Уравнение линии на плоскости

 

, .

 

3. Эластичность взаимообратных функций – взаимно обратные величины:

Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Теорема Ролля. Пусть  функция  удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке ;
2. дифференцируема на интервале ;
3. на концах отрезка принимает равные значения, то есть .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка  , в которой производная функции равна нулю: .

Теорема Лагранжа. Пусть функция  удовлетворяет следующим условиям

1. Непрерывна на отрезке .
2. Дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых  или бесконечно больших функций  равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется неопределенность вида или , то

Теорема (достаточное  условие возрастания функции)

Если производная  дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она  возрастаетна этом промежутке.

Теорема (достаточное  условие убывания функции), Если производная  дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка , то она убывает на этом промежутке.

Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Значения функции  в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Для того, чтобы  функция  имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Первое достаточное  условие экстремума. Теорема.

Если при переходе через точку  производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, – то точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум.

1. Найти производную .
2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Второе достаточное условие  экстремума. Теорема.

Если первая производная  дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции , если отрицательна, то – точка максимума.

Для отыскания наибольшего и  наименьшего значений на отрезке  пользуемся следующей схемой.

1. Найти производную .
2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит под графиком функции.

Функция называется выпуклой вниз на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит над графиком функции.

Теорема. Функция  выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция  выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции  называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла  вниз и вверх.

Теорема (необходимое  условие перегиба). Вторая производная  дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть .

Теорема (достаточное  условие перегиба). Если вторая производная  дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и точки  перегиба:

1. Найти вторую производную функции .
2. Найти точки, в которых второй производная или не существует.
3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
4. Найти значения функции в точках перегиба.

При исследовании функции на построение их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращении независимой переменной.

Пусть имеется  переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные  называются независимыми переменными или аргументами, - зависимой переменной. Множество Х называется областью определения функции.

Многомерным аналогом функции полезности является функция  , выражающая зависимость от приобретенных товаров.

Также на случай переменных обобщается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов .

Функцию двух переменных будем обозначать . Ее область определения есть подмножество координатной плоскости. Окрестностью точки называется круг, содержащий точку .

Число называется пределом функции при и (или в точке ), если для любого малого числа найдется число (зависящее от ), такое, что для всех точек , отстоящих от точек на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство .

Обозначается предел так; .

Функция называется непрерывной в точке , если она

1. определена в точке
2. имеет конечный предел при и
3. этот предел равен значению функции в точке , то есть .

Величина  называется полным приращением функции в точке . Если задать приращение только одной какой-либо переменной то получается частное приращение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Таким образом, для функции по определению

 

.

 

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, то есть

 

 или  .

 

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде , где

 – бесконечно малые при .

Теорема. Если частные производные  и функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Градиентом  функции называется вектор . Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

 

 

 

Теорема. Пусть точка  – есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Равенство частных производных  нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Если частные производные  и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно определить также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Если частные производные второго  порядка функции  непрерывны в точке , то в этой точке .

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция

1. определена в некоторой окрестности критической точки , в которой .
2. имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка , , .

Тогда, если , то в точке функция имеет экстремум, причем если – максимум, если – минимум. В случае функция экстремумов не имеет. Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить  по следующей схеме:

1. Найти частные производные первого порядка.
2. Решить систему уравнений , и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее уравнение прямой на плоскости

 

Рассмотрим на плоскости Оху  произвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М1(х1у1) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М1 и нормальный вектор N вполне определяют положение прямой L на плоскости Оху.

 

 

Пусть М(х,у) - любая точка прямой L (она называется текущей точкой). По условию, вектор N перпендикулярен вектору , лежащему на этой прямой. Поэтому скалярное произведение (N, )=0 , или в координатной форме А(х – х1) + В(у – у1) = 0

 

Произведем преобразования – раскроем скобки:

 

АX + ВY + [-АX1 – ВY1 ] = 0

 

В квадратных скобках у нас некое  число. так как А и В числовые коэффициенты, а х1 и у1 - координаты точки и, если это число обозначим  С, то получится общее уравнение  прямой на плоскости.

 

АX + ВY + С = 0

 

Каноническое уравнение