Уравнения плоскост

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Октября 2014 в 18:00, доклад

Описание работы

Пусть в координатном пространстве заданы три точки не лежащие на одной прямой (рис.4.17). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки.

Файлы: 1 файл

Уравнения плоскост1.doc

— 208.00 Кб (Скачать файл)

Уравнения плоскости, проходящей через три точки

 

Пусть в координатном пространстве   заданы три точки       не лежащие на одной прямой (рис.4.17). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки.

 

Как показано в [url]разд. 1.6.1[/url], точка   принадлежит плоскости, проходящей через точки       тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор   удовлетворяет условию:

 

 

 
где   - некоторые действительные числа (параметры). Это уравнение, а также его координатную форму

 

 

 
будем называть аффинным уравнением плоскости, проходящей через точки     

 
Используя векторы

и

 
в качестве направляющих векторов плоскости, составим уравнение вида (4.18):

 

 

которое называется уравнением плоскости. проходящей через три заданные точки 

                               Уравнение плоскости "в отрезках"

 

Пусть на координатных осях заданы точки   и  , причем       (рис.4.18). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

                                                  

 

Подставляя в уравнение (4.21) координаты заданных точек  , получаем:

 

Разделив уравнение на  , получаем уравнение

 

(4.22)


 
которое называется уравнением плоскости "в отрезках". Говорят, что плоскость, проходящая через точки     и  ,отсекает на координатных осях "отрезки":   на оси абсцисс,   на оси ординат и   на оси аппликат. Разумеется, длины отрезков   и   равны   и   соответственно. 

 

Замечания 4.5.

 

1. Перейти от общего уравнения плоскости (4.15)   к уравнению "в отрезках" (4.22) можно при условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенести свободный член в правую часть уравнения:  , а затем разделить обе части уравнения на 

 

 

Обозначив   получим уравнение в отрезках (4.22):

 

 

2. Уравнения (4.21), (4.22), полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним, однако величины   и   в общем случае не равны длинам отсекаемых отрезков   и  .

 

 

Пример 4.9. В координатном пространстве   (в прямоугольной системе координат) заданы точки

 

Требуется: 
 

а) составить общее уравнение плоскости треугольника  ;

б) составить уравнение в "отрезках" для плоскости треугольника  ;

в) определить точки пересечения этой плоскости с координатными осями.

 

Решение. а) Составим уравнение (4.21):

 

 

 

Раскрывая определитель и приводя подобные члены, получаем

 

 

б) Переносим свободный член общего уравнения плоскости (см. пункт "а") в правую часть и делим уравнение на 12:

 

 
Получили уравнение плоскости в "отрезках". 
 

в) По уравнению плоскости в "отрезках" заключаем, что плоскость (см. пункт "б") проходит через точки       на координатных осях.

 

 

 

          Расстояние от точки до плоскости.

Требуется найти расстояние от точки   до плоскости  , определяемой уравнением

.

 

 

 Для этого приведем уравнение   к нормальному виду:

.

Здесь   - радиус-вектор текущей точки   плоскости  ,  - длина перпендикуляра  к  , выпущенного из нулевой точки, и   - единичный вектор, направленный как  . Из рис. 22 видно, что разность   радиус-вектора произвольной точки   плоскости   и радиус-вектора точки   есть такой вектор, что абсолютная величине его проекции на   равна искомому расстоянию   от  до  :

,

но

.

Следовательно,

.

Рис. 22

Мы видим, что, для того чтобы вычислить расстояние   от точки   до плоскости  , надо записать уравнение плоскости   в нормальном виде, перенести   в левую часть и подставить в последнюю   вместо  . 

Абсолютная величина полученного выражения и есть искомое число  .

На языке параметров плоскости, очевидно,

.

Легко видеть, что если точка   и начало координат находятся по разные стороны от плоскости   (как на рис. 22), то вектор   образует с   тупой угол, и поэтому

.

Если же точка   и начало координат находятся по одну сторону от  , то указанный угол острый, и тогда

.

Следовательно, в первом случае  , а во втором  .

Пример 2. Расстояние   от точки (1, 1, 1) до плоскости 

равно

.

В данном случае точка (1, 1, 1) и начало координат находятся по разные стороны от плоскости  , так как   и

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          Реферат

На тему: Уравнения плоскости, проходящей через три

точки. Расстояние от точки до плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                              

                                                                                                         

 

 

 

 

 

                                                                                                         Выполнилм .Меметов.З.Р

 

                                                                                                             

                                                                                                        

 

                                                                                                       Учяшийся  ГР №41

 

                                                                                                        

                                                                                                          Проверила Сухомлинова.Е.В

 


Информация о работе Уравнения плоскост