Контрольная работа по "Математике"

 

 

 

Вариант 2

 

Содержание

 

 

 

 

Задача 2

 

 Из 30 студентов 10 имеют  спортивные разряды. Какова вероятность,  что выбранные наудачу 4 студента: а) имеют спортивный разряд; б) не имеют спортивного разряда.                                                                             

 

 

Решение

а) Общее число всех возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать 4 человека из 30, т.е. числу сочетаний из 30 по 4:

 

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих следующему событию: среди 4 отобранных студентов все четверо имеют спортивный разряд. Выбрать 4 студентов, имеющих спортивный разряд, из 10 студентов, обладающих спортивным разрядом, можно способами.

Искомая вероятность  равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов.

Р= - вероятность того, что все 4 отобранных студентов имеют спортивный разряд

 

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих следующему событию:

среди 4 отобранных студентов  все четверо не имеют спортивного  разряда. Выбрать 4 студентов, не имеющих спортивного разряда, из 20 студентов, не обладающих спортивным разрядом (30-10=20),  можно способами.

Искомая вероятность  равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов.

Р= - вероятность того, что все 4 отобранных студентов не имеют спортивного разряда

 

 

Задача 22

 

В среднем пятая часть  поступающих в продажу автомобилей  некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность три автомобиля.

 

Решение

Вероятность того, что  в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), событие наступит ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:

n=10 m=3  p=0.2 q=1-p=1-0.2=0.8

- вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность три автомобиля

 

Задача 42

 

Клиенты банка, не связанные  друг с другом, не возвращают кредиты  в срок с вероятностью 0,1. Составить  закон распределения числа возвращённых в срок кредитов из 5 выданных.  Составить функцию распределения и построить её график. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 

Решение

Случайная величина Х – число  возвращенных в срок кредитов среди пяти выданных может принимать следующие значения: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Найдем соответствующие им вероятности

 

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), событие наступит ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:

n=5  p=1-q=1-0.1=0.9 q=0,1

- вероятность того, что ни один клиент банка не возвратит кредит в срок

- вероятность того, что в срок  возвратит кредит только один  клиент банка 

- вероятность того, что в срок возвратят кредит 2 клиента банка

- вероятность того, что в срок возвратят кредит 3 клиента банка

- вероятность того, что в срок возвратят кредит 4 клиента банка

- вероятность того, что в срок возвратят кредит все 5 клиентов банка

Закон распределения  случайной величины Х представлен  в нижеследующей таблице:

Xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,00001	0,00045	0,00810	0,07290	0,32805	0,59049

 

Проверка:

Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)+Р(Х=3)+Р(Х=4)=0,00001+0,00045+0,00810+

+0,07290+0,32805+0,59049=1

 

Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону:

М(Х)=n*p=5*0,9=4,5 – величина математического ожидания

D(X)=n*p*q=5*0,9*0,1=0,45– величина дисперсии

По определению функцией распределения является функция F(X), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значения, меньшие, чем х.

При х<0 F(X)=0

При 0≤х<1 F(X)=0,00001

При 1≤х<2 F(X)=0,00001+0,00045=0,00046

При 2≤х<3 F(X)=0,00001+0,00045+0,00810=0,00856

При 3≤х<4 F(X)=0,00001+0,00045+0,00810+0,07290=0,08146

При 4≤х<5 F(X)=0,00001+0,00045+0,00810+0,07290+0,32805=0,40951

При х>5 F(X)= 0,00001+0,00045+0,00810+0,07290+0,32805+0,59049=1

 

Функция распределения  случайной величины Х записывается в следующем виде:

 

 

График функции F(X) изображен на рисунке 1.

Рисунок 1. График функции F(X)

 

Задача 62

Случайная величина Х  задана функцией распределения F(х).

 

                      

F(х) = 

 

Найти: 

1) вероятность попадания  случайной величины Х в интервал  ;             

2) функцию плотности  распределения вероятностей f(х); 

3) математическое ожидание  случайной величины Х; 

4) построить графики F(х) и f(х).

 

 

Решение

1) P(a<X<b)=F(b)-F(a)

P(1/3<X<2/3)=F(2/3)-F(1/3)=

- вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1/3;2/3)             

2) Функция плотности  распределения вероятностей f(х)  рассчитывается по формуле:

f(x)=F¢(x)

 

3) Величина математического  ожидания (М(Х)):

 

4) График функции F(X) изображен на рисунке 2.

 

Рисунок 2. График функции F(X)

 

График функции f(X) изображен на рисунке 3.

Рисунок 3. График функции f(X)

 

 

Задача 82

 

Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием   и средним квадратическим отклонением σ. 

Требуется:

а) записать функцию плотности  вероятности случайной величины Х – цена акции - и построить её график;

б) найти вероятность  того, что случайная величина Х  примет значения, принадлежащие интервалу (a,b);

в) найти вероятность  того, что абсолютная величина  çХ- ç окажется меньше e.   

а=16;  σ=0,3;   α=15,8;  β=16,1;  ε=0,5

 

Решение

а) Плотность вероятности  случайной величины, распределенной по нормальному закону, записывается в следующем виде:

 

если а=16  σ=0,3, то

 

Перегибы будут иметь  место в точках х₁=а-σ=16-0,3=15,7 и

х₂=а+σ=16+0,3=16,3

График функции    изображен на рисунке 4

Рисунок 4

 

б) вероятность попадания  случайной величины в интервал (a,b) определяется соотношением:

Р(a<X<b)=

Р(15,8<X<16,1)= =Φ(0,333)- Φ(-0,667)=

=Φ(0,333)+ Φ(0,667)=0,1293+0,2486=0,3779 – вероятность того, что текущая цена акции будет находиться в пределах от 15,8 ед. до 16,1 ед.

 

в) вероятность того, |Х-а|<e определяется соотношением:

Р(|Х-а|<e)=

Р(|Х-16|<0,5)= =2* Φ(1,67)=2*0,4525=0,9050 – вероятность того, что абсолютное отклонение цены акции от ее среднего значения (а=16) будет меньше 0,5.

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Боровков А.А. Курс теории вероятностей.-М.: Наука, 1972.-288 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.: Высшая школа, 2001.-479 с.
3. Гурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М.: Высшая школа, 2001.-400 с.
4. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.2.-М.: Высшая школа, 1983.-320 с.
5. Тиунчик М.Ф. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие.-Хабаровск: ХГАЭП, 1999.-120 с.