Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

21. Методика введения  понятия произв-й. Приложении произв-й.

Это центральное понятие математич. анализа. «Модель реальной ситуации», имеет широкое применение. Это понятие в истории математики возникло раньше понятия предела ф-ции. При введении понятия производной опорными понятиями явл.: понятие действит. числа; понятие ф-ции, ∆x, ∆у, ,∆у/∆x; понятие предела ф-ции. Где изучаются: у Алимова 11 класс, остал. 10. Примерно отводится 30-40 ч. Цель изучения 1)изучение нового важнейшего понятия в матем. 2) практич. применение в физике, в геометрии, в алгебре, в технике, в ≈ вычислениях 3) исследование ф-ции. Как изучают: дедуктивно, индуктивно. Можно начать с двух классич. задач: задача о мгновенной скорости и о касательной. Задачи различны по содержанию, но в процессе их решения нужно совершить некоторую последовательность операций, и в итого подсчитать предел особого рода. Эти задачи выступают в качестве мотивировки вводимого понятия. Лучше их сразу рассм., а можно только одну. Подготовка к восприятию нового материала: повторить опорные понятия и рассм. их геометрич. смысл.1)прежде сообщить ученикам, что на практике часто нужно знать не значение величин, а ее изменение.

2)задача о секущей; задача  о ср. скорости движения. Обобщение этих двух задач средняя скорость изменения скорости. Секущая- это прямая, проход. ч/з любые 2точки графика ф-ции. Ср.  скорость показывает чему равно перемещение за единицу времени. В учебниках  для большей убедительности рассм. конкретно. Виды движения: свободное падение или тело, брошенное вверх.3)задача о касательной; задача о мгновенной скорости. Как обобщение этих 2х задач: скорость изменения ф-ции в точке. Касательная-это прямая, с которой практически сливается график ф-ции f в некоторой окрестности т. x۪ наз. касат. к графику ф-ции в т.(x,f(x)).На малом  участке кривая неотделима от отрезка касат. Вблизи этой точки мы заменяем изучаемую ф-цию линейной. т. е. упрощаем ее изучение, но при этом огрубляем; имеем ≈ описание с некот. погрешностью. Процесс выпрямления ф-ции математики называют линеаризации. Кривая,в каждой т. которой имеется касат. наз. гладкой. Данное определение касат. встречает затруднение у учащихся, поэтому иногда дают другое определение: касат. это есть предельное положение секущей. Отсюда, первое направление пропедевтики- глубокое изучение линейной ф-ции(к моменту изуч. производной уч-ся д.б. известно опред. линейной ф-ции, вид ее графика. Важно, чтобы уч-ся имели отчетливое представление об угле, составленном с осью абсцисс( величину этого угла б. наз. углом наклона прямой. Основная часть сведений о связи линейной ф-ции и ее графика: если линейная ф-ция задана формулой y=kx+b, то тангенс угла наклона прямой, явл-ся графиком этой ф-ции = k); второе- работа над понятием приращения аргумента и приращения ф-ции (удобно использовать обозначения ∆x, ∆y, ∆f(x),а не обозначать их одной буквой. Следует предупредить уч-ся о том, что символ ∆ заменяет слово разность; третье- введение понятия касат. к кривой. Расплывчатое определение мгнов. скорости (υср=, => υмгнов= , υмгнов ≈ υсред.) в физике математика помогает записать корректно: ∆f(x)/∆x. Иначе это производная ф-ции в т.x0:

f ’(x0)). Признаки:

1) x۪ - фиксир. точка

2)сущ. f(x۪ ) в этой точке ф-ция определена

3) (x۪ +∆x)-должна находиться в окрестности этой точки,ф-ция д. б. определена и в этой точке

4)производная ф-ции в т. есть действ. Число. Проблема: во всякой ли точке области определения сущ. производная, ответ нет. Например, y=│x│в т (0,0). Операция нахождения производной наз. дифференц-м. Рассм. и понятие производной ф-ции на промежутке, при этом точка x наз. текущей. Как вычислить производ. ф-ции?  Алгоритм основан на определении производной. Учитель еще раз даёт проанализировать 2 рассмат-е задачи и выделить этапы решения.

Алгоритм:

1) выбираем точку, даем  ей приращение

2) вычисляем значение и  составляем разность значений

3) составляем разностное  отношение

4) переходим к пределу. По этому алгор. нах. производные элемент. ф-ций. Постепенно составл. таблицы производных.

Проблема: как вычислить производную ф-ции, явл-ся результатом арифметич. действий.

Применение: чтобы найти Sсферы, нужно доказать формулу Vшара:. Если найдём производную по радиусу, то найдём Sсферы:.

 

 

 

 

 

11. Методика изучения дробных чисел: обыкновенные  и десятичные дроби.

Программой предусматривается изучение дробных чисел в V классе, а отрицательных чисел в VI классе. К такой последовательности изучения этих тем готовит изучение математики в младших классах средней школы. Действительно, с дробными числами учащимся приходится значительно чаще встречаться в окружающей жизни, чем с отрицательными. Следует учитывать также и то, что исторически дробные числа появились значительно раньше отрицательных и, значит, должны легче усваиваться учениками.

Дробные числа – второе расширение понятия числа. Первое к N+ {0}

Цель изуч-я дроб-х чисел: познак-ся с понятием дроби и науч-ся вып-ть действия с дроб-ми ч. и решать задачи.

Послед-ть изуч-я: Сущ-т 4 варианта расширения понятия числа: 1) Виленкин, Мордкович –понятие обыкн. дроби на пропедевт. уровне, десят. др., обыкн-е др. (систематич-е изучение), совместное изуч-е обыкнов. и десят. дробей.

2)Дорофеев, Истомина(изучение от общего к частному) – обыкн. дроби, затем как частный случай – десятич., затем совмест-е изучение. 3) Эрдниев – сразу и обыкн. и десятич. дроби изуч-ся вместе. 4) Томские учеб-ки: Десятич. дробь с повтор-м нат. чисел, а затем обыкнов-я др., совместное изуч-е.

Источники появл-я дробей: 1) Дробь как рез-т разделения целого на равные части (долями), т. е. дробь как чась целого (упражн.: сначала  целое – пирог, арбуз, затем геом. фигуры) уч-ся наглядно делят объект на доли и берут одну или неск-ко их, е затем зеписать это – получ. новые числа. Дроби связ-ся с лолями предмета, а натур. ч. – с предметами. В 5 – 6 кл. нач-ся систематич-е изуч-е др-й. А в 7 – 9 кл. – алгебраич. дроби. Для записи рез-та использ-я нового ч., т. е. дроби исп-т натур. ч., т. е. появ-ся двухэтажная запись. , a – числит-ль, b – знам-ль. Если а<b – прав-я дробь, если a≥b – неправ-я. Смысл дроби: b – на сколько долей делим целое, а – сколько таких долей мы взяли. 2) Дробь как рез-т измерения величин. Дроби возникли из потребности измер-я величин. 3) Дробь как рез-т деления нат-х чисел.

Сравнение действий: 1) Дробь с один. знам-ми. (срав-ся числ-ли или с пом-ю корд-го луча.2) Дробь с раз-ми знам-ми.(привести к одному) 3) Смеш-я запись дробей(сравнение с 1).

Правило м. выводить двумя способами: 1) формальным и догматическим 2) содержательно. В уч. Никольского правила вводятся как опред-е действий . Предварительно вопросы с преобразов-м дробей и св-ми.

Основное св-во дроби: рассматр-ся в ходе практич. работы; наглядно объяснить как получ. дроби.

 

1)как мы получ. новые дроби из . (умножаем). 2) как от каждой новой дроби перейти к старой ? (делим) Речь идёт о равных дробях. На этом св-ве основано тождеств-е преобраз-е (сокращ-е дробей). Привести к новому знам-лю: . Привести к общему знам-лю. Привести к наим-му общ. знам-лю. К любому ли знам-люм. привести дробь? Не к любому, только знам-лю кратному данному.

План (при изучении действий): 1) смысл действия, обоснование. 2) последов-ть изуч-я. 3) правило в виде алгоритма. 4) запись на буквах. 5) запись на дробях. 6) проверка законов.

Умнож-е на натур-е ч.: действие – умнож-е. Задача: 1м - р., 5 м - ? 

 

Умнож-е дробей: Задача на выч-е площадей. дл. - , шир - м. S - ? S =

 

Виленкин и Дорофеев обр-т вним-е на правила – все на задчах. Истомина организ-т уч-ю деят-ть ч/з задачи(рассм. выше)

Деление: 2 правила: 1) замена умнож-м; 2) по правилу(чтобы одну дробь разд-ть на др. надо числ-ль 1 др. умн-ть на знам-ль 2 др. и зап-ть в числ-ль 2 дроби и записать в знам-ль.. Задачи:1. Какую дробь одно число состав-т от другого; 2. Нахождение дроби от числа; 3) нахождение числа от дроби. 2 способа рассуждений: - содержательный (на основе смысла дроби); - формальный (на основе сообщённого правила). Надо шире применять наглядность.

                                             Весь путь = 160 км. Чему равна 1/8 пути?

                                             = 160: 8 = 20 км. Чему равно 3/8 пути? 20*3=60км. (180: 9)*4 =

1.2. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике.

Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической, формой такого перехода, является индукция представляющая, собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок. Использование этого метода рассуждении, для получения новых знании в процессе обучения называют индуктивным методом обучения. Результат- эмпирические знания. Индуктивный вывод – вероятностный. Анализируем конечное число частных случае.

Виды индукции: 1. неполная (вывод  графика линейной ф-ии основан на рассмотрении конечного числа частных случаев). 2. полная (базируется на рассмотрении частных случаев) основан на переборе всех возможных частных случаев. Пример: док-во теоремы синусов для 3-х видов треугольников (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный.        

Дедукция (выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение выводится чисто логическим путем, т. е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей) (от общего к частному, результат – теоретические знания, дедуктивный вывод – достоверный). Впервые теория дедукции (логического вывода) была разработана Аристотелем. Эта теория развивалась, совершенствовалась с развитием науки логики. Дедуктивное рассуждение отличается от индуктивного или рассуждения по аналогии достоверностью заключения, т. е. в дедуктивном рассуждении заключение истинно, по крайней мере когда истинны все посылки. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических доказательствах. Широкое применение дедукции в математике обусловлено аксиоматическим методом построения математических теорий.

Аксиоматический метод: некоторые предложения, выражающие основные свойства первоначальных понятий или отношения между ними, принимаются за истинные. Это исходные предложения, или аксиомы теории. Истинность же остальных предложений, теорем этой теории, устанавливается с помощью дедуктивных доказательств, т. е. все остальные предложения теории логически выводятся. Дедукция как метод обучения математике включает:1) обучение дедуктивным доказательствам (обучение мыслит-м процессам поиска и построения док-ва, а не воспроизвед-ю и заучиванию готовых док-в).2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т. е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических методов, в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории. Обучению поиску и построению док-в направл-ся тремя осн-ми вопросами: Что? Откуда? Как? Выделим 2 уровня в обучении док-ву: 1. (5 – 7 кл.) Док-во рассматр-ся как рассуждение, с пом-ю которого истинность одного предложения устанавл-ся на основе истинности др-х предлож-й. 2. (старшие кл., факульт – е занятия). Уч-ся стан-ся доступным анализ док-ва, выявление его логич-й структуры, исп-х в нём правил вывода, т. е.  формализация док-ва.

Анализ – логический прием, метод иссл-я, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно расчленяется на составные элем-ты (признаки, св-ва, отн-я), каждый из кот-х исслед-ся в отдельности как часть расчлененного целого (ребенок разбирает игрушку).

Синтез – логический приём, с пом-ю которого отд-е элем-ты соед-ся в целое (ребенок разбирает игрушку).

Методы решения задач: аналитический (от вопроса к условию) и синтетический (от условия к вопросу).

Два вида анализа: восходящий (арифметический метод) и нисходящий (несовершенный)-задачи на построение, предполагаем, что фигура построена, алгебраический метод.

А

А достаточно для В, В необходимое условие для А.

Восх. ан.: поиск достаточных условий для В:  В

Нисх. ан. : поиск необходимых условий, предполагаем, что В истина

В

В мат-ке под анализом понимают рассуждение в «обр-м направл-ии», т. е. от неизвестного к известному или от того, что необх-мо док-ть к тому, что уже доказано.Анализ яв-ся средством поиска решения, док-ва, хотя сам по себе решением не яв-ся. Синтез, опираясь на данные, получ-е в ходе анализа, даёт решение задачи или док-во теоремы. Анализ лежит в основе общего подхода к решению задач (для нестандартных задач, для кот-х нет алгоритма), изв-го под названием сведения задачи к совокупности подзадач. Идея подхода состоит в свойственном для анализа «размышлении в обр-м направ-ии» от задачи, кот-ю надо решить к подзадачам. Получим набор элементарных задач (т. е. задачи, реш-е за один шаг поиска или

24. Факультативные  курсы как форма углубленного  изучения математики. Сод-е факультативных занятий, методика их прим-я.

Назначение факультативных занятий состоит в развитии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой по избранному предмету и на ее основе

Цель организации ФЗ – расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств. ФЗ содействуют проф. ориентации учащихся в области математики и ее приложений, облегчая тем самым выбор специальности и дальнейшее совершенствование в ней.

Проведение ФЗ требует высокого уровня проф. подготовки учителя. Выбор факультатива проводится школьниками свободно, в соответствии с интересами.

Факультативный курс математики представляет собой систему нескольких тем, относительно слабо связанных между собой. Каждая из них развивает некоторые из основных для школьной математики идей, понятий, методов. Таким образом основной курс служит источником тем для углубленной разработки на факультативе

Взаимосвязью основного и факультативного курсов естественно воспользоваться для развития мышления учащихся.

Еще одна особенность ФЗ – их преемственность в отношении к многим формам внеклассной и внешкольной работы по математике.