Шпаргалка по дисциплине "Методика изучения геометрии и алгебры в средней школе"

Для записи иррац-х чисел  исп-ся знаки операций, в результате которых они пол-ся. Учащиеся рассм-т число пи, е …

2. задача о десятичном  измерении отрезков: теоретически  эта процедура – бесконечный  процесс. В результате мы получаем  бесконечную десятичную дробь, но  только для рац-х чисел она яв-ся периодичной, а для иррац-х нет. Новое  представление числа в виде бесконечной, десятичной, непериодичной дроби. 3. решите уравнение х2 – 2 = 0. На мн-ве рац-х чисел не может быть решено.

4. постойте график функции  на мн-ве Q, например параболу. При построении получаем просветы. Чтобы заполнить все точки, нам нужны новые числа.

Перед изучением иррац-х чисел, учитель должен посвятить одно – два занятия на систематизацию и обобщение знаний о рац-х числах. Иррац-е число вводится как  непредставимое в виде дроби m/n, m принадлежит Z, n принадлежит N, но может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби. В существующих ныне учебниках алгебра 8-9 кл. исп-ся разл. мотивирование для введения новых чисел. В уч. Алимова в кач-ве метод. основы берётся бескон. десят. дробь. В Макарычеве сначала речь идет о десят. измерении отрезков. На практике обычно иррац-е числа представляют в виде рац-х с требуемой точностью. В дальнейшем действия осуществляются с помощью калькулятора. Числа изображаются на прямой с помощью теоремы Пифагора (диагональ откладывается).

Способы сравнения: по правилу десятичных дробей (задача: что больше длина гипотенузы треугольника с катетами 1 и 3 или длина окружности с радиусом 0,5); с помощью графика функции (сравнить ; на основании определения, когда аесли   в – а ≥ 0.

Действиия:

Даются в большей степени для математических классов, а в обычных – их заменяют рац-ми (т.к. для практических нужд достаточно этого). Говоря о действиях нужно подчеркнуть, что не всегда результат – иррац-е число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15) сократить дробь,  преобразовать

 Способы док-ва тождеств:

1. док-во А=В       А=…=…=В

2. ---------               В=…=…=А

3. поочер. пр-я, пка не получ. одно и тоже  выр-ие А=…=С    В=…=С

4. док-ся, что А-В тождественно =0

Изучение тожд-х преобр-й дробных выр-й: Необ-мо повт-ть законы и св-ва действий, прим-ть аналогично к действиям с обык-ми дробями. Существ-м элем-м темы явл-ся опр-е тождества. Рассм-ся основное св-во дроби (м. умн-ть числ-ль и знам-ль и это ничего не изменит). Правила действий с дробями вводят (слож., умн-е, возвед-е в степ., дел.).

Дробные выр-я, рав-ва, сост-е из дроб-х выр-й, рассм-ся только при допустимых знач-х (в отличие от целых выр-й), значит тожд-е преобр-е др-х выр-й представл-т собой его замену рациональным выр-м, тождественно равного исходному. При всех допустимых для обоих выр-й знач-х перем-х ввод-ся понятие отриц-й степени (для полож-го основ-я и рац-го показателя).

Изуч-е т.п. целых выр-й:

1) преобразование степени  с натур-м показ-м. Уч-ся знак-ся со св-м степени с натур-м показ-м и учатся вып-ть действия с ними. Первое представл-е о степени уч-ся получают в 5 кл., науч-сь нах-ть знач-я простых выр-й, содерж-х степень. Опред-е степени ввод-ся при рассмотр-ии квадрата, нах-т его площадь. Вводят удобные обозначения степени. Степенью числа а с нат-м показ-м n, большим 1, наз-ся произв-е n множит-й, каждый из кот-х равен а. От уч-ся добив-ся правильного чтения выраж-й. Рассматр-т действия возведения в степень. Затем из-т св-ва степени.

2) ввод-ся понятие одночлена. При реш-ии разл-х задач часто встр-ся алгебр-е выр-я вида ab, 1/2abc, 3a2b,…Выр-е 3abc – произв-е 4-х множит-й, 3х букв и 1 числа. Произвед-е числ-х и букв-х множ-й наз-ся одночленом. Т. к. произведение равных множ-й м. записать в виде степени, то степень числа и произведение степеней также яв-ся одночленами. Любой одночлен м. записать в станд-м виде (числ-й мн-ль наз-ся коэф-м одночлена) (рассм-ся задача о нахожд-ии объёма параллелепипеда, стороны кот-го имеют численные и букв-е знач-я, его преобразовывают).

3) многочлены. В алгебре  часто рассм-ся выр-я, представл-е собой сумму одночленов, их наз-т многочленами. Одночлены, его составляющие, наз-т членами многочленами (частные случаи – двучлен,…) Основная задача тожд-х преобраз-й целых выраж-й – преобраз-е их в многочлен стандартного вида: 1) приведение подобных слагаемых, 2) Сложение и вычит-е многоч-в (задача о нахожд-ии периметра по рисунку, когда стороны даны в виде значений отрезков). 3) умн-е одночлена на мн-н, 4) мног-на на мног-н, 5) деление одн-на и мн-на на одночлен. Рассм-ся понятие о степени мн-на (наиб-я степень одн-на вход-го в него). Исп-ся такие преобр-я как: - вынесение общего мн-ля за скобки; - метод группировки; - ф-ла разности квадратов и т.д.

Изуч-е т. п. иррац-х выр-й: Для расширения понятия степени с целым показ-м необ-мо потребовать, чтобы все св-ва верные для целого показателя остались верными и для дробного с положит. основанием. Этому требованию удовлет-т опред-е степени аm/n , где а>0, m€Z, n€N с пом-ю рав-ва аm/n = .  В отличие от преобраз-й рац-х выраж-й, преобраз-е выр-й содерж-х степени с дробными показ-ми, допускают большую вариативность. (а 6/7 – 1 м. преобраз-ть по-разному: выд-ть разность квадратов или кубов).

Уч-ся д. усвоить основную идею: всякое полож-е число м. представить в виде степени: (а1/n)n. Определ-е корня n –й степени даётся по аналогии с опред-м квадр-го корня (это такое число, n-я степень кот-го равна а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14) 2. Вычисление объёмов. В основе лежит та же идея. Нам понадобится формула для вычисления объёма прямого цилиндра с произвольным основанием V = SH (S – площадь основания, Н – высота).

Поставим задачу вычислить объём тела, у которого известна площадь любого сечения, перпендикулярного некоторой оси х. Пусть тело располагается при этом между плоскостями, перпендик-ми оси и проведёнными через точки а и b на ней. Обозначим площадь сечения S и рассм-м только случай, когда ф-ция S(х) (площадь сечения, проведённого через точку х) непрерывна на [а;b]. Наряду с этой ф-цией рассм-м ф-цию V = V(х), где V(х) – объём части тела, отсекаемой плоскостью, проведённой через точку х на оси х.

Пусть сечения тела таковы, что из любых двух сечений тела плоскостью, перпенд-ной оси х , одно проектируется внутрь другого или с ним совпадает. Далее док-ся, что

V ¢(х) = S(х) при х Î[а;b] и выводится формула

V = ∫ab S(х) dx = F(b) – F(a), где F ¢ (x) = S (x). Формулу м. применить для выч-я объёмов большинства тел, кот-е изуч-ся в курсе геометрии (пирамида, конус, шар). Выбор задач ограничив-ся только запасом формул интегрирования, который имеется в распоряжении уч-ся.

3.Приближённое  вычисление.

Порядок изучения в Мордковиче: первообразная, правила отыскания первообразных(с док-ми, с рассмотр-ми примерами), неопред. интеграл, опред. интеграл(задачи, приводящие к неопр. инт., понятие опр. интегр., формула Ньютона – Лейбница, вычис-е площадей плоских фигур).

В Колмогорове: Опр-е первообр., основное св-во первообразной, 3правила нах-я первообр-й (с док-ми, а потом примеры), площадь крив-й трап., интеграл, фор-ла Н-Л., применение интеграла, сведения из истории(очень подробно и много).

В Башмакове: вводная беседа (задача интегрир-я, геом-й смысл интеграла, интегр-е суммы, скорость роста площади,обозначение инт-ла, выводы), вычисл-е графика (первообр-я (св-ва с док.), теорема Н-Л, св-ва интеграла), приложения инт (площадь, схема прим-я инт-ла, работа, перемещ-е, масса, электр. заряд, реш-е прикл-х задач), заключит-я беседа (составл-е диф. ур-я, реш-е ди. ур., ур-е показат-го роста, ур-е гармонич-х колеб-й ). Далее задачи. Есть примеры решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 (13) Определение. Модуль разности точного зн-я и приближённого наз. абсолютной погрешностью.

А всегда ли можно найти абсолютную погрешность? (этот вопрос решается у Макарычева). Нет, т.к. при измерении величины мы не знаем точного зн-я. приходят к оценке:  │х-а│ ≤ h.

Найти нужно h, границу абсолютной погрешности.2. относительная погрешность

Здесь сравниваем точность приближения разных величин. Относительная погрешность даёт  качественную характеристику. Относительная погрешность заменяется термином относительная точность приближения:  (х-а)/│а│=ω выражается в процентах. Если абсолютная погрешность не известна, то ограничиваются оценкой относительной погрешности  │ х-а│ / │а│ ≤ h/│а│.

Формула записи приближённых значений.   Главное зн-е - чтобы можно по записи определить точность приближения.  1 форма записи: l=18±0.3м.

Абсолютная погрешность = 0.3м.

По этой форме записи можно определить абсолютная погрешность. 2 форма. Стандартный вид числа:  а*10n, а≥1, а≤9, n - целое.

По этому виду можно определить абсолютную и относительную погрешность. 3 форма: данные взяты из таблиц справочников, где вып-ся условие - все цифры в записи верные.

4 форма: пишут число и  указ.

разряд (класс) - 3 млрд.

5 форма: исп-ся знак приближённого рав-ва.

х≈231.5м.

Действие. Они рассм. в практических  задачах, в условиях которых данные м.б. точными и приближёнными. Встаёт вопрос о конечном результате вычислений (ответе). Какова д.б.точность? Иначе говоря, надо узнать, сколько цифр оставить и какие отбросить, чтобы получить наилучший результат. Чтобы приближение было по возможности точнее и вычисления менее громоздкие. Рез-т округляют по правилам. Наиболее полно у Макарычева, Никольского эти вопросы рассматриваются. Во-первых, исходная установка: в записи приближённых данных все цифры верные. Во-вторых, результат округлять по менее точному данному.

 

+, -	*, /
Данные числа	Записываются:
В десятичных дробях	В стандартном виде
По абсолютной погрешности	По относительной (точности) погрешности.

В уч. Макарычева хорошо изложено. Алимов: не рассм. действия производит в ручную, исп-т калькулятор. В ответе оставляют 2-3 цифры, надёжных с т. зр. практики. Дорофеев: вообще не рассм. вопрос о действиях.

Есть опыт использ. калькулятора в нач. школе. В действующей программе испол. калькулятор в 5 классе (+, -, *, /).