Решение задач по математическому моделированию

 

Московский  Государственный Открытый Университет  
Имени B.C. Черномырдина

Кафедра:  
«Автоматизация производства и проектирования в машиностроении»

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине:  
«Математическое моделирование»

Тема: «Решение задач по математическому моделированию»

Студент:  Половинкин В.Н. подпись:

Шифр:    311244

Курс:      2

Группа  151900.62

Факультет:  машиностроения

Руководитель: Поляков С.А.

Москва 2013 год

 

Содержание

 

1  Решение задачи планирования производства продукции графическим методом 3

2  Решение задачи планирования производства продукции  
симплекс-методом 5

3  Решение задачи по нахождению минимума функции графическим  
методом 6

4  Решение задачи по установлению регрессионной модели  8

5  Решение задачи по нахождению максимума функции целочисленным графическим методом  10

6  Решение задачи структурной оптимизации методом динамического программирования  11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Решение Задачи оптимизации производства.

 

  Найти наилучший вариант емкости заданного объема V, имеющей форму прямого кругового цилиндра. Рассмотреть два варианта этой задачи:  
1. Наилучшая емкость должна иметь наименьшую поверхность S. (На ее изготовление пойдет наименьшее количество листового материала.)  
2. Наилучшая емкость должна иметь наименьшую длину швов l. (В этом случае трудоемкость сварочных работ будет наименьшей.) 

 
Для решения этой задачи запишем  формулы для объема емкости, площади ее поверхности и длины швов:

V=πr²h,  S=2πr²+2πrh, l=4πr+h.                   

Объем емкости задан, это устанавливает связь между радиусом r и высотой h. Выразим высоту через радиус: h=V/(πr²) и подставим полученное выражение в формулы для поверхности и длины швов. В результате получим

S(r)=2πr²+2V/r,          0 < r < ∞,           

l(r)=4πr+V/(πr²),        0 < r < ∞.           

Таким образом, с математической точки зрения, задача о наилучшей емкости сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего наименьшего значения в одном случае функция S (r), в другом - функция l(r).  
Рассмотрим первый вариант задачи. Вычислим производную функции    S (r):

S'(r)=4πr-2V/r²=2/r²(2πr³-V)                                                              
и исследуем ее знак. При 0 < r < r₁ =

производная отрицательна и функция S (r) убывает, при  r₁< r< ∞  производная положительна и функция S (r) возрастает. Следовательно, своего наименьшего значения эта функция достигает в точке r = r ₁ , в которой ее производная обращается в нуль. График функции S(r), иллюстрирующий проведенный анализ, показан на рис.1.  
Итак, радиус и высота емкости, наилучшие с точки зрения условия минимальности S(г), определяются формулами  
                                          

r₁=

,   h₁=2r₁,                                    

при этом                                    

S(r₁)= 3

 <=S(r).                                 

Рассмотрим теперь задачу во второй постановке. Продифференцируем  функцию l(r):

l'(r)=4π-2V/πr³=2/πr³(2π²r³-V).                                                    

 

Как  и  в  предыдущем  случае, при   0 < г < r₂= производная  отрицательна  и  функция  l (r)  убывает,  при r₂< r < ∞  производная положительна и функция l (r) возрастает. Следовательно, своего наименьшего значения эта функция достигает в точке r=r₂, в которой ее производная обращается в нуль. График функции показан па рис. 2. 

 

Итак, радиус и высота емкости, наилучшие с точки зрения условия минимальности l(r), определяются формулами  
                                               

r₂=

,  h=2πr₂,                                   

при этом  
                                                    

l(r₂)=3

 <= l(r).                                       

Ответ: Мы видим, что при разных критериях оптимизации получаются существенно разные ответы. В первом случае высота "наилучшей" емкости равна ее диаметру, во втором она в π раз больше диаметра.

 

 

 

  Решение Задачи планирования производства продукции графическим методом

Дано:

1. выпускается 2 вида продукции в весовых единицах;
2. для производства этих видов продукции используется 3 типа исходных материалов (сырья);
3. для производства единицы продукции j-того (j=1,2) требуется а_j единицы исходного i-того материала (i=1,2 3);
4. ресурсы исходных материалов (P_i) на предприятии ограничены (P₁, P₂, P₃);
5. стоимость каждого вида продукции (С_j) равна С₁, С₂ в денежном выражении;

Найти: оптимальный объем выпуска продукции каждого вида х₁ и х₂, обеспечивающий максимум общей стоимости готовой продукции.

 

 

сырье  i-типа	Вид продукции		Ресурсы  Pi
	х1	Х2
1	а11=5	а12=2	P1≤125
2	а21=2	а22=3	P2≤83
3	а31=1	а32=8	P3≤152
Стоимость Сj	С1=12	С2=10
План выпуска	х1=?, при х1≥0	х2=?, при х2≥0

 

 

Решение:

1) Запишем математические неравенства:

 

2) Для графического решения задачи линейного программирования надо построить следующие прямые:

Для уравнения [1] точки:

Для уравнения [2] точки:

Для уравнения [3] точки:

Область допустимых решений (ОДР) лежит внутри многоугольника  AFGEB.

3) Найдем градиент  функции и построим целевую  функцию (градиент функции перпендикулярен  к целевой функции):

 

 

 
 

 

Ответ: Очевидно, что в точке В (19, 15)достигается max стоимости готовой продукции.

 

 

 

 

  Решение Задачи планирования производства продукции симплекс-методом

Дано:

 

1. Введем базисные переменные х₃, х₄, х₅: 

 

Пусть х₁ и х₂ будут свободными переменными ,а х₃, х₄, х₅- базисными.

Выразим базисные переменные через свободные: 
 

При определении следующего опорного решения принимаем х₂=0, а х₁ изменяем таким образом ,чтобы базисные переменные обращались в ноль.

 

 

Принимаем х₁=25 ,х₂=0 ,х₃=0 ,х₄=33 ,х₅=127.После подстановки х₁ и х₂ в F(х₁;х₂) получим:

F= -300. Не оптимальное решение, можно улучшить.

 

2. Принимаем х₂ и х₃ –свободные; х₁, х₄, х₅ –базисные.

Выразим базисные переменные через свободные:

Принимаем х₃=0, а х₁ изменяем:

 

Принимаем х₁=19 ,х₂=15 ,х₃=0 ,х₄=0 ,х₅=13.После подстановки х₁ и х₂ в F(х₁;х₂) получим:

F= -378 оптимальное решение.

 

Ответ:

 

 

 

  решение задачи по нахождению минимума функции графическим методом

Дано:

ограничения:

Решение:

1) Для графического решения задачи надо построить следующие прямые:

Уравнение [1] – уравнение окружности с центром в точке (0,0) и радиусом 2.

Для уравнения [2] точки:

Для уравнения [3] точки:

Область допустимых решений (ОДР) лежит внутри ABC.

 

2) Найдем градиент функции и построим целевую функцию (градиент функции перпендикулярен к целевой функции):

Ответ: Очевидно, что в точке С (1.9;0.6) функция F достигает свой min.

 

  Решение задачи по установлению регрессионной модели

Дано:

х	0	1	2	3	4	5	6	7
у	1,4	1,3	1,4	1,1	1,3	1,8	1,6	2,3

Определить: параметры квадратичной регрессионной модели

 

Решение:

1) Что бы функция  располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам, будем использовать метод наименьших квадратов (МНК):

2) Продифференцируем  функцию F:

3) Приравняем к нулю и перенесем y_i влево:

 

4) Рассчитаем значения  и запишем в таблицу:

х	х2	х3	х4	у	ху	х2у
0	0	0	0	1,4	0	0
1	1	1	1	1,3	1,3	1,3
2	4	8	16	1,4	2,8	5,6
3	9	27	81	1,1	3,3	9,9
4	16	64	256	1,2	4,8	19,2
5	25	125	625	1,8	9	45
6	36	216	1296	1,6	9,6	57,6
7	49	343	2401	2,3	16,1	112,7

 

 

 

 

 

  Решение задачи по нахождению максимума функции целочисленным графическим методом

методы целочисленного программирования предназначены для решения задач ,в которых некоторые (или все) переменные должны принимать только целочисленные значения.

 

Дано:

, ограничения:

 

Решение:

1) Для графического  решения задачи линейного программирования  надо построить следующие прямые:

Для уравнения [1] точки:

Для уравнения [2] точки:

Область допустимых решений (ОДР) лежит внутри многоугольника.

 

3) Найдем градиент  функции и построим целевую  функцию (градиент функции перпендикулярен  к целевой функции):

 

 

В точке В (2.4;3.6) функция достигает max. Полученное оптимальное решение нецелочисленное. Требование целочисленности переменных состоит в том, что решением задачи могут быть только точки, находящиеся на пересечении целочисленных значений х₁ и х₂. Рассмотрим точки, ближайшие к оптимальной точке непрерывной задачи, удовлетворяющие условиям целочисленности. Кроме точки E (3, 2) это будет еще точка D (2, 3).

Подставив поочередно в  целевую функцию F(х₁;х₂)=х₁+2х₂→max значение точек E (3, 2) и D (2, 3) ,мы увидим ,что наибольшее целочисленное значение функция F(х₁;х₂) принимает при D (2, 3). F(х₁;х₂)=2 +2_*3=8→max.

Ответ: в точке D (2, 3) функция F достигает свой max целочисленного значения.

 

 

 

 Решение задачи структурной  оптимизации методом динамического  программирования

 

Дано:

 

 

Найти: маршрут изготовления детали

 

 

Решение:

 

i	Расчеты  f1(i)	min f1(i)	j1(i)
	10
8	5	5	10
9	3	3	10

, до конца обработки осталось  n=2 шага

i	Расчеты f2(i) для j		min f2(i)	j2(i)
	8	9
5	5+9	3-8	11	9
6	-	3+5	38	9
7	5+7	3+12	12	8