Контрольная работа по "Математике"

 

ИНСТИТУТ  МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математика 3

 

 

Студент: Осипова Евгения  Владимировна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Москва 2013

 

 

 

 

                                            Контрольная работа.

 

 Вопрос  1. Из города А в город В ведут 5 дорог, и из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Решение:

Можно выбрать  m₁ = 5 - способов пути из А в В и m₂ = 3 - способа пути из В в С.  Следовательно, всего существует n = m₁ х m₂ = 5 х 3 = 15 путей из города А в город С.

Ответ: 15 дорог.

 

     Вопрос 2. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну – на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?

Решение:

Всего можно  выбрать перчатку на левую руку m₁ = 6 - способами, тогда перчаток другого размера на правую руку останется m₂ = 5.

Всего способов: n = m₁ х m₂ = 30.

Ответ: 30 способов.

 

Вопрос 3. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

Решение:

n = 5 - число девушек

m = 3 - число юношей

k = 4 - число человек в команде

Так как  в команде может быть или 1 юноша  или 2, то способов сформировать одну команду  из четырех человек, так, чтобы было 3 девушки и 1 юноша существует:

С³₅ х С¹₃ = 5! / (3! 2!) х 3! / 2!=(4 х 5) /2 х (3 / 1) = 30

Всего 30 способов.

Проверка: Во второй команде 2 юноша, поэтому:

С²₅ х С²₃ = 5! / (3! 2!) х (3! / 2!) = 30

Ответ: 30 способов.

 

 Вопрос 4. В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом к паровозу, 3 – спиной к паровозу, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?

Решение: 

Если  из 10 человек 7 садятся с учетом пожеланий, то остается три места для трех человек.

Если  номер места не имеет значения, то лицом к паровозу садится один из них.

Всего 3 способа размещений.

Если  учитывать и то, на каком из пяти мест в ряду сидит пассажир, то получим:

3 5! 5! = 43200 способа.

Ответ: 43200 способа.

 

    Вопрос 5. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов в неограниченном количестве. Сколькими способами можно купить 12 открыток?

     Решение:

Используя формулу сочетания с повторением, получаем:

 способов, т.е. существует  именно столько способов купить 12 открыток 10 видов.

Ответ: 293930 способов.

Вопрос 6. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек практически одинаковых по степени мастерства. Трое судей должны независимо  друг от друга перенумеровать их в порядке, отражающем их успехи в соревновании по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле всех возможных случаев победитель будет определен?

Решение:

Существует 10 способов для каждого из трех судей, кому отдать первое место.

Всего 10 х 10 х 10 1000 возможных вариантов.

Определим число случаев, когда победитель не определен, т.е. все три судьи  назвали разных спортсменов:

10 х 9 х  8 = 720

Значит  всего 280 случаев из 1000, когда победитель определен:

280 / 1000 = 0,28.

Ответ: 0,28 доли.

 

Вопрос 7. В урне лежат 10 жетонов с числами 1,2,3,  …..  10. Из нее, не выбирая, вынимают 3 жетона.  Во скольких случаях сумма написанных на них чисел не меньше 9?

 Решение:

3 различных жетона можно взять С³10  способами:

 С³₁₀ = 10! / (7! 3!) = (8 х 9 х 10)/(2 х 3) = 120

 Общую сумму меньше 9 дают только четыре сочетания:

1 + 2 + 3 = 6 < 9

1 + 2 + 4 = 7 < 9

1 + 2 + 5 = 8 < 9

1 + 3 + 4 = 8 < 9

Следовательно, всего (120-4) = 116 случаев, когда сумма  не меньше 9.

Ответ: в 116 случаях.

Вопрос 8. Человек имеет 6 друзей и в течение 20 дней приглашает к себе 3-х из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать?

Решение:

Выбирая по 3 друга из шести, можно составить:

= = = 20 различных компаний.

Какую из компаний в какой из 20 дней пригласить определяет число перестановок:

Р₂₀ = 20! = 2432902008176640000

Ответ: 20! = 2432902008176640000 способов.

 

Вопрос  9. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром - 38 человек, с ветчиной - 42 человека, и с сыром и с колбасой - 28 человек, и с колбасой и с ветчиной - 31 человек, и с сыром и с ветчиной - 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

    Ответ:       

Бутерброды  с колбасой взяли - 47 чел.;

бутерброды  с сыром - 38 чел.;

бутерброды  с ветчиной - 42 чел.;

бутерброды  с сыром и колбасой - 28 чел.;

бутерброды с колбасой и ветчиной - 31чел.;

бутерброды с сыром и ветчиной - 26 чел.;

бутерброды  с колбасой, сыром и ветчиной  - 25 чел.

Всего 92 человека.

25 человек  взяли бутерброды и с сыром  и с колбасой и с ветчиной.

Только с сыром и колбасой: 28-25 = 3 чел.

Только с сыром и ветчиной: 26-25 = 1 чел.

Только с колбасой и ветчиной: 31-25 = 6 чел,

Только с сыром: 38-(25+1+3) = 9 чел.

Только с колбасой: 47-(25+3+6) = 13 чел.

Только с ветчиной: 42-(25+1+3) = 10 чел.

Всего бутерброды взяли:

25+1+6+10+9+3+13 = 67 чел.

Значит пирожки взяли:

92-67 = 25 чел.

Ответ: 25 человек взяли пирожки.

 

Вопрос 10. Найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции:

F = 2 х₁ + х₂ - х₃ + х₄ - х₅ при условиях

   х₁ + х₂ + х₃ = 5

   2х₁ + х₂ + х₄ = 9

   х₁ + 2х₂ + х₅ = 7

   х₁,х₂,….х₅ ≥ 0.  

  Решение:

Из вида функции F сразу видно, что максимальной значение соответствует значениям х₃=х₅=0, так как вычитание любого положительного числа ведет к уменьшению F.

Получим:

   х₁ + х₂ = 5

   2х₁ + х₂ + х₄ = 9

   х₁ + 2х₂ = 7

   х₁,х₂, х₄ ≥ 0.   (Уравнения в систему)

   х₂ = 5 - х₁

   х₄ = 9 - 2х₁ - х₂

   х₁ + 2 (5 - х₁) = 7  (Уравнения в систему)

   х₁ - 2х₁+10= 7

   х₁ = 3

   х₂ = 5 - 3= 2

   х₄=9 - 2 х 3- 2 = 1 (Уравнения в систему)

Оптимальный план:

х₁ = 3, х₂ = 2, х₃ = 0, х₄ = 1, х₅ = 0

F=2 х 3 + 2 - 0 + 1- 0 = 9 - максимальное значение функции.

Ответ: F = 9 при х₁ = 3, х₂ = 2, х₃ = 0, х₄ = 1, х₅ = 0.