Контрольная работа по "Математике"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА  по дисциплине «Математика 2»

2 семестр 2012-2013 уч. г.

              

                                                      Вариант 1

 

Задание 1. Решить систему линейных уравнений   

а) методом обратной матрицы;      б) методом Крамера.

 

Решение:

а) метод обратной матрицы

 

 

           

 

 

 

=

                 

                 

                

 

Получили матрицу:  

 

Итак, получили решение 

 

 

б) Метод Крамера

 

=

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

Задание 2. Решить систему  методом Гаусса. Найти любые два  базисных решения.

Решение:

Так как число неизвестных системы  больше числа уравнений, то система  имеет бесконечно много решений.

Решим систему методом Гаусса.

 

 

 

 

 

 

 

                           
,

 

 

Итак, общее решение имеет вид

 

 

Найдем  базисные решения

Пусть , тогда

Первое  базисное решение (частное решение) имеет вид: (5,0,-7,0,0)

 

Пусть , тогда

Второе  частное решение равно: (-2,2,16,12,0)

 

Ответ: 

(5,0,-7,0,0)

(-2,2,16,12,0)

 

Задание 3:  Заданы координаты вершин треугольника : , , .

1. Составить уравнения сторон и .
2. Найти длину стороны .
3. Найти внутренний угол (в радианах).
4. Составить уравнение высоты, опущенной из точки на сторону , найти ее длину.
5. Составить уравнение медианы, проведенной из точки .
6. Найти точку пересечения высот треугольника.
7. Составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник . Сделать чертеж.

 

Решение:

1. Составим уравнения сторон ВС и АС

Известны координаты двух точек  на данных прямых, тогда 

                     

 

2. Найдем  длину стороны АС

 

 

 

3. Найдем  внутренний угол В

 

Угол  В – угол между векторами  и

    

 

4. Составим  уравнение высоты, опущенной из точки В на сторону АС и найдем ее длину

 

По условию, ВН перпендикулярна стороне АС, значит, запишем уравнение через нормальный вектор, т.е.

 

- координаты точки В

(А,В) – координаты вектора

Итак, получаем

 

 

 

- уравнение высота ВН

 

Длины высоты ВН найдем, как расстояние от точки В до прямой АС

 

 

5. Составим  уравнении медианы, проведенной  из вершины В

По условию M – середина АC, значит

                             

М(-1,1)

 

6. Найдем  точку пересечения высот в  треугольнике

 

Составим  уравнение высоты, опущенной из вершины А, т.е. АD

 

- координаты точки А(-3,4)

(А,В) –  координаты вектора

Итак, получаем

 

- уравнение высоты АD

 

Решим систему  уравнений:

Точка пересечения  высот треугольника имеет координаты (12,5;4)

 

7. Составим  систему линейных неравенств, определяющих треугольник 

Составим  уравнения сторон треугольника

        

 

 

Сделаем чертеж.

 

 

Задание 4. Составить уравнение  линии, для каждой точки которой  расстояние ее до точки  равно расстоянию от прямой . Сделать чертеж.

 

Решение:

Обозначим произвольную точку искомой  линии  . Тогда по условию , где Р  - основание перпендикуляра из точки М  к прямой .     Р(-3,у)

Но 

.

Значит, .

Возводя в квадрат, получаем

Это каноническое уравнение параболы, вершина которой находится в точке с координатами

(-2, -2)

Сделаем чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5. Даны векторы  , , , , . Показать, что векторы , , , образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

 

Решение:

Составим  определитель D из координат векторов   и вычислим его разложением, например, по первой строке:

 

 

Так как  D ¹ 0, то векторы образуют базис

Найдем  координаты вектора  относительно базиса , т.е. числовые коэффициенты x,y,z,w разложения

 

 

или

.

В силу определения равенства векторов и определения операций сложения векторов и умножения вектора на число, когда известны координаты векторов относительно некоторого базиса, последнее векторное равенство можно записать в виде системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

 

 

Решим эту систему методом Гаусса

 

 

 

                 

 

Итак, вектор относительно базиса , имеет разложение

 

 

 

 

 

Ответ:  

.

Задание 6: Дана функция  . Найти: а) градиент функции в точке ; б) вычислить производную функции в точке по направлению вектора .

Решение:

а) Найдем градиент функции

Вычислим  градиент функции в точке А(1,2,0)

б) Найдем производную  по направлению .

Ответ: а)

          б)