Уравнение линии на плоскости

Уравнение линии на плоскости

Уравнение вида называется уравнением прямой в общем виде.

Если выразить в этом уравнении  , то после замены и получим уравнение , называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом, причем , где – угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Если же в общем уравнении прямой перенести свободный коэффициент в правую сторону и разделить на него, то получим уравнение в отрезках

 

, где  и – точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат соответственно.

 

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Пусть заданы две  прямые и .

Чтобы найти точку  пересечения прямых (если они пересекаются) необходимо решить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкой пересечения прямых. Найдем условия взаимного расположения двух прямых.

Так как  , то угол между этими прямыми находится по формуле

 

.

 

Отсюда можно  получить, что при прямые будут параллельными, а при – перпендикулярны. Если прямые заданы в общем виде, то прямые параллельны при условии и перпендикулярны при условии

Расстояние от точки  до прямой можно найти по формуле

 

 

Нормальное уравнение  окружности:

 

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое  уравнение эллипса имеет вид:

 

 

где - большая полуось, - малая полуось и . Фокусы находятся в точках . Вершинами эллипса называются точки , , , . Эксцентриситетом эллипса называется отношение

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение  гиперболы имеет вид:

 

 

где - большая полуось, - малая полуось и . Фокусы находятся в точках . Вершинами гиперболы называются точки , . Эксцентриситетом гиперболы называется отношение

Прямые  называются асимптотами гиперболы. Если , то гипербола называется равнобочной.

Из уравнения  получаем пару пересекающихся прямых и .

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, от каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение параболы

 

.

 

Прямая  называется директрисой, а точка – фокусом.

Понятие функциональной зависимости

Основные вопросы  лекции: множества; основные операции над множествами; определение функции, ее область существования, способы  задания; основные элементарные функции, их свойства и графики; числовые последовательности и их пределы; предел функции в точке и на бесконечности; бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства; основные теоремы о пределах; замечательные пределы; непрерывность функции в точке и на интервале; свойства непрерывных функций.

Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят что на множестве задана функция. При этом называется независимой переменной или аргументом, а – зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения или существования функции, а множество – областью значений функции.

Существуют следующие способы  задания функции

1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции
3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции
4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.

Основные свойства функции

1. Четность и нечетность. Функция называется четной, если для всех значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.
2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случае функция называется неограниченной.
4. Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .

Классификация функций.

1. Обратная функция. Пусть есть функция от независимой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений называется обратной.
2. Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции.

1. Функция полезности и функция предпочтений – в широком смысле зависимости полезности, то есть результата, эффекта некоторого действия от уровня интенсивности этого действия.
2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от начало или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов.

Если по некоторому закону каждому  натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число то говорят, что задана числовая последовательность .

 

:

 

Числа называются членами последовательности, а число - общим членом последовательности.

Число называется пределом числовой последовательности , если для любого малого числа найдется такой номер (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно равенство .Предел числовой последовательности обозначается .

Последовательность  имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Число называется пределом функции при , если для любого малого числа найдется такое положительное число , что для всех таких, что верно неравенство .

Предел функции в точке. Пусть  функция  задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число называется пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого , найдется такое положительное число (зависящий от ), что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство . Этот предел обозначается .

Функция называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых величин

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечен малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Понятие производной и дифференциала функции

Основные вопросы  лекции: задачи, приводящие к понятию  производной; определение производной; геометрический и физический смысл  производной; понятие дифференцируемой функции; основные правила дифференцирования; производные основных элементарных функций; производная сложной и обратной функции; производные высших порядков, основные теоремы дифференциального исчисления; теорема Лопиталя; раскрытие неопределенностей; возрастание и убывание функции; экстремум функции; выпуклость и вогнутость графика функции; аналитические признаки выпуклости и вогнутости; точки перегиба; вертикальные и наклонные асимптоты графика функции; общая схема исследования функции и построение ее графика, определение функции нескольких переменных; предел и непрерывность; частные производные и дифференциал функции; производная по направлению, градиент; экстремум функции нескольких переменных; наибольшее и наименьшее значения функции; условный экстремум, метод Лагранжа.

Производной функции  называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)

 

.

 

Если функция  в точке  имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция дифференцируемая в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический  смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, приведенной к кривой в точке .

Тогда уравнение касательной к  кривой в точке примет вид

.

Механический смысл производной: производная пути по времени  есть скорость точки в момент времени :

Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент

Теорема. Если функция  дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Производная функции  может быть найдена по следующей схеме

1. Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции .
2. Находим приращение функции .
3. Составляем отношение .
4. Находим предел этого отношения при , то есть (если этот предел существует).

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, то есть .
2. Производная аргумента равна 1, то есть .
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть .
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

 

 

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

 

.

 

Теорема. Если и – дифференцируемые функции от своих переменных, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , то есть

 

.

 

Теорема. Для  дифференцируемой функции с производной  не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть .

Эластичностью функции  называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при :

 

 

Эластичность  функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится  функция  при изменении независимой переменной на один процент.

Геометрически это означает что  эластичность функции (по абсолютной величине) равна отношению расстояний по касательной  от данной точки графика функции  до точек ее пересечения с осями  и .

Основные свойства эластичности функции:

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции , то есть .
2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций: