Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа №2 по математике

 

Задание №1.5. Найти матрицу D, если даны матрицы А,В и С.

, , , .

Решение:

.

.

 

.

Ответ: .

 

Задание №2.5. Решить матричное уравнение

.

Решение:

Решение уравнения вида  , будем искать в виде: . Находим обратную матрицу:

 

.

 Ответ: .

 

Задание №3.5. Доказать, что система имеет единственное решение. Найти x₄ по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

.

Решение:

.

Находим определитель основной матрицы А:

Т.к. определитель основной матрицы не равен нулю, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение.

По формулам Крамера находим x₄:

.

Метод Гаусса, для решения  системы линейных уравнений:

Первое уравнение умножаем на 2 и отнимаем от него второе:

От последнего уравнения отнимаем третье:

Третье уравнение умножаем на 2 и прибавляем к нему второе:

Умножаем четвертое  уравнение на 3 и прибавляем к  нему третье, в результате приходим к треугольной системе, из которой  находим неизвестные:

Ответ:

 

Задание №4.5. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную в сегменте: , f(x)=x.

Решение:

Функция f(x) – нечетная, т.к. , тогда – нечетная функция, а – четная. Следовательно,

.

Интегрируя по частям:

 Ряд Фурье данной функции имеет  вид:

.

Ответ: .

 

Задание №5.5. Вычислить двойной интеграл, если D – внутренность треугольника АВС.

.

Решение:

Построим область интегрирования:

На ось Ox они дают три проекции: .

На ось Oy – тоже три проекции: .

Найдем уравнения прямых.

АВ: ; ; ;

ВС: ; .

СА: ; .

Поэтому область D является неправильной, при этом её можно задать двумя  системами неравенств:

.

По свойствам двойного интеграла находим: .

;

  .

Ответ: .

 

Задание №6.5. Найти общее  решение дифференциального уравнения.

.

Решение:

Составляем характеристическое уравнение:

;     

Получаем два различных корня: . Тогда,  общее решение однородного дифференциального уравнения записывается в виде:

.

Ищем частное решение  неоднородного уравнения в виде:

; . Подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

.

Общее решение будет  иметь вид: .

Ответ: .

 

Задание 7.5. Найти область  решений системы неравенств и  изобразить на рисунке.

Решение:

Изобразим на плоскости две координатные оси: x₁ и x₂; дальше, построим на этой координатной плоскости область допустимых решений. Для построения такой области следует построить на плоскости прямые, имеющие уравнения:

Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости, на одной из которых соответствующие ограничение модели выполняется, а на другой – нет.

Область решения:

Ответ:

 

Задание №8.5. а) Округлить  до трех десятичных знаков число, определить абсолютную и относительную погрешности.

б) вычислить с четырьмя значащими цифрами и проверить результат возведением в степень.

а) .

Т.к. отбрасываемое четвертое число после запятых равно трем, следовательно, третье значимое число после запятой остается неизменным, т.е. .

Находим абсолютную погрешность:

.

Относительная погрешность:

.

б) .

Вычисляем значение кубического  корня: .

Проводим проверку: .

Ответ: а) ; ; ; б) .