Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

Колмогоров: строит графики показ-й и логар-й ф-ии

Башмаков:теория урав-й выше названия пункта исследов-я логарифм-й ф-ии. Сравнение роста ф-ии по срав-ю со степенной. Все св-ва д. иллюстрировать на графике.

Мордкович: большое внимание уделяет преобразованию графиков. У Ал. и Б. св-ва доказ-ся. Понятие обратной ф-ии не яв-ся обязательным, обратная ф-я: решаем ур-е относ-но х, поменять местами х и у. Всякая ли ф-я имеет обратную? Нет, только монотонно возраст-я или монотонно убывающая.

Логарифм. ф-ция и ее график:

Определение ф-ция обратная к показательной ф-ции, наз-ся  логарифмической. Если  у=ах (a>0 и a≠1), то х=logay или переставляя  значения аргумента и функции : у=logax.

График логарифм. ф-ции  можно получить  по общему правилу из графика показат-ой ф-ции, если перегнуть по биссектрисе первого и третьего координатных углов.

Исследование графиков функций:

У=2х

 a>1

1. D(y)=R+ (0;∞)
2. E(y)=R (-∞;+∞)
3. Возрастает (a>1) (д-во на основе опр-я)
4. Убывает  (0<a<1)
5. x>1, y>0  (a>1)
6. 0<x<1, y>0(0<a<1)
7. 0<x<1,y<0 (a>1)
8. x>1, y<0(0<a<1)

У Алимова доб-ся св-во: промежутки знакопостоянства.

Способы решения уравнения:

1. приводимые к квадратным;

2. приводимые к виду,  удобному для потенцирования;

3. графически;

4. приведение логарифма  к одному и тому же основанию;

5. логарифмируются обе  части.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7) уч-х ведётся изуч-е св-в по-разному: 1) чётность и неч-ть     (для степ.) У уч-в часто ошибка: они огранич-ся только символической записью, 2) периодичность, 3) возраст-е и убыв-е), 4) экстремумы. Мордкович и Алимов св-ва описали однаково, хотя у М. их больше. Исслед-ть триг-ю ф-ю – выявить характер-е особ-ти ф-ии. У Ал. и М. всё в пунктах назв-й, а у Колмогорова в табличке. 2 этап в исследов-ии:с пом-ю производной (экстремумы).

Существенное внимание необх-мо уделить анализу задач, помещенных после пункта учебника, в котором рассм-ся св-во пер-ти тр-их ф-ий. Выводы:

1. Понятие о тр. ф-циях числового аргумента рассматривается в 10 кл. на основе повторения известных учащимся сведений из курса алгебры 9 кл;
2. В 10 кл важно выделить все существенные признаки понятия «тр. ф-ции числового аргумента»исходя из двух понятий: «числовая ф-ция» и «тр. ф-ция углового арг-та»;
3. При рассмотрении понятия «тр. ф-ции числового арг-та» важно сделать актуально- осознаваемой уч-ся идею соответствия каждому действительному числу(значению аргумента) другого действит-го числа(значения тр. ф-ции); исп-ть опред-е тр. ф-ции числового арг-та и известные св-ва этих ф-ций для построения графиков; отразить существ-е признаки понятия «периодическая ф-ция» в ходе решения задач; с этой целью (и на основе анализа набора задач учебника) составить систему задач.

Уравнения реш-ся методами: подстановки, разлож-е на множ-ли, группировка, понижение степени, универс-е подстановк, введение вспомог-го угла. Урав-я с парам-ми реш-ся на факультативе.

Неравенства реш-ся либо с пом-ю графиков (отказались сейчас), либо с пом-ю единич-й окр-ти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6) части уч-ка, но не расчленены на этапы реш-я. Важно обр-ть внимание на описание построения, символику.

2) Комбинированные задачи- в которых повторяется одно  из построений несколько раз, или два и более построений.

Прим-ся 2 осн-х построения: (постр-ть прям. треуг-к по 2 катетам) – решение сост-т из применения разных построений. В обяз-й рез-т обуч-я входят только несложные комбинир-е задачи. Более сложные провер-ся с анализом устно, построение и док-во – письменно. Большое внимание на построение треуг-ка. 3 этапа: чертёж, набросок, выясняют св-ва, кот-ми обл-т вершины треуг-ка. Опр-т какими м. восп-ся св-ми для построения. Состав-т план постр-я. Часто в анализе мы ищем вспомог-е треуг-ки, кот-е м. построить. Иногда проводят доп-е построения. Исследов-я в 7 кл. не провод-ся, но в книге дано. Все задачи реш-ся одним методом: сведение к элемент-м построениям.

Метод ГМТ: вначале рассм-м примеры ГМТ (бис-са угла, серед-й перпенд-р), ищем точку, характ-ся двумя усл-ми: ГМТ удовл-т 1му усл-ю, т. е. это фигура f1 и ГМТ уд-т 2му усл-ю, т. е. фигура f2. Общие точки и будут решением, след-но точка равна f1 пересек-т f2.

Задача. Два насел. пункта А и В расположнеы по разные стороны от дороги МН. В каком месте дороги нужно сделать остановку автобуса, чтобы она была одинакова удалена от А и В?

(Провести прямую через  А и В, l – серединный перпендикуляр к АВ).

Метод движения предполагает фигуру постоянной, подбирают движение, в рез-те кот-го образ-ся вспомог-я фигура, удовлетв-я 2м усл-м: она м. б. построена по данным задачи; она связана с искомой фигурой, т. е. будучи построенной позволяет построить исх-ю фигуру.

Метод подобия:условия разбивают на 2 части: которое опред-т форму искомой фигуры с точностью до подобия, а другое – размеры. По 1ой части усл-я строят фигуру, подобную искомой, а затем преобазуют её в искомую, с учётом 2ой части (постр-ть треуг-к по 2м углам и высоте)

Алгебр-й метод: стр-ся отрезок  - четвёртый пропорциональный

х – корень квадр-й из суммы квадратов а и b. (среднее геом-е). Выд-ся задачи на сообразит-ть (разрезать трапецию – уч-к Смирновой)

 Не все задачи можно  решить с помощью циркуля и линейки. (квадратура круга, удвоение куба, трисекция угла).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5) направлены, то они равны. Док-во этого следствия также проводится с использованием пар. переноса и его свойств. Использ. координаты при изложении понятия «векторы». Причем корд-ты задают не вектор как направленный отрезок, а свободный вектор, т. е. у всех равных векторов координаты одни и те же.

У этого подхода к введению векторов есть и достоинства, и недостатки.  Достоинства: отсутствие трудностей, связанных с введением операций над векторами и законов векторной алгебры. Недостатки: геометр. смысл этих операций отодвигается на второй план, а приложения векторов в физике и в геометрии почти не рассм-ся. Операции над векторами. Операции над векторами, которые изучаются в средней школе, следующие: сложение векторов (вычитание), умнож-е вектора на число, скаляр-е произвед-е вект-ов. Часто эти операции вводятся в геометрической форме. Отличительной чертой у Погорелова явл-ся: все операции над векторами вводятся в координатной форме. Это позволяет легко получить св-ва этих оп-ций, а соответствующие геометрические правила выполнения этих операций (правила: треуг-ка и параллелограмма (у Атан.), нахождения скалярного произведения; построение произведения в-ра на число) док-ся.

1)  Сложение в-ов: Коорд-й: суммой в-ов А(а1;а2) и В(b1;b2), называется в-ор С(a1+b1; a2+b2) . Сложение векторов в пространстве определяется так же, как и на плоскости: суммой векторов A(а1; а2; а3) и B(b1;b2;b3) называется вектор C(а1+b1+c1;a2+b2+c2;a3+b3+c3).

Вектор-й:

                      2) Умножение вектора на число. Определение этой операции сформулировано в координатной форме: произведением вектора A(а1;а2) на число X, называется вектор C(Xa1,Xa2), т. е. X∙A = C(Ха1,Ха2).

Применение векторов к доказательству теорем и решению задач.

Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геом-ии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометр-х понятий, док-ва некоторых теорем шк. курса геом., позволил создать особый метод решения.

Задача: Док-ть, сто диагонали ромба перпендикулярны.

Этапы решения: 1. Переформулировать задачу на векторный язык; 2. Средствами векторной алгебры решить задачу;

3. Обратно вернуть задачу  на геометрический язык и записать  ответ.

Решение: 1. AB=

2.

3. Т. к. векторы совпадают с диагоналями, то диаг-ли перпен-ны.