаемых одним и тем же термином — объем этого понятия — и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им,— содержание этого понятия. Напр-р, понятие «треуг-к» соед-т в себе класс всевозможных треуг-в (объем этого понятия) и характеристическое св-во — наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содерж-е понятия). Две хар-ки понятия связаны между собой законом обратного отклонения. Чем больше объем понятия, тем меньше его содержание. Сокращение содержания наз-ся обобщением понятия. Усложнение понятия наз-ся ограничением илил специализацией. Обобщение понятия «обыкновенной дроби» будет «алгебраические дроби». Содерж-е понятия раскрывается с пом-ю опред-я, объем — с помощью классификации. Посредством опред-я и классиф-ии отдельные понятия организ-ся в сис-му взаимосвязанных понятий. В формальной логике принято различать понятия 2 видов: 1.понятия об объектах и 2. понятия об отнош-х м/у объектами. Примеры отн-й: <, >, =.

Формирование понятий—сложный психол-кий процесс, начин-ся с образования простейших форм познания — ощущений — и протекающий часто по следующей схеме: ощущения — восприятие — представление — понятие.

Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образов-ии ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Введение понятия: 1 сп. конкретно-индуктивный (конструирование определения);  2. абстрактно-дедуктивный (готовое определение).  3.  усвоение конкретной ситуации;  4. применение.

(рассмотреть  параллелограмм)

При переходе к новому понятию м. исп-ть проблемную сит-ю, чтобы была в этом необх-ть. Напр-р, уч-ся 8 кл. дана текстовая задача, решение кот-й приводит к квадр-му урав-ю, кот-е они решать не умеют. Потреб-ть решить задачу диктует необх-ть изуч-я кв-го урав-я. Организация усвоения понятия м. б. реализована в рамках различ-х методов обучения: объяснительно – иллюстративный (уч-ль сам вводит новое понятие), частично – поисковый (уч-ся привлекаются к поиску нового опред-я). Одно из важн-х понятий – функция.Оно ввод-

7. Задачи в обучении мат-ке и их функции. Обуч-е мат-ке ч/з задачи.

При обучении мат-ке задачи имеют образ-е, практич-е и воспитат-е значение. Они развивают логич-е и алгоритм-е мышление уч-ся, яв-ся основным средством развития пространств-го воображения.

Учебные мат-е задачи явл-ся эффективным и часто незаменимым средством усвоения уч-ся понятий и методов школьного курса мат-ки. Велика роль задач в развитии мышления и в мат-ком воспитании уч-ся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях матем-ки. Решение задач хорошо служит достижению всех целей, к-рые ставятся перед обучением мат-ке. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков матем-ки. Каждая конкретная учебная матем-кая задача предназнач. для достижения чаще всего не одной, а нескольких пед-х, дидакт-х, учебных целей. И эти цели характер-ся как содержанием задачи, так и назначением, к-рое придаёт задаче уч-ль. Дидактические цели, к-рые ставит перед той или иной задачей уч-ль, определяет роль задач в обучении мат-ке. В зависимости от содерж-я задачи и дидиктич-х целей её применения из всех ролей, к-рые отводятся конкретной задаче, можно выделить её ведущую роль.

1.Обучающую  роль матем-кие задачи выполняют при формировании у уч-ся системы ЗУН по мат-ке и её конкретным дисциплинам.

• Задачи для усвоения матем-х понятий (для усвоения понятия логарифма большую пользу принесут упражнения в переходе от записей с показательными ф-циями и их значениями к записям в логарифмической форме, и наоборот. Перед изуч-м св-в степеней с рац-м показ-м полезны упраж-я с целыми показ-ми)
• Задачи для овладения матем-кой символикой. Вычислите, поясните порядок действий и роль скобок: 52 – 42; (5 - 4)2; 5 – 42; (5∙4)2; 5∙42; 52∙42.  Существенное значение в овладении символикой имеет правильное её применение при записи решения задач.
• Задачи для обучения доказательствам. Простейшими задачами, с решениями к-рых практически начинается обучение док-вам, явл-ся задачи – вопросы и элементарные задачи на исследование. Целью решения задач – вопросов явл-ся и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей м/ду ними. Пример, х>у, обязательно ли х2 > у2. Могут ли две бис-сы треугольника быть перпендик-ми? А две высоты? Существенную роль в обучении док-вам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового док-ва.
• Задачи для формирования метем-ких умений и навыков.

цель формирования У обычно ставится при решении первых задач по овладению новым приёмом, алгоритмом, а также задач, показывающих практическую ценность изучаемых способа, приёма, метода. Пример, в первых упражнениях в умножении дробных чисел полезно выполнить подробные записи и объяснить их. Так отрабатывается алгоритм умножения дробей. Пример, при изучении разложения на множители с пом. формул сокращ-го умножения после первых упражнений желательно включить упражнения, в к-рых формулы м/б применены после вынесения общего множителя.

• Задачи, предваряющие изучение новых матем-ких фактов, концентрируют внимание уч-ся на вновь изучаемых идеях, понятиях и методах матем-ки, задачи, создающие проблемную ситуацию с целью приобретения уч-ся новых З, задачи, с помощью к-рых подготавливается сложное для уч-ся док-во теоремы. Пример, теплоход прошёл по течению реки 48 км и вернулся обратно, затратив на весь путь 5 ч. Скорость течения реки 4 км/ч. Вычислите собственную скорость теплохода. Пусть собств-ная скорость теплохода х км/ч, тогда составим ур-е (48/ ( х + 4)) + (48/ (х – 4)) = 5, оно сводиться к ур-ю 5х2–96х –20=0, х = +/-4.Так возникает проблема изучения способов решения квадратных ур-й.

2. Развивающ. роль при решении матем-ких задач.

• Мыслительные умения, восприятие и память при решении задач. Так как все ученики воспринимают задачу по-разному, поэтому необходимо специально анализировать с ними связь и отношение элементов задачи.
• Обучение мышлению. Одно из основных назначений задач заклячается в том, чтобы активизировать мыслительную деят-сть учеников на уроке. Правильно организов-е обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой на аксиомы, определения и теоремы. Вырабат-ть умения прим-ть теор-е знания на практике.
• Задачи, активизирующие мыслительную деят-ть уч-ся. (задачи, включающие элементы исследования, задачи на док-во, задачи в отыскании ошибок, занимательные задачи, отыскание различных вариантов решения и выбор лучшего, составление задач уч-ся)

3. Воспитательная  роль. Обучая решению матем-ких задач, уч-ль в тоже время и воспитывает уч-ся. При решении задач формируются навыки умственного труда уч-ся: усидчивость, внимательность,

6. Теоремы и док-ва, методика их изучения в ср. шк.

Термин «теорема» в литературе используется в двух смыслах:

- теорема – это математическое предложение, принимаемое с док-вом. Описывает св-ва между определяемыми понятиями. - теорема – это любая гипотеза, выдвинутая в процессе исследования и ставится задача либо ее доказать, либо опровергнуть. Но в школе существует единственная точка зрения, что теорема – истинное или верное предложение.

Во втором смысле теорема может быть верной или неверной. В школьных учебниках используется термин теорема в первом смысле, следовательно, учитель не может спросить «Верна ли теорема?». Для учащихся в 7 классе в курсе геометрии даются определения понятиям теорема и доказательство. Предположение, истинность которого устанавливается с помощью доказательства называется теоремой. Цепочка рассуждений, устанавливающая истинность теоремы, называется доказательством. Ложность теоремы называется опровержением ее.

Две формы словесного выражения теоремы: категорическая(краткая) и условная (импликативная)(легко сост-ся обр-е условие). Для док-ва лучше переформ-ть в условную форму.

Пример: Вертикальные углы равны (категорическая)

 Если углы вертикальные, то они равны (условная).

Учащиеся должны от одной формулировки переходить к другой.

Структура теоремы:

1. условие (то, что известно о рассматр-м  в них объектах)
2. заключение (что об этом объекте утвержд-ся и треб-ся док-ть)

Это традиционная структура. Теперь чаще всего добавляют еще и третий компонент – пояснительная часть (объект, о котором идет речь).

Виды теорем:простые (1 усл-е, 1 закл-е) и сложные (неск-ко усл-й, но закл-е м. б. только 1)

В логике:

Теоремы в вершинах квадрата по диагоналям либо обе истинны, либо обе ложны, поэтому такая связь значительно облегчает практику их изучения, нет необходимости изучать все 4 вида теоремы, достаточно рассмотреть пару неравносильных теорем. Обычно это данная и обратная. Однако целесообразно давать задания на формулирование всех четырех математических предложения. Часто учащиеся путают прямую и обратную теорему или делают неправильную ссылку.

Пример: a=b и => a2=b2  обратное предположение a2=b2 => a=b – неверно

1.Теоремы, выражающие необходимое  или достаточное, или необходимое  и достаточное условия. Запись  A=>B можно прочитать: для истинности заключения достаточна истинность условия для истинности условия теоремы необходимо, чтобы было истинно заключение. Если эти две теоремы справедливы, то принято их объединять в одну и говорить о необходимом и достаточном условии (раньше это включалось в геометрию)

1. Теоремы-свойства и теоремы-признаки. Теоремы-свойства выражают необходимые условия, но не достаточные. Теоремы-признаки выражает достаточные условия, но необходимые. Учащиеся часто путают определение и признаки. Чтобы этого не допускать, можно дать учащимся правило распознавания признака и свойства: Если рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема является свойством этого понятия, если же понятие находится в заключении, то теорема является признаком. Чтобы из свойства получить признак понятия следует построить предложение, обратное свойству и проверить его истинность.
2. Теоремы существования и единственности.
3. Теоремы следствия и леммы. Лемма – вспомогательное предложение, требуемое для доказательства какой-либо теоремы. Теоремы-следствия – их доказательство проводится на основе ранее доказ-й теоремы.