Контрольная работа по "Математике"

Министерство образования  и науки, молодежи и спорта

Автономной республики Крым

 

СИМФЕРОПОЛЬСКИЙ ТЕХНИКУМ

РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

 

 

ОТДЕЛЕНИЕ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

 

Высшая математика

Наименование учебной  дисциплины

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Вариант № 6

 

 

Фамилия, имя, отчество учащегося

 

Шифр

Группа

 

 

 

Фамилия, имя, отчество преподавателя

 

 

 

 

Оценка      Дата проверки

 

 

Подпись преподавателя_________________

 

 

 

Контрольные работы обязательно  предъявляются преподавателю при сдаче экзаменов.

 

Крымское республиканское высшее учебное заведение

Симферопольский техникум радиоэлектроники

Студент          

(Фамилия,  имя, отчество)

 

Обучающийся в группе №     на               курсе

 

Контрольная работа №           по    Высшая математика                 

(наименование  учебной дисциплины)

 

Дата получения  «_____»__________ 20___ г.

 

Рецензент         

(Фамилия,  имя, отчество)

Содержание рецензии

 

 

Задание №1

Заданы уравнения сторон треугольника:

 

 

 

Найти:

а) координаты вершины С;

б) длину отрезка АС;

в) координаты точки N;

г) равенство высоты треугольника, опущенной из вершины В.

 

Решение

а) координаты вершины С

Для дальнейшего решения задачи найдем координаты всех вершин треугольника.

Координаты вершины А получим, решая систему уравнений сторон АС и АВ

 

Выразим x из первого уравнения и подставим его во второе

 

 

 

 

 

 

 

А(-4; 0)

 

Координаты вершины B получим, решая систему уравнений сторон AB и BC

 

Выразим x из второго уравнения и подставим его в первое

 

 

 

 

 

 

 

B(-3,6; -0,6)

 

Координаты вершины С получим, решая систему уравнений сторон AС и BC

 

Выразим x из второго уравнения и подставим его в первое

 

 

 

 

 

 

 

С(-4,8; -0,8)

б) длина отрезка АС

Длина отрезка АС находится по формуле:

 

 

 

в) координаты точки N – середины отрезка АВ

Воспользуемся формулами:

 

 

Каждая координата середины отрезка  равна полусумме соответствующих координат его концов.

Тогда абсцисса середины отрезка АВ

 

Ордината середины отрезка

 

N (3,8; -0,3)

 

г) равенство высоты треугольника, опущенной из вершины В.

Прямая, проходящая через точку Н(x; y) и перпендикулярная прямой

 имеет направляющий вектор (А; В) и, значит, представляется уравнениями:

 

 

 

Данное уравнение можно найти  и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент прямой АС.

Уравнение АС: т.е.

Найдем угловой коэффициент  k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых:

 

Подставляя вместо угловой коэффициент данной прямой, получим:

, откуда

Так как перпендикуляр проходит через точку B(-3,6; -0,6) и имеет , то будем его искать его уравнение в виде:

 

Подставляя  получим:

 

или

 

 

 

Задание №2

Найти производные функций:

 

 

 

 

Решение

 

Производная частного (функций):

 

Производная степенной функции:

 

 

Производная постоянной:

 

 

Упростим ответ:

 

 

 

 

 

 

Производная функции синус:

 

Производная степенной функции:

 

 

Производная функции синус:

 

 

 

 

 

Производная произведения:

 

Производная степенной функции:

 

Производная вычитания

 

Выполнив все действия, получим  ответ:

 

 

Задание №3

Найти экстремумы функции

 

Решение

Находим производную функции и  приравниваем ее к нулю

 

Производная постоянной

Производная степенной функции 

Производная степенной функции 

 

 

 

 

 

Полученные значения переменных наносим  на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Для первого возьмем

-2, тогда производная будет равна  24; для второго возьмем 1, тогда  производная будет -3; а для  третьего возьмем 3, тогда производная  будет 9. Проставляем соответствующие  знаки:

Видим, что при прохождении через  точку -1,41 производная меняет знак с  плюса на минус, то есть это будет  точка максимума, а при прохождении через 1,41 с минуса на плюс, соответственно – это точка минимума.

 

 

 

Задание №4

Вычислить значение дифференциала  функции  при

 

Решение

Найдем сначала выражение для  дифференциала данной функции по формуле:

 

 

 

Так как , то

 

 

 

 

 

Задание №5

Выполнить действия:

 

 

и результаты представить в показательной  форме

 

Решение

 

 

 

 

 

 

Число z в показательной форме имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

Запишем в алгебраической форме

 

 

Число z в показательной форме имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №6

Найти неопределенные интегралы:

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как 

 

Так как 

 

 

 

 

Преобразуем интеграл

 

где

Для интегрирования , будем интегрировать частями

 

 

 

Отсюда,

 

 

 

Задание №7

Вычислить:

 

 

 

Решение

 

Вычислим  первообразную (интеграл) для нашей функции (константу, возникающую при интегрировании, здесь не учитываем)

 

В теореме Ньютона-Лейбница определенный интеграл можно представить так:

 

Подставляем в данную формулу наши данные, а  именно первообразную и пределы  интегрирования:

 

 

 

Вычислим  первообразную (интеграл) для нашей  функции (константу, возникающую при интегрировании, здесь не учитываем)

 

В теореме Ньютона-Лейбница определенный интеграл можно представить так:

 

Подставляем в данную формулу наши данные, а  именно первообразную и пределы  интегрирования:

 

 

 

 

Задание №8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью Выполнить рисунок (чертеж).

 

Решение

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему  уравнений:

 

Для нахождения абсцисс точек пересечения  заданных линий решаем уравнение

 

 

 

 

 

Итак, данные линии, представляющие собой  параболу и прямую, пересекаются в точках

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляется  по формуле:

 

 

 

 

 

 

Задание №9

Решить дифференциальное уравнение:

 

 

Решение

Дифференциальное уравнение первого  порядка

 

Решим линейное уравнение

 

Представим

 

Умножим обе части на

 

Заменим

 

Применим обратное правило  для левой и правой части

 

Интегрируем обе части, учитывая х

 

 

где - произвольная константа.

Разделим обе части на

 

 

 

Задание №10

Разложить в ряд Фурье функцию:

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №11

Экзаменационные билеты пронумерованы  числами от 1 до 35. Какова вероятность того, что номер выбранного билета нечетный?

 

Решение

А – билеты, имеющие нечетный номер

n – число всех билетов

 

k – число исходов, благоприятствующих событию А.

Вероятность

 

Ответ: