Уравнение линии на плоскости

 

Далее, положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х1,у1) и вектора S=mi+nj , параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называется направляющим вектором прямой L.

 

Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой L. Так как векторы

 

 

 

коллинеарны (по условию), то их координаты пропорциональны.

 

 

 

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.

 

Уравнение прямой, проходящей через  заданную точку в заданном направлении.

 

 

 

Рассмотрим снова прямую L. Ее положение вполне определяется заданием угла a (Ox, L) и точки М(х ,у ), лежащей на этой прямой.

 

В качестве направляющего вектора  возьмем единичный вектор

 

 

 

Проверим, будет ли этот вектор единичным?

 

Его длина 

 

Тогда каноническое уравнение прямой будет иметь вид:

 

,

 

получим у-у1 = k(х – х1) – это прежнее уравнение прямой с угловым коэффициентом.

 

Уравнение прямой, проходящей через  две данные точки.

 

 

Пусть на плоскости даны М1(х1у1) и  М2(х2у2). Составим каноническое уравнение  прямой, проходящей через эти две точки в качестве направляющего вектора S возьмем M1M2

 

 

- это уравнение прямой, проходящей  через две данные точки (х1  у1) и (х2, у2)

 

Перейдем теперь к уравнениям прямой и плоскости в пространстве.

   

 

 

 

Аналитическая геометрия в 3-мерном пространстве

 

Аналогично двумерному случаю любое  уравнение первой степени относительно трех переменных x, y, z есть уравнение плоскости в пространстве Оxyz..Общее уравнение плоскости АX + ВY + СZ + D = 0, где вектор N=(A,B,C) есть нормаль к плоскости. Каноническое уравнение плоскости, проходящей через точку М(х0,у0,z0) и имеющей нормаль N(А,В,С) А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0)=0 – что представляет собой это уравнение?

 

 

Значения х –х0, у-у0 и z –z0 — это разности координат текущей точки и фиксированной точки. Следовательно, вектор а (х-х0, у-у0, z-z0) -это вектор, лежащий в описываемой плоскости, а вектор N — вектор, перпендикулярный к плоскости, а значит, они перпендикулярны между собой.

 

Тогда их скалярное произведение должно равняться нулю.

 

В координатной форме (N,a)=0 выглядит так:

 

А·(х-х0)+В·(у-у0)+С·(z-z0)=0

 

Уравнение плоскости, проходящей через  три заданные точки А1(х1у1z1), А2(х2у2z2), А3(х3у3z3)

 

 

 

 

Что представляет собой это уравнение? У нас на плоскости имеются  три точки А1, А2, А3. Рассмотрим текущую точку плоскости. Ее координаты – переменные А (х, у,z). Все эти четыре точки лежат в одной плоскости, следовательно, и связывающие их вектора лежат в той же самой плоскости. Если три вектора лежат в одной плоскости, они компланарны., а, если вектора компланарны, то объем призмы, построенной на них равен 0. Именно эту формулу смешанного произведения векторов  и представляет собой левая часть нашего уравнения плоскости, проходящей через три известные точки А1, А2, А3.

 

Условие параллельности двух плоскостей А1х + В1у + С1z + Д1 = 0 А2х + В2у + С2z + Д2 = 0

 

 

и означает оно так же, как и  для прямых в двумерном случае, коллинеарность их векторов-нормалей.

 

 

 

 

Действительно, если плоскости параллельны, то параллельны и их вектора-нормали, только для векторов это называется коллинеарностью. Условием коллинеарности как раз и является пропорциональность координат векторов.

 

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0 (х0у0z0) и имеющей направляющий вектор

 

 

 

 

 

В чем смысл этого уравнения?

 

На прямой известна фиксированная точка Н0 (х0, у0, z0). Рассмотрим на этой прямой еще текущую точку М (х, у, z). Вектор  есть направляющий вектор нашей прямой, то есть он коллинеарен любому вектору, лежащему на ней, в том числе и вектору .

 

То есть, вектора  и коллинеарны, а коллинеарность векторов означает пропорциональность координат и является уравнением прямой.

 

 

Рассмотрим пример: Даны вершины  пирамиды А1(1,2,3) А2(3,5,4) А3(1,5,2) А4(3,4,8)

 

Найти:

 

1) Длину ребра А1А2. Длина ребра  есть длина вектора A1A2 =(3-1, 5-2, 4-3) = (2,3,1)

 

 

 

2) Угол между ребрами А1А2 и  А1А4. Угол между ребрами есть  угол между векторами A1A2 и А1А4

 

А1А2=(2,3,1) А1А4=(2,2,5)

 

 

 

3) Угол между ребром А1А4 и  гранью А1А2А3.

 

 

Поскольку угол между прямой и плоскостью есть угол между прямой и ее проекцией на плоскость, мы можем рассмотреть угол, дополняющий a до p /2 . Это угол между нормалью к плоскости и А1А4. В качестве нормали возьмем векторное произведение A1A2 (2,3,1) и A1A3(0,3,-1)

 

 

 

 

 

4) Площадь грани А1А2А3. SА1А2А3 есть площадь треугольника А1А2А3 и половина площади параллелограмма, построенного на А1А2 и А1А3 , которая равна длине вектора N, вычисленного выше.

 

 

 

Найдем объем пирамиды А1 А2 А3 А4.

 

5) Чтобы найти объем пирамиды, мы можем воспользоваться выражением  через объем призмы который, как мы знаем, равен смешанному произведению векторов, на которых, как на ребрах построена призма.

 

 

 

6) Уравнения прямой А1А2: Направляющий  вектор - А1А2 , точка, через которую  проходит прямая – А1.

 

Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении (то есть имеющей данный направляющий вектор)

 

 

 

7) Уравнение плоскости А1А2А3: опорные  точки – А1,А2,А3

 

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

 

 разложим по элементам 1-го  столбца:

 

(х - 1)(-6) - 2[(у - 2)(-1) - 3(z - 3)] = 0 6(1 - х) - 2(2 - у - 3z + 9) = 0 6 - 6х - 22 + 2у + 6z = 0

 

6х - 2у - 6z + 16 = 0 или 3х - у - 3z + 8 = 0

 

8) Известно, что наша прямая проходит  через точку А4 (3,4.8). Используем  уравнение прямой, проходящей через  заданную точку в заданном направлении (с заданным направляющим вектором).

 

 

 

Кривые второго порядка на плоскости.

 

Кривые второго порядка - это  линии на плоскости, координаты точек  которых связаны уравнениями  второй степени относительно х и  у в декартовой системе координат. Рассмотрим следующие виды кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

 

Окружность - это геометрическое место  точек, равноудаленных от одной фиксированной  точки (центра). Расстояние от точек  окружности до центра называется радиусом окружности.

 

 

 

Каноническое уравнение окружности (х – х0)2 + (у – у0)2 = R2.

 

Например, построим линию, заданную уравнением х2 - х + у2 - у = 0. Приведем к стандартному виду. Для этого выделим полный квадрат разности для х и для  у.

 

 

 

Приведя уравнение кривой второго порядка к каноническому виду видим, что наша кривая есть окружность с центром в точке

 

Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная.

 

 

 

Эта фигура обладает двумя осями симметрии и центром симметрии.

 

Если фокусы (F1 и F2) расположены на прямой ¦ Ох, то каноническое уравнение эллипса имеет вид

 

 

 

Здесь точка А(х0,у0) - центр эллипса. а и b - большая и малая полуоси эллипса. Фокусы эллипса F1 и F2 расположены в точках, удаленных на  от центра эллипса в направлении Ох и противоположном. Отношение с/a называется эксцентриситетом эллипса и обозначается e .

 

Например, построим линию х2 + 2у2 + 2х  – 12у – 33 = 0. Приведем уравнение к  каноническому виду.

 

х2 + 2*х*1 + 1 - 1 + 2у2 - 12у - 17 = 0 (х + 1)2 - 1 + 2(у2 - 6у) - 17 = 0

 

(х + 1)2 - 1 + 2(у2 - 2*3*у + 32 – 32) - 17 = 0 (х + 1)2 - 1 + 2(у2 - 2*у*3 + 32) - 18 - 17 = 0

 

(х + 1)2 + 2(у - 3)2 - 36 = 0 (х + 1)2 + 2(у  - 3)2 = 36

 

 

 

Вот, наконец, и каноническое уравнение. Из его вида следует, что наша линия есть эллипс с центром в точке А(-1,3), с большой полуосью а=6, малой полуосью .

 

Стало быть точка В имеет координаты х = -1 - 6 = -7, у=0, а точка С: х = -1 + 6 = 5, у=0.

 

Фокусы F1: х = -1 - 4,24 = -5,24 у=3

 

F2 : х = -1 + 4,24 = 3,24 у=3

 

 

 

Гипербола - геометрическое место  точек. разность расстояний которых  до двух фиксированных точек (фокусов  гиперболы) есть величина постоянная. Эта фигура также обладает двумя  осями симметрии и центром. Если фокусы F1 и F2 расположены на прямой, параллельной Ох , то ее каноническое уравнение имеет вид.

 

 

 

Если точка А(х0у0) - центр гиперболы, а и в — действительная и  мнимая полуось.

 

На рисунке изображена гипербола  с центром в точке О(0,0).

 

 

 

Эксцентриситет гиперболы определяется по формуле:

 

е=с/а

 

где с — расстояние между фокусами гиперболы и её центром.

 

Для гиперболы 

 

Прямые  являются асимптотами гиперболы.

 

Пример 1.

 

На правой ветви гиперболы х2/16 - y2/9 = 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше её расстояния от левого фокуса.

 

Решение: Для правой ветви гиперболы  фокальные радиусы - векторы определяются по формулам r1 = ex- а и r2 = ex + а. Следовательно, имеем уравнение ех + а = 2(ех - а), откуда х = 3а/e; здесь а = 4, е = с/a =, т.е. х = 9,6

 

Ординату находим из уравнения  гиперболы:

 

 

 

Таким образом, условию задачи удовлетворяют  две точки: М1(9,6;0,6) и М2(9,6;-0,6).

 

Пример 2.

 

Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение  гиперболы, проходящей через точку  М().

 

 

Решение: Согласно определению эксцентриситета, имеем c/a = , или с2 = 2а2. Но с2 = а2 + b2; следовательно а2 + b2 = 2а2, или а2 = b2, т.е. гипербола равнобочная.

 

Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе, т.е. ()2/a2 - ()2/b2 = 1, или 3/a2 - 2/b2 = 1. Поскольку а2 = b2, получим 3/a2 - 2/а2 = 1, т.е. a2 = 1.

 

Таким образом, уравнение искомой  гиперболы имеет вид х2 - у2 = 1.

 

 

Парабола - геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса параболы) и фиксированной прямой (директрисы параболы). Эта фигура обладает одной осью симметрии. Если директриса параболы перпендикулярна оси Ох, то уравнение кривой имеет вид (у – у0)2 = 2р(х – х0),где р - расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение директрисы x=x0-p/2

 

 

Например:

 

Начертим параболу у2 = 8х.

Сравнивая данное уравнение с уравнением параболы видим, что 2р=8, р=4, х0 =0, у0 =0.

 

 

 

Уравнение директрисы будет x=-p/2, то есть х=-2. Координаты фокуса F(x0+p/2,y0) то есть , F(2,0).

 

 

Общее уравнение прямой

 

 

Утверждение 1. Если на плоскости зафиксирована произвольная декартова прямоугольная система Oxy то всякое уравнение первой степени с двумя переменными

 

 

 

 

(1), в которых хотя бы одна  из постоянных отлична от нуля, определяет относительно этой  системы прямую линию.

 

Докажем это утверждение. Для того что бы утверждение было справедливым необходимо найти такой вектор который  был бы перпендикулярен этой линии  в любой ее точке.

 

 

 

 

Для этого выберем любое (хотя бы одно) решение удовлетворяющее исходному  уравнению .

 

Обозначим эту точку . Координаты произвольной точки, лежащей на исходной линии  обозначим как . Покажем, что вектор , если уравнение первой степени - линия, всегда ортогонален вектору . Для  этого вычтем из исходного уравнения  тождество

 

 

. Получим эквивалентное уравнение вида:

 

.

 

 

Полученное уравнение не что  иное, как условие ортогональности  векторов, выраженное через их скалярное  произведение. (Векторы ортогональны, если сумма соответствующих координат  этих векторов и равна нулю. Имеем  в виду:

 

 

, ).

 

 

Следовательно уравнение (1) есть уравнение прямой.

 

Уравнение (1) с произвольными коэффициентами и , первые два из которых не равны  нулю одновременно, называется общим  уравнением прямой.

 

Прямая, определяемая общим уравнением, ортогональна вектору , называемому нормальным вектором прямой.

 

Общее уравнение называется полным, если все его коэффициенты и не равны нулю. Если хотя бы один из этих трех коэффициентов не равен нулю, уравнение называется неполным.

 

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

 

1.. Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку начало координат удовлетворяет этому уравнению).

 

2.. Уравнение определяет прямую, параллельную оси . (Поскольку  нормальный вектор этой прямой  ортогонален оси ).

 

3.. Уравнение определяет прямую, параллельную оси . (Поскольку нормальный вектор этой прямой ортогонален оси ).

 

4. и . Уравнение определяет ось  (поскольку прямая, определяемая  этим уравнением, параллельна оси  и проходит через начало координат).

 

5. и . Уравнение определяет ось (поскольку прямая, определяемая этим уравнением, параллельна оси и проходит через начало координат)

 

Полное уравнение прямой может  быть приведено к следующему виду:

 

 

.

 

Этот вид уравнения прямой называется уравнением прямой в отрезках.

 

Общее уравнение к уравнению  в отрезках приводится следующим  образом:

 

 

 

, т.е. , .

 

 

Уравнение прямой в отрезках имеет простой геометрический смысл (см. рис.2).

 

Отрезки и определяют точки пересечения  прямой осей и .

 

В этом не трудно убедится положив  сначала , а за тем 

 

Каноническое уравнение прямой

 

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой. Каноническое уравнение можно получить, если запишем уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении.

 

Пусть задана точка и направляющий вектор .

 

Очевидно, что точка лежит на указанной прямой в том случае, если векторы и коллинеарны. Если вектора коллениарны, то . Через координаты это свойство может быть выражено так

 

 

.

 

 

Соотношение (2) является искомым каноническим уравнением прямой.

 

 

В заключении запишем уравнение  прямой, проходящей через две данные и отличные друг от друга точки и . Для этого достаточно в каноническом уравнении (2) взять в качестве направляющего вектора . Мы получим при этом уравнении

 

 

. (3)

 

Параметрические уравнения прямой

 

 

Параметрическое уравнение прямой вытекает из канонического уравнения (2). Если в качестве постоянной взять переменный параметр , изменяющийся в диапазоне (бесконечная прямая), то