Шпаргалка по "Гидравлике"

ight:18pt">Для определения физического смысла коэффициента λ рассмотрим объём жидкости длиной l, который равномерно движется в трубе диаметром d со скоростью V.

На этот объём действуют силы давления P₁ и P₂, причём P₁ > P₂, и силы трения рассматриваемого объёма о стенки трубы, которые определяются напряжением трения на стенке трубы τ₀. Условием равномерного движения под действием сказанных сил будет следующее равенство: .

Если учесть, что  , то ,

и подставить эту величину в уравнение  сил, действующих на рассматриваемый  объём, получим: .

Сократив последнее выражение,  получим  .  Выразив из него λ, окончательно будем иметь .

Из полученного выражения следует, что коэффициент гидравлического  трения есть величина, пропорциональная отношению напряжения трения на стенке трубы к гидродинамическому  давлению, посчитанному по средней скорости потока. Приведённые выше рассуждения и полученные в результате них формулы справедливы как для ламинарного, так и для турбулентного потоков. Однако коэффициент λ не является величиной постоянной и зависит от многих факторов. Для выяснения его величины, и связанных с ним потерь энергии необходимо подробно проанализировать режимы движения жидкости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36. Эпюра касательных напряжений в потоке

Касательные напряжения. Рассмотрим правила определения величины касательныхнапряжений на примере потока жидкости в круглой цилиндрической трубе. Двумя сечениями выделим в потоке жидкости отсек длиной l.

На данный отсек жидкости будут  действовать силы давления, приложенные  к площадям жи вых сечений потока жидкости слева и справа и сила трения, направленная в сторону обратную движению жидкости. Поскольку движение жидкости установившееся, то все действующие на отсек жидкости силы должны быть уравновешены.     

     

   где:  r₀ - касательные напряжения на боковой поверхности отсека жидкости.

Касательные напряжения на периферии  отсека жидкости (у стенки трубы) будут  равны:

Очевидно, это будут максимальная величина касательных напряжений в  отсеке жидкости. Вычислим величину касательных напряжений на расстоянии r от оси трубы.

,

Таким образом, касательные напряжения по сечению трубы изменяются по линейному закону; в центре потока (на оси трубы) г=0 касательные напряжения = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37. Профиль скоростей  при ламинарном движении жидкости  в круглой трубе

При ламинарном течении эпюра распределения  скоростей V по сечению потока носит  параболический характер (рис.12,а )

Для нахождения скорости в ламинарном потоке вырежем тонкостенный цилиндрический объём с внутренним радиусом r и толщиной стенки dr.

 

Для этого слоя можно записать уравнение  в виде , - динамич. коэф. вязкости

а также

Приравняем правые части и разделим переменные:

Проинтегрировав, получим 

Постоянную интегрирования найдем из граничных условий на стенке. На стенке , а .

 

Тогда

Это уравнение параболы, полученное сечением поля скоростей и некоторой  произвольной диаметральной плоскостью. 

 Таким образом, поле скоростей  в живом сечении трубы представляет  собой параболоид вращения с  высотой.  равной максимальной (осевой) скорости υ_max.

Этот параболоид в то же время  является телом расхода при ламинарном движении в круглой цилиндрической трубе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38. Определение максимальной  скорости жидкости при движении  ламинарного потока в трубе

Для нахождения профиля скорости в  ламинарном потоке вырежем тонкостенный цилиндрический объём с внутренним радиусом r и толщиной стенки dr.

 

Для этого слоя можно записать уравнение  в виде , - динамич. коэф. вязкости

а также

Приравняем правые части и разделим переменные:

Проинтегрировав, получим 

Постоянную интегрирования найдем из граничных условий на стенке. На стенке , а .

 

Тогда

Это уравнение параболы, полученное сечением поля скоростей и некоторой  произвольной диаметральной плоскостью. 

 Для нахождения максимальной  осевой скорости υ_max положим , тогда

 

Отсюда уравнение получит несколько  другой вид 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39. Потери напора при  ламинарном режиме движения жидкости (формула Пуазейля) 

Как показывают исследования, при  ламинарном течении жидкости в круглой  трубе максимальная скорость находится  на оси трубы. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность  трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к ее оси скорости нарастают плавно. График распределения скоростей по поперечному сечению потока представляет собой параболоид вращения, а сечение параболоида осевой плоскостью - квадратичную параболу (рис.4.3).

Рис. 4.3. Схема для рассмотрения ламинарного потока

Уравнение, связывающее переменные υ и r, имеет следующий вид:  ,  где P1 и P2 - давления соответственно в сечениях 1 и 2. , Р1-Р2=hтр (потери давления на трение),  µ - динамическая вязкость жидкости, R - радиус трубы, r - текущий радиус.

У стенок трубы величина r = R, , значит скорость υ = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной 

Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой  трубе. Так как эпюра распределения  скоростей в круглой трубе  имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, то расход жидкости численно равен объему этого параболоида. Определим этот объем.

Максимальная скорость дает высоту параболоида 

Как известно из геометрии, объем параболоида  высотой h и площадью ρR² равен

а в нашем случае 

Если вместо R подставить диаметр трубы d, то формула (4.4) приобретет вид (формула Пуазейля) или

Расход в трубе можно выразить через среднюю скорость:

откуда 

Для определения потерь напора при  ламинарном течении жидкости в круглой  трубе рассмотрим участок трубы  длиной l, по которому поток течет в условиях ламинарного режима (рис.4.3).

Потеря давления в трубопроводе будет равна 

Если в формуле динамический коэффициент вязкости μ заменить через кинематический коэффициент  вязкости υ и плотность ρ ( μ = υ ρ ) и разделить обе части равенства на объемный вес жидкости γ = ρ g, то получим:

Так как левая часть полученного  равенства равна потерям напора h_пот в трубе постоянного диаметра, то окончательно это равенство примет вид:

Уравнение может быть преобразовано  в универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, которая окончательно записывается так:

где λ - коэффициент гидравлического  трения, который для ламинарного  потока вычисляется по выражению:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40. Определение средней  (расходной) скорости при движении  ламинарного потока в трубе

Как показывают исследования, при  ламинарном течении жидкости в круглой  трубе максимальная скорость находится  на оси трубы. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность  трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к ее оси скорости нарастают плавно. График распределения скоростей по поперечному сечению потока представляет собой параболоид вращения, а сечение параболоида осевой плоскостью - квадратичную параболу (рис.4.3).

Рис. 4.3. Схема для рассмотрения ламинарного потока

Уравнение, связывающее переменные υ и r, имеет следующий вид:  где P1 и P2 - давления соответственно в сечениях 1 и 2.

У стенок трубы величина r = R, , значит скорость υ = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной 

Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой  трубе. Так как эпюра распределения  скоростей в круглой трубе  имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, то расход жидкости численно равен объему этого параболоида. Определим этот объем.

Максимальная скорость дает высоту параболоида 

Как известно из геометрии, объем параболоида  высотой h и площадью ρR² равен

а в нашем случае 

Если вместо R подставить диаметр трубы d, то формула (4.4) приобретет вид формула пуазейля

Расход в трубе можно выразить через среднюю скорость: 

откуда 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41. Вывод формулы Дарси-Вейсбаха

Преобразуем  формулу Пуазейля выразив расход Q через произведение средней

скорости и площади поперечного  сечения     (7.1)

для удобства использования зависимости (7.1) при решении практических задач  преобразуем ее следующим образом: (коэффициент трения на единицу длины (коэффициент Дарси)), получим окончательно потери по длине  учитывая, что , получим .

Обозначая через  гидравлический коэффициент трения на единицу длины (коэффициент Дарси), получим окончательно, что потери по длине (7.2)

Зависимость (7.2) называется формулой Дарси-Вейсбаха и следует отметить, что для ламинарного режима течения  гидравлический коэффициент трения получен теоретическим путем.