Решение задач по математическому анализу

13 вариант

Задача 5.

а) Найти область определения функции

Решение.

Аргумент логарифмической функции должен быть положительным, аргумент функции арккосинус принимает значения от -1 до 1, поэтому: . Решим систему:

Ответ:

б) Установить четность (нечетность) функции

Решение.

, - функция четная, график симметричен относительно оси Оу.

Ответ: функция четная.

 

Задача 14. Вычислить пределы функций:

Решение.

а)

Нетрудно увидеть, что непосредственный переход к пределу дает неопределенность вида . Чтобы сделать возможным применение теоремы о пределе частного, преобразуем функцию так, чтобы пределы числителя и знаменателя существовали. Для этого поделим числитель и знаменатель дробного выражения на . Получим

.

б) .

Переход к пределу дает неопределенность вида . При раскрытии неопределенностей вида от иррациональных функций часто приводит к цели перевод иррациональностей из знаменателя в числитель или наоборот.

,

Следовательно,

в) .

Переход к пределу дает неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности вида от функций содержащих тригонометрические функции, рекомендуется пользоваться первым замечательным пределом:

.

= .

г)

д)

 

Задача 23. Для указанной функции y= f (x) требуется:

а) выяснить при каких значениях параметра a функция будет непрерывной;

б) найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

Построить график функции.

Решение.

а) Для того, чтобы функция в точке х=1 была непрерывной, пределы слева и справа в этой точке должны совпадать:

,

.

То есть:

б)

Функция непрерывна в интервале .

Проверим пределы слева, справа и в самой точке :

, , .

Один из пределов бесконечный. Следовательно, в точке разрыв II рода.

Функция непрерывна в интервале .

Проверим пределы слева, справа и в самой точке :

, , .

Пределы конечные, но не равны между собой. Следовательно, в точке разрыв I рода.

Функция непрерывна в интервале .

Задача 32. Найти производную от функций

Решение.

а)

б)

в)

,

Задача 41. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

Решение.

а)

б)

в)

Задача 52. Для указанной функции y= f (x) требуется:

а) найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a, b] .

б) составить уравнение касательной к графику функции в точке x0.

, а=1, b=4

Решение.

Точка х=2 принадлежит отрезку [1,4]

Вычислим значения функции в точке х=2 и на концах отрезка.

Наибольшее значение в точке х=4 , наименьшее значение в точке х=2  .

б) ,

Уравнение касательной записывается в виде

Таким образом, уравнение касательной имеет вид: .

 

Задача 63. Для указанной функции y = f (x) требуется провести полное исследование непериодической функции и построить её график.

Решение.

1. Область определения функции  , так как .

2. Четность, нечетность функции 

Следовательно, функция не является четной и нечетной.

3. Нули функции:

, функция пересекает ось ординат в точке (0,-3).

, функция пересекает ось абсцисс в точке (3,0).

4. Точка разрыва: .

Так как пределы слева и справа бесконечные, то точка - точка разрыва 2-го рода, следовательно, - вертикальная асимптота.

5. Промежутки монотонности:

 

                                                max

        -                          +                             -

                       2                         4

 

- функция убывает;

- функция возрастает;

 - функция убывает.

В точке - max.

6. Выпуклость и вогнутость функции:

 

        -                          -                             +

                       2                         5

- функция вогнута;

 - функция вогнута;

- функция выпукла

Точка перегиба х=5, .

7. Асимптоты:

 горизонтальная асимптота у=0,

- наклонной асимптоты нет.

8. График.

Задача 74. Для указанной функции z = f(x,y) требуется:

а) найти дифференциал dz и

б) вычислить приближённо (с помощью первого дифференциала) значение функции z=f(x,y) в точке M (x,y).

, М(0,99;0,09)

Решение.

а) ,

Полный дифференциал , .

б) формула для приближенных расчетов

 

Задача 85. Найти локальные экстремумы функции z = f (x, y) :

Решение.

Учитывая условие положительности переменных, получим х=5, у=2.

, ,

- следовательно, экстремум в точке (5,2) существует. Так как , то в точке (5,2) функция имеет минимум .

 

Задача 96. Найти:

а) условные экстремумы функции z = f (x, y) (методом Лагранжа);

б) наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в ограниченной и замкнутой области.

а) ,

Решение.

Функция Лагранжа:

Найдем частные производные:

Приравняем производные к нулю и вычислим стационарные точки:

 

Получили 2 стационарные точки.

Вычислим производные второго порядка:

; ; ; ;

В точке

 условный максимум (наибольшее  значение)

В точке

 условный минимум (наименьшее  значение)

б) в треугольнике: , , .

Решение.

Замкнутая область изображена на чертеже.

Вычислим стационарные точки:

Получим 4 стационарные точки: (0,0), (0,6), (2,2), (6,0), которые принадлежат указанной области.

Вычислим значение функции в этих точках.

Рассмотрим изменение функции на границе области.

если х=0, то ,

Рассмотрим точки (0,0) и (0,12)

, .

если у=0,

то

Рассмотрим точку (12,0)

если у=12-х, то

Среди полученных значений наименьшим является

наибольшее значение - .

 

Задача 107. Даны комплексные числа , и алгебраическое уравнение .

Решение.

а) ;

б) Вычислим корни уравнения

 

Задача 118. Найти: а) производную функции u=f (x, y, z) в точке M0(x0,y0,z0) по направлению вектора l

б) градиент функции grad u и его величину | grad u | в точке M0(x0,y0,z0).

, , M0(1,1,2).

Решение.

Найдем направляющие косинусы: , ,

Следовательно, производная по направлению вычисляется по формуле:

- градиент в точке M0(1,1,2).