Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Сентября 2012 в 20:08, задача
1. Определители
Вычислить определитель.
2. .Системы линейных уравнений.
Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить.
1. Определители
Вычислить определитель.
2 8 -5 1
1 9 0 -6
0 -5 -1 2
1 0 -7 6
Решение: Запишем матрицу в виде:
Найдем определитель:
Минор для (1,1):
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = 9 • (-1 • 6-(-7 • 2))-(-5 • (0 • 6-(-7 • (-6))))+0 • (0 • 2-(-1 • (-6))) = -138
Минор для (2,1):
Найдем определитель для этого минора.
∆2,1 = 8 • (-1 • 6-(-7 • 2))-(-5 • (-5 • 6-(-7 • 1)))+0 • (-5 • 2-(-1 • 1)) = -51
Минор для (3,1):
Найдем определитель для этого минора.
∆3,1 = 8 • (0 • 6-(-7 • (-6)))-9 • (-5 • 6-(-7 • 1))+0 • (-5 • (-6)-0 • 1) = -129
Минор для (4,1):
Найдем определитель для этого минора.
∆4,1 = 8 • (0 • 2-(-1 • (-6)))-9 • (-5 • 2-(-1 • 1))+(-5 • (-5 • (-6)-0 • 1)) = -117
Главный определитель:
∆ = 2 • (-138)-1 • (-51)+0 • (-129)-1 • (-117) = -108
2. .Системы линейных уравнений.
Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить.
3х1 – 2х2 + х3 – х4 =0
3х1 - 2х2 - х3 + х4 =1
х1 - х2 + 2х3 +5 х4 =3
Решение:
Найти решение системы уравнений :
Шаг:1
Сформируем расширенную матрицу :
3 -2 1 -1 0
3 -2 -1 1 1
1 -1 2 5 3
Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Шаг:2Разделим строку 1 на a1,1 = 3
Получим матрицу
1 -2/3 1/3 -1/3 0
3 -2 -1 1 1
1 -1 2 5 3
Шаг:3Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1= 3
Вычитаемая строка :
3 -2 1 -1 0
Модифицированная матрица :
1 -2/3 1/3 -1/3 0
0 0 -2 2 1
1 -1 2 5 3
Шаг:4Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1= 1
Вычитаемая строка :
1 -2/3 1/3 -1/3 0
Модифицированная матрица :
1 -2/3 1/3 -1/3 0
0 0 -2 2 1
0 -1/3 5/3 16/3 3
Шаг:5
Поменяем местами строки 2 и 3.
1 -2/3 1/3 -1/3 0
0 -1/3 5/3 16/3 3
0 0 -2 2 1
Шаг:6Разделим строку 2 на a2,2 = -1/3
Получим матрицу :
1 -2/3 1/3 -1/3 0
0 1 -5 -16 -9
0 0 -2 2 1
Шаг:7Разделим строку 3 на a3,3 = -2
Получим матрицу :
1 -2/3 1/3 -1/3 0
0 1 -5 -16 -9
0 0 1 -1 -1/2
Шаг:8Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3=-5
Вычитаемая строка :
0 0 -5 5 5/2
Модифицированная матрица :
1 -2/3 1/3 -1/3 0
0 1 0 -21 -23/2
0 0 1 -1 -1/2
Шаг:9Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3= 1/3
Вычитаемая строка :
0 0 1/3 -1/3 -1/6
Модифицированная матрица :
1 -2/3 0 0 1/6
0 1 0 -21 -23/2
0 0 1 -1 -1/2
Шаг:10Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2= -2/3
Вычитаемая строка :
0 -2/3 0 14 23/3
Модифицированная матрица :
1 0 0 -14 -15/2
0 1 0 -21 -23/2
0 0 1 -1 -1/2
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
x1 -14x4 = - 15/2
x2 -21x4 = - 23/2
x3 -x4 = - 1/2
x1, x2, x3 оствавим в левой части уравнений, а x4 перенесем вправо. Окончательный вид системы следующий:
x1 = 14x4- 15/2
x2 = 21x4- 23/2
x3 =x4 - 1/2
x4 - свободная переменная.
Заданная система уравнений имеет множество решений.
Метод Гаусса.
Запишем систему в виде:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Необходимо переменную x4 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x4 к 0
Из 1-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
3. Системы линейных уравнений.
Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить.
6х + 5у + 2z = 5
3х – 2у + 5z = 1
4х – 3у+ 7z = 2
Решение.
Шаг:1
Сформируем расширенную матрицу:
6 5 2 5
3 -2 5 1
4 -3 7 2
Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Шаг:2Разделим строку 1 на a1,1 = 6
Получим матрицу :
1 5/ 6 1/ 3 5/6
3 -2 5 1
4 -3 7 2
Шаг:3Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1= 3
Вычитаемая строка :
3 5/2 1 5 / 2
Модифицированная матрица :
1 5/6 1/ 3 5 / 6
0 -9/2 4 -3/2
4 -3 7 2
Шаг:4Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=4
Вычитаемая строка :
4 10/3 4/3 10/3
Модифицированная матрица :
1 5/6 1/3 5/6
0 -9/2 4 -3/2
0 -19/3 17/3 -4/3
Шаг:5Разделим строку 2 на a2,2 = -9/2
Получим матрицу :
1 5/6 1/3 5/6
0 1 -8/9 1/3
0 -19/3 17/3 -4/3
Шаг:6Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2= -19/3
Вычитаемая строка :
0 -19/3 152/ 27 -19/9
Модифицированная матрица :
1 5/6 1/3 5/ 6
0 1 -8/9 1/3
0 0 1/27 7/9
Шаг:7Разделим строку 3 на a3,3 = 1/27
Получим матрицу :
1 5/6 1/3 5/6
0 1 -8/9 1/3
0 0 1 21
Шаг:8Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3= -8/9
Вычитаемая строка :
0 0 -8/9 -56/3
Модифицированная матрица :
1 5/6 1/ 3 5/6
0 1 0 19
0 0 1 21
Шаг:9Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3= 1/3
Вычитаемая строка :
0 0 1/3 7
Модифицированная матрица :
1 5/6 0 -37/6
0 1 0 19
0 0 1 21
Шаг:10Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2= 5/6
Вычитаемая строка :
0 5/6 0 95/6
Модифицированная матрица :
1 0 0 -22
0 1 0 19
0 0 1 21
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
x = -22
у = 19
z = 21
Заданная система уравнений имеет единственное решение:
x = -22
у = 19
z =21
4. Системы линейных уравнений.
Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить.
2х - 3у = - 2
х + 2у = 2,5
-2х – 4у = -5
2√3х - 3√3у = -2√3
Решение:
2х - 3у = - 2
х + 2у = 2,5
-2х – 4у = -5
12х - 27у = -12
Задача:
Найти решение системы уравнений:
Шаг:1
Сформируем расширенную матрицу:
2 -3 -2
1 2 2,5
-2 -4 -5
12 -27 -12
Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Шаг:2Разделим строку 1 на a1,1 = 2
Получим матрицу :
1 -3/2 -1
1 2 2,5
-2 -4 -5
12 -27 -12
Шаг:3Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1= 1
Вычитаемая строка :
1 -3/2 -1
Модифицированная матрица :
1 -3/2 -1
0 7/2 7/2
-2 -4 -5
12 -27 -12
Шаг:4Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1= -2
Вычитаемая строка :
-2 3 2
Модифицированная матрица :
1 -3/2 -1
0 7/2 7 /2
0 -7 -7
12 -27 -12
Шаг:5Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1= 12
Вычитаемая строка :
12 -18 -12
Модифицированная матрица :
1 -3/2 -1
0 7/2 7/2
0 -7 -7
0 -9 0
Шаг:6Разделим строку 2 на a2,2 = 7/2
Получим матрицу :
1 -3/2 -1
0 1 1
0 -7 -7
0 -9 0