Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

Виды доказательств:

1.Прямое (установление истинности утверждения сформулир-е в теореме)

2.Косвенное (доказательство от противного)

(20) Способы док-ва: аналитический (З→У), синтетический (У→З) (большинство, достроим…) З→У – восходящий анализ (подбор достаточных условий); нисходящий анализ – подбор необх-х условий.

Математические виды доказательств:

Координатный метод; векторный метод; геометрических преобразований и др.

Этапы формирования работы над теоремой:

1. Пропедевтический 5 – 6 класс. Цель – с помощью упражнений сформировать у учащихся потребность в обоснованиях своих и чужих высказываний; начало дедуктивного мышления; понимания структуры умозаключений; умение проводить обоснование и опровержение фактов.(мотивация введения теоремы)
2. Систематический с 7 класса. В систематических курсах формулируются теоремы и их доказательства, то есть здесь важна формулировка и доказательство. Поэтому работа над теоремой включает работу над формулировкой и работу над доказательством.

Методы введения теорем: конкретно – индуктивный (к-и)(частично – поисковый) и абстрактно-дедуктивный (а-д)(объяснительно – иллюстративный). К – И: анализ эмпирич-го мат-ла; отнош-е м/у объектами; формулир-ка теоремы; примеры подтверждений; усвоение теорем в процессе их применения. Док-во – это процесс получения З и У с пом-ю изв-х фактов.

Технология организации изучения теорем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(19) сосредоточенность, настойчивость, упорство в достижении цели, аккуратность, вырабатывается стиль мышления…

По функц-му знач-ю задачи дел-ся: на обучающие(формир-е ЗУНов),  контролирующие(контроль сформиров-ти ЗУНов).

Основ-е компоненты задачи: 1. условие, 2. базис реш-я (теорет-е обосн-е реш-я), 3. решение (преобраз-е усл-я для нахожд-я требуемого), 4. заключение. Математ-е задачи – это задачи, в кот-х переход от (1) к (4) осущ-ся матем-ми средствами.

По отношению к математической теории задачи делятся на стандартные   (для кот-х сущ-т определ-й алгоритм решения) и нестандартные ( не имеющие общего алгоритма) – проблемные, поисковые задачи.

Задачи по специфике мат-го содержания: арифметические (вычислительные упражнения с рац. числами), алгебраические (док-ва тождеств), начал анализа (упр-я на производную), геометрии (решение треугольников).

Фронт-е реш-е задач – реш-е одной задачи всем классом в одно время. Устное реш-е – распростр-но в среднем звене школы. (упр-я в вычисл-х и тождеств-х преобраз-х и задачи – вопросы. Следует исп-ть таблички, кодоскоп…

Письм-е реш-е задач с записью на доске: при реш-ии первых  после показа учит-м задач на ознак-е с новыми понятиями и методами, при реш-ии задач, с кот-ми не м. справ-ся уч-ся., при рассмотр-ии различ-х вариантов реш-я одной и той же задачи., при разборе ошибок, допущ-х неск-ми уч-ми.

Письм-е самост-е реш-е задач – ученики учатся творчески думать, сам-но разбир-ся, повышает учебную активность.

Комментирование реш-я мат. зад. – все уч-ки сам-но реш-т задачу, а один из нихх последоват-но поясняет реш-е. Каждый шаг д. б. оправдан ссылкой на изв-е матем. предлож-я.

Индивид-е реш-е зад. – уч-ль выяс-т подготовку учеников к реш-ю задач. М. б. разного рода сам-е работы, для устранения пробелов. Дом. зад-е имеет целью повторение и совершенствов-е мат-х ЗУНов. М. давать делать доклады, рефераты, анализы статей.

Задачи дел-ся на уровни: обязат-й (3), повыш-е(4), высокий(5). Задачи приклад-го хар-ра: показать как прим-ся метод матем-го моделир-я.

Пример задачи: условие→ требование (синтетич-й); требование→условие (аналит-й).

Обучение уч-ся реш-ю м. з.: 1) познакомить с алгоритмом реш. з. 2) отработать каждый шаг в отдельности. 3) решать задачи различ-го уровня с прим-м алгоритма.

Этапы реш-я задач: 1) анализ усл-я. 2) поиск способа реш-я. 3) составл-е плана реш-я и осущ-е его. 4) исслед-е получ-го реш-я.

Недостатки при обуч. з. : часто идёт погоня за колич-м реш-я зад., а не за качеством; уч-ся не обуч-ся общим методам реш-я задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 (18) ся в 7 кл. Но в 5 и 6 кл дети готовятся к восприятию этого понятия. Функцион-й пропедевтикой яв-ся изуч-е темы: Коорд-я пл-ть.

Однако формирование математических понятий не всегда начинается с ощущений. В частности, когда формируемое понятие связано, с категорией бесконечности (как, например, понятия прямой, плоскости, плотности множества рациональных чисел, предела и др.), то чувственная ступень играет меньшую роль, т. к. мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме),

Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежащих между любыми двумя рациональными числами, не подкрепляется, а, наоборот, «опровергается» конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество.

Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение. Опред-е – это указание существенных признаков, достаточных для распознавания объекта. В математике и в обучении математике применяются различные способы определения понятий. Наиболее часто, особенно в обучении геометрии, встречается определение «через ближайший род и видовое отличие». Примером такого определения является следующее: Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом. Как видно, это определение состоит из двух частей: «прямоугольник» — определяемое понятие и «параллелограмм с прямым углом» — определяющее понятие.

Анализируя определяющее понятие «параллелограмм с прямым углом», выделяем понятие «параллелограмм» (ближайший род) и свойство «наличие прямого угла» (видовое отличие). Название «ближайший род» оправдано тем, что не выделено другое понятие, объем которого включается в множество параллелограммов и включает множество прям-в. Если бы определили прям-к как четырехугольник, у которого противоп-ые стороны попарно параллельны и имеется прямой угол, то мы получили громоздкое определение потому, что понятие «четырех-к» не явл-ся ближайшим родом для прям-ка (имеется понятие «параллелограмм», объем кот-го вкл-ся в множ-во четырех-ков и вкл-т множ-во прям-ков), и поэтому усложнилось характеристическое свойство (видовое отличие). Общая схема определения «через ближайший род и видовое отличие» может быть записана на языке множеств (классов):

В = {х | х є А и Р(х)} (класс В состоит из объектов х, принадлежащих А — ближайшему роду — и обладающих свойством Р — видовым отличием) или на языке свойств:   В {х} óА (х) и Р (х) (объект х обладает свойством В тогда и только тогда, когда обладает свойством А и свойством Р).

В нашем примере В — определяемый класс прямоугольников (или свойство «быть прямоугольником»), А — класс параллелограммов (или свойство «быть параллелограммом»), Р — свойство «наличие прямого угла». Такое определение является явным определением, в котором четко (явно) выделены определяемое и определяющее понятия. Оно позволяет нам заменить при необходимости одно понятие другим. Очень часто такой заменой пользуемся в доказательствах теорем. Однако не все математические понятия могут определяться таким образом. Должны   быть некоторые исходные, первоначальные понятия, которые неопределяемы через другие понятия данной теории, так как им не предшествуют никакие другие понятия этой теории. В процессе обучения должны создаваться такие пед. ситуации, кот-е помогли бы открыть учащимся характерную особенность системы матем. понятий, связанную с дидактическим построением теории.

Логич. стр-ра опр-й: Опред-я м. б. разбиты на 2 класса:  1. конструктивные (указ-ся способ построения опред-х объектов) и 2. дескриптивные (описательные)(перечисл-ся св-ва нового понятия.

Требования к опред-ю: 1. в опред-ии д. б. определяемое и определяющее (то, ч/з кот-е опред-м); 2. понятия д. б. соразмерны (равного объёма); 3. независимость существ-х св-в друг от друга (краткость вводимого опр-я); 4. Не д. содержать порочного круга (Порочный круг – одно понятие опред-ся ч/з второе, а второе ч/з первое.; 5. Не д. б. быть отрицательным (где отрицается наличие нек-го св-ва); 6. не д. содержать метафор.