Задачи по "Математике"

Вариант 10

 

1. Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны 
   25,4 см и 16,86305 см.

 

Решение

P=2*(a+b) , где Р – периметр, а – ширина, b-высота.

P=2*(25,4 + 16,86305)= 84,5261 см

Ответ P=84,5261 см

 

 

2. Решить уравнения:   

а. 36 у⁴ - 37 у² +1=0

Решение

Произведем замену z=у²

Тогда

36 z² - 37 z +1=0

Решим полученное квадратное уравнение

Теперь  решаем  уравнения:

 

 и 

Они имеют соответственно корни:

,  ,

Эти числа являются  корнями исходного уравнения.

Ответ ,  ,

 

б. u³-3u² - 4u + 12 = 0

 

Решение

Ищем первый корень перебором чисел 

Тогда делим левую  часть этого  уравнения на двучлен  u – 2,  и получаем:

 

Теперь, решая квадратное уравнение:

находим оставшиеся два корня:  u₂ = 3 и  u₃ = -2 .

Ответ ,  u₂ = 3 и  u₃ = -2

 

3. Даны точки М (0;2), N(2;l), C(4;-5), D(l;2). Найти скалярное 
произведение векторов MN и CD.

 

Решение

Найдем координаты векторов и

Ответ

 

4. При каких значениях "х" определитель равен 12 ?

 

Решение

, 

Ответ , 

 

5. Найти предел:

Решение

 

А)

 

Б)

6. Вычислить:

Решение

 

7. Решить уравнения

А)

Решение

Ответ

 

Б)

Решение

 

Ответ

 

8. Упростить выражение

Решение

 

9. Решить уравнение:

Решение

Пусть z = cos x., тогда

Теперь  решаем  уравнения:

 

 

Т.к. , то корней нет

 

Оно имеют соответственно корни:

,  , где

Эти числа являются  корнями исходного уравнения.

Ответ , 

 

 

Вариант 10

1. Найти производные функций. Найти f^,(-l).

А)

 

Решение

 

 

Б)

 

Решение

 

2.

Вычислить скорость движения тела в момент t=2c

Решение

 м/с

Ответ скорость движения тела в момент t=2c равна 1 м/с

 

3. Постройте график функции:

 

Решение

 

1). Функция y- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось

2). Многочлены бывают чётными  функциями, если содержат только  чётные степени переменного  , и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени . Функция у является нечетной.

3). Вертикальных асимптот график  не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек.

4). Поскольку многочлен имеет  степень 3, то его график не  имеет наклонных или горизонтальных  асимптот.

5). Пересечение с осью OY найдём, вычислив значение y при x=0: имеем

.

Для нахождения пересечений графика с осью OX следует решить уравнение

График пересекает ось ОХ в т. (2;0) и (-1;0)

6) Производная данной функции равна

Найдём интервалы возрастания  функции, решая неравенство 

.

Его решением служит интервал , на этом интервале функция возрастает.

Интервалы убывания задаются обратным неравенством, то есть

Значит, решением неравенства служит объединение интервалов и .

На каждом из этих интервалов функция убывает.

В точке  возрастание функции сменяется убыванием, значит, - точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

В точке  убывание функции сменяется возрастанием, значит,  - точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

Как мы видим, на участке возрастания значения функции изменяются от 4 до 0 и остаются положительными.

7)  Вторая производная  функции равна 

 Для отыскания интервала  выпуклости решим неравенство  , то есть , откуда . Значит, функция выпукла на интервале . Обратное неравенство даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это . В точке 0 направление выпуклости меняется, следовательно, 0 - это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно

8). С учётом предыдущих  семи пунктов строим график  функции

4. Найти приращение функции у=lnx при изменении аргумента х от 1 до 1,002.

Решение

Ответ

5. Найдите интегралы

a)

б)

6. Вычислите определенные интегралы:

А)

Б) 7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , , , y=0

Решение

 кв.ед.

 

Ответ кв.ед.

8. Через основание АС равнобедренного треугольника ABC проведена плоскость а образующая с плоскостью треугольника угол 60°.Угол А треугольника ABC равен 30°. Вершина В удалена от плоскости а на 4 Л см. Вычислить площадь проекции треугольника ABC на плоскость а.

 

9. В прямом параллелепипеде  стороны основания равны 8см и 15 см, и образуют угол в 60уменьшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в 30".Определить объем этого параллелепипеда.

 

Задача 18.

318.3. В прямоугольном  параллелепипеде стороны основания  равны 5 см и 12 см, а диагональ  параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту параллелепипеда.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 98) боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD, а значит оно перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, в частности АС. Поэтому — прямоугольный угол A₁AC = 90°. При этом А₁С — диагональ параллелепипеда, АС — ее проекция на плоскость основания и по условию задачи угол A₁CA= 45°. Cледовательно — прямоугольный равнобедренный (угол AA₁C= 45°) поэтому AA₁ = AC, т.е. высота параллелепипеда. которую надо oпределить, равна диагонали основания.  
Так как ABCD — прямоугольник то треугольник ABC прямоугольный с катетам AB = 12 см, BС = 5 см, а тогда по теореме Пифагора,

Ответ. 13 см

§ 1. Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда 

 
Из курса планиметрии известно понятие площади — количественной характеристики геометрической фигуры на плоскости.  
Площадь — это положительная величина, определенная для каждой из рассматриваемых фигур, числовое значение которой обладает свойствами:  
а)  равные фигуры имеют равные площади;  
б)  если фигура разбита на части, то ее площадь равна сумме площадей ее частей;  
в)  площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины, равна единице.  
Например, каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы площади, т. е. квадрата, стороной которого служит единица измерения длины. Площадь может измеряться в квадратных сантиметрах (см2), в квадратных метрах (м2), в квадратных километрах (км2) и т. д.  
Аналогично для геометрических тел в пространстве вводится понятие объема — количественной характеристики геометрического тела.  
Объем — это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет свойства:  
а) равные геометрические тела имеют равные объемы (рис. 28, а);  

 
б)  если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих (рис. 28, б);  
в)  объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице.  
Из свойства б) следует, что если тело имеет объем Vl и содержится в теле, имеющем объем V2, то Vl < V2.  
Например, каждый многогранник имеет объем, который измеряется с помощью выбранной единицы объема, т. е. куба, ребром которого служит единица измерения длины. Объем может измеряться в кубических сантиметрах (см3), в кубических метрах (м3), в кубических километрах (км3) и т. д.  
В своей практической деятельности человек часто встречается с необходимостью вычисления объемов, например, при изготовлении каких-либо деталей или при строительстве различных сооружений. Многие строительные объекты и детали конструкций имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, пирамид, шаров и т. д. В дальнейшем мы познакомимся с правилами вычисления объемов различных тел, а сейчас рассмотрим вопрос вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.  
Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. если V— объем прямоугольного параллелепипеда, а а, b, с — его измерения, то V=abc.  
Доказательство.  
Возможны три случая длин ребер прямоугольного параллелепипеда.  
1. Пусть длины ребер прямоугольного параллелепипеда ABCDAlB1ClD1 (рис. 29, с) — натуральные числа а, b, с (АВ = а,  
 
ААг = b, AD = c). Делим ребра АВ, АА1, AD соответственно на а, b, с равных частей. Через точки деления проводим плоскости, параллельные граням AA1D1D, ABCD и АА1B1B, соответственно. Тогда данный параллелепипед разбивается на а•b•с кубиков, у каждого из которых длина ребра равна 1. Значит, данный параллелепипед разбит на а • b • с кубов единичного объема. По второму свойству объемов объем параллелепипеда равен а • b• с.  
2. Пусть длины ребер прямоугольного параллелепипеда есть рациональные числа. Не нарушая общности, можем считать, что , где т, п, m, pесть натуральные числа.  
Разобьем данный параллелепипед па единичные кубы, длина ребра   каждого   из   которых  равна .   Параллелепипед  содержит т• п• р   таких   кубов,   объем  каждого   из   которых   равен  
Следовательно,     объем     параллелепипеда     равен     тnр• = =abc  
Можно доказать, что  эта теорема верна и для случая, когда длина хотя бы одного из ребер есть число иррациональное.  
Следствие. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты (рис. 29, б).

 

 

10. Осевое сечение цилиндра-квадрат,  диагональ которого равна 6V2 см.Вычислить объем и боковую поверхность цилиндра.