Параметры уравнения линейной регрессии

ЗАДАЧА 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.):

 

№ предприятия	X	Y
1	12	21
2	4	10
3	18	26
4	27	33
5	26	34
6	29	37
7	1	9
8	13	21
9	26	32
10	5	14

 

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (уровень значимости a=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации R²; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости a=0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• логарифмической;
• степенной;
• показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

РЕШЕНИЕ

Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1. С помощью надстройки «Анализ данных» EXCEL проводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии (меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Регрессия»):

(Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen.)

В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид:

 (прил. 1).

Угловой коэффициент b₁=0,968 является по своей сути средним абсолютным приростом. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,968 млн. руб.

 

2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были определены остатки регрессии (i=1, 2, …, n, где n=10 — число наблюдений значений переменных X и Y) (см. «Вывод остатка» в прил. 1) и рассчитана остаточная сумма квадратов

 

(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1).

Стандартная ошибка линейной парной регрессии S_рег определена там же:

 млн. руб.

(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1), где p=1 — число факторов в регрессионной модели.

График остатков e_i от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i=1, 2, …, n) строим с помощью диаграммы EXCEL. Предварительно в «Выводе остатка» прил. 1 выделяются блоки ячеек «Предсказанное Y» и «Остатки» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»:

 

 

График остатков приведен в прил. 2.

 

3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов.

1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков не выявляет в них какой-либо явной закономерности.

Проверим исходные данные на наличие аномальных наблюдений объема выпускаемой продукции Y (выбросов). С этой целю сравним абсолютные величины стандартизированных остатков (см. «Вывод остатка» в прил. 1) с табличным значением t-критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка регрессии , которое составляет t_таб=2,306.

Видно, что ни один из стандартизированных  остатков не превышает по абсолютной величине табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов.

2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b₀, параметры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нулю: (см. прил. 1).

Для вычисления суммы  и среднего значений остатков использовались встроенные функции EXCEL «СУММ» и «СРЗНАЧ».

3) Одинаковая дисперсия (гомоскедастичность) остатков. Выполнение данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i=1, 2, …, n). Для этого рассчитывается коэффициент корреляции между абсолютными величинами остатков и (i=1, 2, …, n) с помощью выражения, составленного из встроенных функций:

=КОРРЕЛ(ABS(«Остатки»);«Предсказанное Y»)

Коэффициент корреляции оказался равным (см. прил. 1).

Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы составляет r_кр=0,632.

Так как коэффициент корреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина–Уотсона. Предварительно ряд остатков упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений результата Y, предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в «Выводе остатка» прил. 1 выделяется любая ячейка в столбце «Предсказанное Y», и на панели инструментов нажимается кнопка « » («Сортировка по возрастанию»). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем d-статистику Дарбина–Уотсона

 (см. прил. 1).

Для расчета d-статистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

Критические значения d-статистики для числа наблюдений n=10, числа факторов p=1 и уровня значимости a=0,05 составляют: d₁=0,88; d₂=1,32.

Так как выполняется условие

,

статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

Проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка

 (см. прил. 1).

(ряд остатков упорядочен в  той же самой последовательности).

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций:

=СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=10 и уровня значимости a=0,05 составляет r_(1)кр=0,632. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.

5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой предпосылки проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

,

где e_max=1,27; e_min=(–1,99) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»); — стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН») (см. прил. 1).

Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=10 и уровня значимости a=0,05 имеют значения: (R/S)₁=2,67 и (R/S)₂=3,69.

Так как расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

Проведенная проверка показала, что выполняются все пять предпосылок обычного метода наименьших квадратов. Это свидетельствует об адекватности регрессионной модели исследуемому экономическому явлению.

 

4. Проверим статистическую значимость коэффициентов b₀ и b₁ уравнения регрессии. Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии составляет t_таб=2,306.

t-статистики коэффициентов

,

были определены при  проведении регрессионного анализа  в EXCEL и имеют следующие значения: t_b0»11,41; t_b1»25,81 (см. прил. 1). Анализ этих значений показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости обоих коэффициентов. На то же самое обстоятельство указывают и вероятности случайного формирования коэффициентов b₀ и b₁, которые ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение»).

Статистическая значимость углового коэффициента b₁ дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y.

 

5. Коэффициент детерминации R² линейной модели также был определен при проведении регрессионного анализа в EXCEL:

 

(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1).

Значение R² показывает, что линейная модель объясняет 99 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F-статистика линейной модели имеет значение

(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1).

Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости a=0,05 и чисел степеней свободы числителя (регрессии) и знаменателя (остатка) составляет F_таб=5,32. Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия Фишера, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом. На этот же факт указывает и то, что вероятность случайного формирования уравнения регрессии в том виде, в каком оно получено, составляет 5,45×10^-9 (см. «Значимость F» в «Дисперсионном анализе» прил. 1), что ниже допустимого уровня значимости a=0,05.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

,

где млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ» (см. «Исходные данные» в прил. 1).

Значение Е_отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 4,0 %. Линейная модель имеет хорошую точность.

По результатам проверок, проведенных в пунктах 3 — 5, можно сделать вывод о достаточно хорошем качестве линейной модели и возможности ее использования для целей анализа и прогнозирования объема выпускаемой продукции.

 

6. Спрогнозируем объем выпускаемой продукции Y, если прогнозное значение объема капиталовложений X составит 80 % от своего максимального значения в исходных данных:

• максимальное значение X — x_max=29 млн. руб. (см. «Исходные данные» в прил. 1);
• прогнозное значение X — млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение объема выпускаемой продукции (точечный прогноз) равно

 млн. руб.

Стандартная ошибка прогноза фактического значения объема выпускаемой продукции y₀ рассчитывается по формуле

 млн. руб.,

где млн. руб. — средний объем капиталовложений; млн. руб. — стандартное отклонение объема капиталовложений (определены с помощью встроенных функций «СРЗНАЧ» и «СТАНДОТКЛОН») (см. «Исходные данные» в прил. 1).

Интервальный прогноз фактического значения объема выпускаемой продукции y₀ с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,9 (уровень значимости a=0,1) имеет вид: