Методика обучения студентов решению задач по теме «Векторная алгебра» с использованием ИКТ

 

§5. Методические рекомендации к обучению решения задач студентами.

 

п.1. Примерные алгоритмы по типам задач.

 

Выбранная нами технология алгоритмизации мышления предусматривает разработку алгоритмов решения по каждой задаче. Это делается для того, чтобы научить студентов решать конкретные задачи по уже готовому отработанному алгоритму действий. Но в рассматриваемой теме задач очень много, поэтому необходимо выделить задачи, которые можно объеденить в один тип, что позволит системетизировать ход решения и облегчить обучение решению задач студентов.

 

В теме «Векторная алгебра» можно выделить следующие основные типы задач:

 

1. Линейные операции над векторами

 

2. Линейная зависимость векторов

 

3. Скалярное произведение векторов

 

4. Векторное произведение векторов

 

5. Смешанное произведение векторов

 

При этом в каждом основном типе содержится несколько подтипов задач. Каждый из них отличается входными (что дано) и выходными данными (что требуется найти). Рассмотрим подтипы для основных типов задач.

 

Линейные операции над векторами.

 

23

 

~

Дано: векторы ~a, b со своими координатами (a1; a2; a3) и (b1; b2; b3);

 

Найти:

 

• сумму и разность данных векторов; Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Воспользоваться следующей формулой для нахождения координат вектора суммы (разности): ci = ai ± bi, при i ∈ (1; 2; 3);

 

2. Записать искомый вектор в виде ~c = (c1; c2; c3).

 

• координаты вектора, составленного из заданных; Алгоритм решения задач данного типа:

~

1. Определить значение α и β из условия задания (~c = α~a + βb);

 

2. Воспользоваться следующей формулой для нахождения координат вектора, составленного из заданных: ci = αai + βbi, при i ∈ (1; 2; 3);

 

3. Записать искомый вектор в виде

~c = (c1; c2; c3).

 

• пары коллинеарных векторов.

 

Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Воспользоваться НДУ коллинеарности •1, для этого вычислить

отношения ai , где i ∈ (1; 2; 3);

bi

 

2. Сравнить полученные отношения;

 

3. Если отношения равны друг другу, то векторы коллинеарны, иначе - нет.

 

Линейная зависимость векторов.

Дано:	векторы	~	со	своими	координатами
		~a, b,~c

(a1; a2; a3), (b1; b2; b3), (c1; c2; c3);

 

Найти:

 

 

24

 

• линейную зависимость между данными векторами; Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Составить из координат векторов систему уравнений вида

 

α1a1 + α2b1 + α3c1 + α4d1 = 0 α1a2 + α2b2 + α3c2 + α4d2 = 0 α1a3 + α2b3 + α3c3 + α4d3 = 0;

 

2. Зафиксировать произвольно значение α4;

 

3. Решить систему уравнений;

 

4. Составить линейную комбинацию (α1; α2; α3; α4).

•	~
	выражение нового вектора d через заданные;
	Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Составить из координат векторов систему уравнений вида

 

α1a1 + α2b1 + α3c1 = d1 α1a2 + α2b2 + α3c2 = d2 α1a3 + α2b3 + α3c3 = d3;

 

2. Решить систему уравнений относительно αi, при i ∈ (1; 2; 3);

~

3. Записать разложение искомого вектора через заданные в виде d =

~

α1~a + α2b + α3~c.

 

• пары коллинеарных векторов; Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Воспользоваться НДУ коллинеарности •2, для этого вычислить,

 

линейно зависима ли система уравнений

 

α1a1 + α2b1 = 0 α1a2 + α2b2 = 0 α1a3 + α2b3 = 0;

 

2. Если система линейно зависима, значит векторы коллинеарны, иначе - нет.

 

25

 

• тройку компланарных векторов; Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Воспользоваться теоремой о геометрическом смысле линейной зависимости, для этого вычислить, линейно зависима ли следующая

 

система уравнений

 

α1a1 + α2b1 + α3c1 = 0 α1a2 + α2b2 + α3c2 = 0 α1a3 + α2b3 + α3c3 = 0;

 

2. Если система линейно зависима, значит векторы компланарны, иначе - нет.

 

• векторы, коллинеарные базисным векторам; Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Сравнить координаты вектора ~a(a1; a2; a3) и координаты базисных векторов e~1(1; 0; 0); e~2(0; 1; 0); e~3(0; 0; 1);

 

2. Сделать вывод о коллинеарности вектору e~i при равенстве нулю координаты ai данного вектора, где i ∈ (1; 2; 3).

 

• длину заданного вектора; Алгоритм решения задач данного типа:

√

1. Воспользоваться формулой |~a| =   a12 + a22 + a32.

• ~

 

коэффициенты разложения нового вектора d по данным как по базису. Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Решить систему

 

α1a1 + α2b1 + α3c1 = d1 α1a2 + α2b2 + α3c2 = d2

 

α1a3 + α2b3 + α3c3 = d3 относительно α1, α2, α3;

 

 

 

26

 

~

2. Составить разложение d по данным как по базису в виде

~ ~

d = α1~a + α2b + α3~c.

 

Скалярное произведение векторов.

 

1. Дано: длины векторов |a|, |b| и угол между ними; Найти:

 

• скалярное произведение векторов; Алгоритм решения задач данного типа:

1. Воспользоваться формулой a ∗ b = |a| ∗ |b| ∗ cos(a,cb).

 

• длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах.

 

Алгоритм решения задач данного типа:

 

1. Раскрыть (a ± b)2 и вычислить по формуле скалярного произведения a ∗ b = |a| ∗ |b| ∗ cos(a,cb);

q

(b) Найти длины диагоналей по формуле |a ± b| =   (a ± b)2.

~

 

2. Дано: векторы ~a, b со своими координатами (a1; a2; a3), (b1; b2; b3) и угол между ними; Найти:

 

 

 

• угол между векторами; Алгоритм решения задач данного типа:

 

(a) Выразить из формулы скалярного умножения a ∗ b = |a| ∗ |b| ∗

cos(a, b) формулу для нахождения cos(a, b)

~

;

c

a, b

~a b

cos( c) = |a|∗∗|b|

~

(b)

Вычислить по формуле ~a

∗

b

+ a

b

+ a

b

;

b = a

1

2

c

1

2

√

3

3

~

(c) Найти длины векторов по формулам |~a| =

2

2

2

a1

+ a2

+ a3

, |b| =

p

b12 + b22 + b32;

 

(d) Вычислить значение угла как arccos(cos(a,cb)).

 

27

 

• скалярное произведение векторов. Алгоритм решения задач данного типа:

~	+ a2b2 + a3b3.
(a) Вычислить по формуле ~a ∗ b = a1b1

3. Дано: длина вектора |a| и углы с координатными осями; Найти:

 

• координаты вектора; Алгоритм решения задач данного типа:

1. Вычислить по формулам a1 = |~a|∗cos(a,ci), a2 = |~a|∗cos(a,cj), a3 =

 

|~a| ∗ cos(a,dk).

 

• недостающий угол с координатными осями. Алгоритм решения задач данного типа:

1. Выразить  из  соотношения  cos2(a,ci) + cos2(a,cj) + cos2(a,dk)

формулу

q

cos(a,dk) =   cos2(a,ci) + cos2(a,cj)

и вычислить значение cos(a,dk);

2. Найти значение угла по формуле α = arccos(cos(a,dk))

~

4. Дано: векторы ~a, b со своими координатами (a1; a2; a3), (b1; b2; b3); Найти:

 

• при каком значении неизвестного векторы окажутся взаимно перпендикулярными.

 

Алгоритм решения задач данного типа:

∗~

(a) Составить скалярное произведение векторов ~a b = a1b1 + a2b2 + a3b3, обозначив неизвестные координаты за α;

 

2. Приравнять выражение к 0;

 

3. Выразить из полученного выражения и найти α.

 

Векторное произведение векторов.

 

 

1. Дано: длины векторов |a|, |b| и угол между ними; Найти:

 

• векторное произведение векторов; Алгоритм решения задач данного типа:

| Ч |  | |∗|~|∗

(a) Вычислить скалярное произведение по формуле a b = ~a b sin(a,cb).

 

• площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах.

 

 

Алгоритм решения задач данного типа:

			~				~
(a) Упростить выражение a Ч b = (α1~a + α2b)				Ч (β1~a + β2b), считая
	~a Ч ~a = 0;							~
(b) Вычислить векторное произведение по формуле |a Чb| = |~a|∗|b|∗
	sin(a, b).
	~		; a	; a	), (b	; b	; b	);
2. Дано:	векторы ~a, b со своими координатами (a
	c	1	2	3	1	2	3