Решение задач по математической экономике

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

По дисциплине: ”Математическая экономика”

на тему: «Решение задач  по математической экономике»

Вариант - 6

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

Задание на курсовую работу. 3

Задание 1. Общая  задача линейного программирования. 3

Задание 2. Транспортная задача (закрытая модель). 4

Введение 5

1. Общая задача  линейного программирования. 6

1.1. Поиск оптимального плана выпуска продукции. 6

А. Графический метод. 6

Б. Симплекс-метод. 8

Проверка  решение задачи в Excel: 12

1.2. Определение количество не использованного сырья 13

1.3. Формулировка экономически двойственной задачи. 13

1.4. Экономическая интерпретация результатов решения задачи 13

2. Транспортная  задача (закрытая модель). 16

2.1. Нахождение оптимального плана методом северо-западного угла. 16

2.2. Нахождение оптимального плана методом наименьшей стоимости. 18

Проверка  решение задачи в Excel: 24

Заключение. 25

Список литературы. 26

 

Задание на курсовую работу.

Задание 1. Общая задача линейного программирования.

Предприятие выпускает два  виду продукции А и В, для производства которых используется сырьё трёх видов. На изготовление единицы изделия  А требуется затратить сырья  каждого типа а1, а2, а3 соответственно, а для единицы изделия В  – b1, b2, b3. Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве p1, p2, p3 соответственно. Прибыль от реализации единицы изделия А составляет m (у.д.е)., а единицы изделия В – n (у.д.е).

1. Найти оптимальный план выпуска продукции с целью максимизации прибыли
1. Графическим методом;
2. Симплекс-методом.
2. Определить количество не использованного сырья при оптимальном плане производства.
3. Сформулировать экономически двойственную задачу, записать математическую модель и используя двойственный симплекс-метод найти её решение.
4. Выполнить экономическую интерпретацию результатов решения задачи.
1. пояснить экономический смыл двойственной оценки ресурсов.
2. Указать вид наиболее дефицитного сырья
3. Определить прирост целевой функции прямой задачи и изменение оптимального плана и производства при увеличении объема сырья каждого вида на 1 ед.
4. Будет ли рентабельным для предприятия производство новой продукции С, для производства 1 ед. которой требуется 3, 7,  5 ед. сырья каждого из трех вдов соответственно, если доход от реализации 1 ед. продукции С составит 47 (у.д.е).

Таблица 1– Общая задача линейного программирования вариант 2.

a1	a2	a3	b1	b2	b3	p1	p2	p3	m	n
2	3	4	8	4	3	384	240	264	8	7

 

Задание 2. Транспортная задача (закрытая модель).

На трёх базах А1, А2, А3 находиться груз в количестве а1, а2, а3. Этот груз необходимо развести по пяти потребителям В1, В2, В3, В4, В5, потребность  которых в данном грузе составляют b1, b2, b3, b4, b5 соответственно. Стоимость  перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Известны стоимости единицы товара от i-ой базы до j-го потребителя ci.

Найти начальный план перевозок  закрытой ТЗ северо-западного угла и наименьшей стоимости. План, полученной методом наименьшей стоимости, улучшить до оптимального. Определить минимальные  затраты перевозки груза (таблица 2).

Таблица 2- Тариф перевозок.

Вариант	Матрица тарифов  aij					ai
6	8	15	11	4	12	200
	11	4	6	6	5	100
	5	7	14	9	10	200
bj	100	140	40	130	90

 

 

Введение

Исторически математическая экономика началась с моделей  простого и расширенного воспроизводства. В них отражались потоки денег  и потоки товаров и продуктов. Это, например, модель Ф. Кенэ. Позднее  эти модели подробно и более глубоко  изучались в экономической кибернетике - здесь можно указать на работы О. Ланге. Рассмотрены схемы денежных и материальных потоков, обеспечивающих простое и расширенное воспроизводство, их идентификацию, модели математической статистики. Далее возникли концепции  производственных функций, предельных и маргинальных значений, предельных полезностей и субъективных полезностей. Дальнейшее развитие - в рамках линейного  и выпуклого программирования, выпуклого  анализа.

Далее: развитие тонких техник моделирования: имитационное моделирование, экспертные системы, нейронные сети.

Понятие субъективной полезности ввел в 18-ом веке Ф.Галиани. Затем это  понятие и понятие предельной полезности развивали с середины 19-ого века: в рамках австрийской  школы - К.Менгер, В.Бем-Баверк, Ф.Визер.

И австрийская, и математическая школы связаны с маржиналистской  концепцией. Точный вид маргинальные оценки получили в теории двойственности в математическом программировании.

Цель заданной работы - освоить  математическую постановку транспортной задачи линейного программирования и общую задачу линейного программирования

 

1. Общая задача линейного программирования.

1. Поиск оптимального плана выпуска продукции.

1. Графический метод.

Нахождение оптимального плана выпуска продукции с  целью максимизации прибыли использую  исходные данные (рисунок 1).

Рисунок 1 – Исходные данные (а).

Составляем систему ограничений.

 

Где   – количество продукции А и В.

– условие не отрицательности.

– целевая функция.

Приведем систему к  каноническому виду:

 

Выразим из каждого уравнения  и целевой функции перемену х₁:

	(1)
	(2)
	(3)
	(F)

Построим все функции  в программе MSExcel и получим график (рисунок 2).

Рисунок 2 – Графическое представление решения задачи.

Координаты точекА (48;24), В (24;42), принадлежащие области определения, являются допустимым решением задачи.

Визуально строим вектор, перпендикулярный целевой функции. При максимизации целевой функции следует двигаться  в направлении вектора. Двигая линию  целевой функции  до выхода из ОДЗ, получаем пересечение в точкеА (48;24). Следовательно, данная точка является искомым решением задачи.

Зная координаты точки  В мы можем найти максимальную прибыль, подставив её значения в целевую функции.

– максимальная прибыль.

Ответ: Максимальная прибыль достигается в точке А. Подставив её координаты в целевую функцию была получена прибыль в размере 552 у.е.

2. Симплекс-метод.

Нахождение оптимального плана выпуска продукции с  целью максимизации прибыли использую  исходные данные (рисунок 3).

Рисунок 3 – Исходные данные (б).

Как и для предыдущего  метода понадобиться составить систему ограничений, условие не отрицательностии целевую функцию

 

Где   – количество продукции А и В.

 – условие не отрицательности.

– целевая функция.

Приведем систему неравенств к каноническому виду путем добавления дополнительных не отрицательных переменных.

 

Выразим базисные переменные для построения опорного плана

 

 

 

Составляем новую симплекс таблицу (рисунок 4).

Рисунок 4 – Симплекс таблица.

Этап I.

Нахождение опорного решения.

Просматриваем столбец свободных  переменных, если среди элементов  bi нет отрицательных, то можем вывести опорное решение:

 

Этап II.

Исследуем опорное  решение на оптимальность. Опорное решение Х не является оптимальным, т.к. в строке F есть отрицательные элементы, которым соответствуют столбцы с положительными элементами.

Переход к новому опорному плану:

1. Находим разрешающий столбец, выбираем max по модулю

 

2. Находим разрешающую строку

 

Разрешающим элементов является «4» в 3-строке, 1- столбце.

3. С таблицей производим один шаг модифицированного Жорданового преобразования:

- Новый разрешающий элемент  вычисляем 

- Меняем местами переменные  х₅ и –х_1;

- Все элементы разрешающей  строки делим на разрешающий  элемент;

- Все элементы разрешающего столбца делим на разрешающий элемент и меняем знак на противоположный;

- Для вычисления оставшихся  элементов пользуемся правилом  прямоугольника.

Для этого выбираем из таблицы  четыре числа, которые расположены  в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент

(1)

Где    – вычисляемый элемент,

- разрешающий элемент,

А и В - элементы, образующие прямоугольник с элементами ;

Рассчитываем все элементы не симплекс таблицы в соответствии с вышеуказанными правилами (рисунок 5).

Рисунок 5 – Жорданого преобразование.

Результат первого преобразования элементов (рисунок 6).

Рисунок 6 – Результат пересчета.

 – опорное решение.

В строке F содержится отрицательный элемент, следовательно, опорный план не оптимальный. Необходимо выбрать новый разрешающий элемент и произвести Жорданого преобразование (рисунок 7).

Разрешающим элементов является «3».

Рисунок 7 – Второе Жорданого преобразование.

Результат второго преобразования элементов (рисунок 8).

Рисунок 8– Результат пересчета второго преобразования.

 В строке Fнет отрицательных элементов, следовательно, опорный план является оптимальным.

Х = (48;24;96;0;0) – оптимальный опорный план;

F= 48*8+7*24=552 – целевая функция равна максимальной прибыли.

Ответ:max прибыль равна 552 (у.д.е) достигается при выпуске 484 ед. продукции вида А и 24 ед. продукции вида В.

Проверка решение задачи в Excel:

Для поиска решения определяем целевую ячейку, которая по условию стремиться к максимуму, изменяемые ячейки – количество выпускаемой продукции и добавляем ограничения (рисунок 9).

Рисунок 9 – Параметры поиска решения.

Найденное решение демонстрирует  правильность подсчета максимальной прибыли  симплекс методом (рисунок 10).

Рисунок 10- Решение задачи в Excel.

2. Определение количество не использованного сырья

Неиспользованным останется  сырье 1-его вида в количестве 96ед. при оптимальном плане производства. Это можно увидеть как из опорного решения та и из проверки решения в Excel.

Х = (48;24;96;0;0) – оптимальный опорный план.

Ответ: Не использовано сырье 1-вида в количестве 96 ед.

3. Формулировка экономически двойственной задачи.

Составляем системуограничений.

 

Где   – цена сырья I, II, III.

у₁, у₂, у₃≥0 – условие не отрицательности.

 – целевая функция.

Приведем систему неравенств к каноническому виду путем добавления дополнительных не отрицательных переменных.

 

Y = (0;0;0;0;0,57;1,57) – опорное решение.

=552– целевая функция

Ответ:min цена за единицу II вида сырья равна 0,57 (у.д.е), III-ого вида – 1,57(у.д.е), а цена на I вид равна 0.

4. Экономическая интерпретация результатов решения задачи

а)Пояснить экономический смыл двойственной оценки ресурсов.