Параметры уравнения линейной регрессии

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Октября 2013 в 20:26, курсовая работа

Описание работы

Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (уровень значимости a=0,05).
Вычислить коэффициент детерминации R2; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости a=0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Файлы: 1 файл

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую.doc

— 437.50 Кб (Скачать файл)

 млн. руб.,

где tтаб=1,860 — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости a=0,1 и числе степеней свободы .

Таким образом, объем выпускаемой продукции Y с вероятностью 90 % будет находиться в интервале от 28,25 до 32,91 млн. руб.

 

7. График, на котором изображены фактические и предсказанные уравнением регрессии значения Y строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»). Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…» ® «Линейная»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R2:

 

 

Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (прил. 3).

 

8. Логарифмическую, степенную и показательную модели также строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»). Далее последовательно строим соответствующие линии тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R2:

 

 

 

 

Графики линий регрессии, уравнения регрессии и значения R2 приведены в прил. 4. Рассмотрим последовательно каждую модель. 

 

1) Логарифмическая модель:

.

Значение параметра b1=8,6672 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на млн. руб.

Коэффициент детерминации R2»0,8562 показывает, что логарифмическая модель объясняет 85,62 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F-статистика Фишера логарифмической модели определяется через коэффициент детерминации R2 по формуле

.

Табличное значение F-критерия Фишера одинаково как для линейной, так и для всех нелинейных моделей, которые здесь строятся (Fтаб=5,32). Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения логарифмической регрессии.

Стандартная ошибка логарифмической регрессии также рассчитывается через коэффициент детерминации R2 по формуле

 млн. руб.,

где млн. руб. — стандартное отклонение объема выпускаемой продукции, определенное с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. «Исходные данные» в прил. 1).

Среднюю относительную ошибку аппроксимации  определяем по приближенной формуле

.

Предсказанные уравнением логарифмической регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 13,97 %. Логарифмическая модель имеет хорошую точность.

2) Степенная модель:

.

Показатель степени b1=0,4531 является средним коэффициентом эластичности. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,4531 %.

Коэффициент детерминации R2»0,9277 показывает, что степенная модель объясняет 92,77 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F-статистика степенной модели

также превышает табличное значение F-критерия Фишера (Fтаб=5,32), что указывает на статистическую значимость уравнения степенной регрессии.

Стандартная ошибка степенной регрессии равна

 млн. руб.

Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение

.

Предсказанные уравнением степенной  регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 9,92 %. Степенная модель имеет хорошую точность.

3) Показательная (экспоненциальная) модель:

,

где е=2,718… — основание натуральных логарифмов; — функция экспоненты (в EXCEL встроенная функция «EXP»).

Параметр b1=1,0474 является средним коэффициентом роста. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем в 1,0474 раза, то есть на 4,7 %.

Коэффициент детерминации R2»0,9413 показывает, что показательная модель объясняет 94,13 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F-статистика показательной модели

превышает табличное значение F-критерия Фишера (Fтаб=5,32), что свидетельствует о статистической значимости уравнения показательной регрессии.

Стандартная ошибка показательной  регрессии:

 млн. руб.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

.

Предсказанные уравнением показательной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 8,95 %. Показательная модель имеет хорошую точность.

 

Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R2 четырех построенных моделей (линейной, логарифмической, степенной и показательной), можно придти к выводу, что лучшей моделью является логарифмическая модель, так как она имеет самое большое значение R2.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерные распечатки на 4 листах.

ЗАДАЧА 2

Задача 2а и 2б 

Для каждого варианта даны по две структурные формы модели, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

 

 

Номер варианта

Номер уравнения

Задача 2а

Задача 2б

переменные

переменные

у1

у2

у3

х1

х2

х3

x4

у1

у2

у3

х1

х2

х3

x4

9

1

-1

b12

0

a11

a12

a13

0

-1

b12

b13

a11

a12

0

0

2

0

-1

b23

a21

0

a23

a24

b21

-1

b23

0

0

a23

a24

3

0

b32

-1

a31

a32

a33

0

b31

b32

-1

0

0

a33

a34


РЕШЕНИЕ

Задача 2а

Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:

Проверим каждое уравнение  системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении две эндогенные переменные: y1 и y2 (H=2). В нем отсутствует одна экзогенные переменные x2 (D=1). Необходимое условие идентификации выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у3 и x4, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:

 

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у3

x4

2

b23

a24

3

-1

0


 

Определитель данной матрицы не равен нулю:

,

а ее ранг равен 2. В заданной системе уравнений две эндогенные переменные — y1 и y2 . Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым.

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y2 и y3 (H=2). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x2 (D=1). Необходимое условие идентификации выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных y1 и x3, которые отсутствуют во втором уравнении:

 

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

y1

x3

1

-1

a13

3

0

a33


 

Определитель данной матрицы не равен нулю:

,

а ее ранг равен 2. Достаточное условие идентификации выполнено, и второе уравнение считается идентифицируемым.

В третьем уравнении две эндогенные переменные: y2 и y3 (H=2). В нем отсутствует экзогенные переменные x4 (D=1). Необходимое условие идентификации выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных х4 и у1, которые отсутствуют в третьем уравнении:

 

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у1

x4

1

-1

0

2

0

a24


 

Определитель данной матрицы равен

,

а ее ранг — 2. Значит достаточное условие идентификации выполнено, и третье уравнение можно считать идентифицируемым.

Таким образом, все три уравнения заданной системы идентифицируемы, а значит, идентифицируема и вся система в целом.

 

 

Задача 2б

Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:

Проверим каждое уравнение  системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x3 и x4, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:

 

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

x3

x4

2

a23

a24

3

a33

a34


 

Определитель матрицы не равен нулю:

,

а ее ранг матрицы равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные — y1, y2 и y3. Если , то это означает, что достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым.

Во втором уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные x1 и x2 (D=2). Необходимое условие идентификации выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x1 и x2, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:

 

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

x1

x2

1

a11

a12

3

0

0


 

Определитель матрицы не равен нулю:

Информация о работе Параметры уравнения линейной регрессии