Решение нелинейных уравнений

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Пензенский государственный университет

Кафедра высшей и прикладной математики

 

 

 

 

 

 

 

Отчет о выполнении лабораторной работы №1

 на тему:  «Решение нелинейных уравнений»

 

 

 

 

                                                                           Выполнила ст. гр. 10ФВ1:

Тихонова М.

Проверила: к.т.н. Черушева Т.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пенза, 2013

Тема лабораторной работы №1: 
Решение нелинейных уравнений.

Цель лабораторной работы №1:  
приобретение навыков работы с функциями Maple solve, fsolve, а также с условным оператором if и циклами for, do, while.

Постановка задачи:

1) Разработать программу вычисления  корня нелинейного уравнения  с некоторой точностью одним  из четырех методов: половинного  деления (ПД), касательных (К), хорд (Х), хорд и касательных (ХК).

2) Решить эти же уравнения,  используя встроенные функции Maple solve и fsolve.

3) Сравнить полученные результаты.

Методические указания.

 С методами решения можно  познакомиться в [1-3]. С помощью  функции plot построить графики функций и отделить корень.

 

       Варианты заданий:

Вариант 14(метод половинного деления).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическое описание метода решения поставленной задачи.

Метод деления  отрезка пополам (метод бисекций).

Метод бисекций является одним из самых простых методов решения нелинейных уравнений вида  . Главным его достоинством является то, что он всегда сходится. Недостатком этого метода является то, что он медленный.

Алгоритм рассматриваемого метода может быть следующим.

1. Пусть найден отрезок , который содержит корень уравнения
2. За возьмем середину , т.е. вычисляем

     (1)

При этом из отрезка  получилось два отрезка и .

3. Исследуем знак на концах отрезков и , т.е. вычислим значения .
4. Выберем теперь отрезок, на концах которого имеет разные знаки, другой отрезок отбросим.
5. Выбранный отрезок обозначим через .
6. Перейдем к п. 2.

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции  после n-ой итерации не станет меньше по модулю, чем некоторое , т.е. пока , где очень маленькое положительное число (точность, с которой надо решить уравнение (I)). Можно закончить счет и тогда, когда длина очередного отрезка станет меньше .

Приведем блок-схему данного метода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Листинг программы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты выполнения программы. 

Задача 1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод.

В ходе выполнения лабораторной работы был изучен метод половинного деления. Разработана программа, реализующая данный метод. Разработанная программа способна найти решение с любой точность (если оно существует). Сравнивая результат моей программы с решением, полученным через такие функции maple как solve и fsolve, было замечено следующее: что точность вычислений одинакова, различается лишь время вычисления решения. Также я узнала различия между функциями solve и fsolve, они состоят в том что первая вычисляет все точные решения (действительные и комплексные), а вторая находит все действительные решения (если нет точных действительных решений то находит приближённое действительное решение). Недостатком первой является то что точное решение не всегда существует, это во первых, а во вторых решение может и существовать но быть представлено в неудобной форме (например в виде суммы нескольких корней и логарифма), недостаток же торой что корень, даже если он существует может не найтись.