Шпаргалка по "Гидравлике"

Как следует из вышерассмотренного уравнения расход, проходящий через  все живые сечения потока, неизменен, несмотря на то, что в каждом сечении  средняя скорость и площадь живого сечения различны.

Это уравнение называют уравнением неразрывности потока при установившемся движении.

Из уравнения получим важное соотношение т. е. средние скорости обратно пропорциональны площадям живых сечений, которым соответствуют эти средние скорости.

Уравнение неразрывности потока —  одно из основных уравнений гидродинамики. Оно выводится из уравнения неразрывности  для элементарной струйки несжимаемой  жидкости при установившемся движении: где v — местные скорости в каждом живом сечении струйки, м/с; DS — площадь живого сечения элементарной струйки, м²; D Qn— элементарный расход, м³/с

Рис.- схема демонстрирующая неразрывность  потока

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. Средняя (расходная)  скорость

Средняя скорость потока в  данном сечении - воображаемая, фиктивная скорость потока, одинаковая для всех точек данного живого сечения, с которой через живое сечение проходил бы расход, равный фактическому.

Только в точках живых сечений, отстоящих от свободной поверхности примерно на 0,6 глубины и на 0,223r₀ от стенки в трубопроводе, местные скорости действительно равны средней скорости. В других же точках местные скорости больше или меньше средних.

При неравномерном движении средняя  скорость в различных живых сечениях по длине потока различна. При равномерном движении средняя скорость по длине потока постоянна во всех живых сечениях.

Если обратиться к формуле расхода  потока ( ) и заменить в ней местные скорости u в каждой элементарной струйке средней скоростью, то получим:

 

Последние три формулы очень  важны и весьма часто используются в гидравлических расчетах.

24. Классификация потоков жидкости

Типы потоков жидкости

Совокупность элементарных струек жидкости представляет собой поток жидкости. Различают следующие типы потоков (или типы движений жидкости).

Напорные потоки (напорные движения) -  это такие, когда поток ограничен твердыми стенками со всех сторон, при этом в любой точке потока давление отличается от атмосферного обычно в большую сторону, но может быть и меньше атмосферного. Движение в этом случае происходит за счёт напора, создаваемого, например, насосом или водонапорной башней. Давление вдоль напорного потока обычно переменное. Такое движение имеет место во всех гидроприводах технологического оборудования, водопроводах, отопительных системах и т.п.

Безнапорные потоки (безнапорные движения) отличаются тем, что поток имеет свободную поверхность, находящуюся под атмосферным давлением. Безнапорное движение происходит под действием сил тяжести самого потока жидкости. Давление в таких потоках примерно одинаково и отличается от атмосферного только за счет глубины потока. Примером такого движения может быть течение воды в реке, канале, ручье.

Свободная струя не имеет твёрдых стенок. Движение происходит под действием сил инерции и веса жидкости. Давление в таком потоке практически равно атмосферному. Пример свободной струи – вытекание жидкости из шланга, крана и т.п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25. Вывод дифференциального  уравнения движения жидкости (уравнение  движения Эйлера).

Пусть имеем бесконечно малый параллелепипед с гранями dxdydz в невязкой жидкости с плотностью ρ. Он заполнен жидкостью и движется как составная часть потока. Какие силы действуют на выделенный объект? Это силы массы и силы поверхностных давлений, которые действуют на dV= dxdydz со стороны жидкости, в которой находится выделенный dV. Как силы массы пропорциональны массе, так и поверхностные силы пропорциональны площадям, на которые оказывается давление. Эти силы направлены к граням вовнутрь по нормали. Определим математическое выражение этих сил.

Назовем, грани параллелепипеда: 1,2 — перпендикулярные к оси ОХ, и параллельные оси ОY, 3,4 — перпендикулярные к оси OY и параллельные оси ОХ, 5,6 — перпендикулярные к оси OZ и параллельные оси ОХ

Теперь нужно определить, какая  сила приложена к центру масс параллелепипеда. Для этого рассматриваем произвольную точку из (x + dx, y, z): в этой точке давление есть величина, равная  

У массовых сил две составляющие: 1) где ρdxdydz— масса жидкости с плотностью в данном объеме dV, dUx/dt — ускорение центра масс (его проекция наось Х);

2) Fxρdxdydz— проекция на ось  Х массовой силы, которая действуют  на dVdxdydz, Fx — соответствующая составляющая плотности распределения массовой силы.

Исходим из того, что имеем сплошную среду, следовательно, давление в ней  является непрерывной функцией относительно этой среды:

Теперь рассмотрим из грани 2 любые  две точки, таким образом разность давлений между ними будет

Здесь мы предположили, что в первой точке давление — ρ; во второй, отстоящей  от первой на расстоянии dх – (ρ + дρ/дx dх). Поскольку в рассматриваемых точках координаты y, z одинаковы, то х-вая проекция суммарного давления может быть представлена в виде

Сила, приложенная к центру массы  параллелепипеда, которая и заставляет эту жидкость совершать движение, есть сумма найденных сил, т.е.

Получили уравнение движения параллелепипеда  с dV₁ по направлению оси Х

Делим на массу ρdxdydz:

 

Полученная система уравнений  есть искомое уравнение движения невязкой жидкости — уравнение Эйлера.

К трем уравнениям добавляются еще  два уравнения, поскольку неизвестных  пять, и решается система из пяти уравнений с пятью неизвестными: одним из двух дополнительных уравнений является уравнение неразрывности. Еще одним уравнением является уравнение состояния. Например, для несжимаемой жидкости уравнением состояния может быть условие ρ = const. Уравнение состояния должно быть выбрано таким образом, чтобы оно содержало хотя бы одно из пяти неизвестных.

Уравнение Эйлера для разных состояний  имеет разные формы записи. Поскольку  само уравнение получено для общего случая, то рассмотрим несколько случаев:

1) движение неустановившееся: в  этом случае ускорение выделенного  параллелепипеда с dV имеет вид (для х-вой компоненты)

Поскольку , имеем

2) жидкость в покое. Следовательно,  Ux = Uy = Uz = 0. В таком случае уравнение Эйлера превращается в уравнение равномерной жидкости. Это уравнение также дифференциальноеи является системой из трех уравнений;

3) жидкость невязкая. Для такой  жидкости уравнение движения  имеет вид где Fl — проекция плотности распределения сил массы на направление, по которому направлена касательная к линии тока; dU/dt — ускорение частицы. Уравнение можно преобразовать и привести в вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.  Интеграл Бернулли (для линии тока)

Рассмотрим элементарную струйку  идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два  сечения 1-1 и 2-2. Площади живых сечений потока обозначим dω₁ и dω_2. Положение центров тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0 - 0 характеризуется величинами z₁ и z₂. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения P₁, P₂ и u_1, u₂ соответственно.

Будем считать, что движение струйки  жидкости происходит только под действием  силы давления (внутреннее трение в  жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического и действует  по нормали внутрь рассматриваемого объёма.

За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1'-1' на расстояние, равное u₁dt, а частицы из 2-2 в 2' - 2' на расстояние u₂dt.

Согласно теореме кинетической энергии приращение энергии тела (в данном случае выделенного объёма жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил.

Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых  живых сечениях струйки 1-1 и 2-2, а также силы тяжести. Тогда работа сил давления в сечении 1-1 будет положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением скорости струйки. Она будет равна произведению силы p₁dω₁ на путь u₁dt: .

Работа сил давления в сечении 2-2 будет отрицательной, т.к. направление силы противоположно направлению скорости. Её значение     .

Полная работа, выполненная силами давления, примет вид:.

Работа сил тяжести равна  изменению потенциальной энергии  положения выделенного объёма жидкости при перемещении из сечения 1-1 в сечение 2-2. С учётом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объёмы будут равны и, следовательно, будут равны их веса dG:.

При перетекании от сечения 1-1 в сечение 2-2 центр тяжести выделенного объёма переместится на разность высот (z₁ – z₂) и работа, произведённая силами тяжести, составит:.

Проанализируем теперь изменение  кинетической энергии рассматриваемого объёма элементарной струйки жидкости.

Приращение кинетической энергии  выделенного объёма за dt равно разности его кинетических энергий в сечениях 1-1 и 2-2. Это приращение составит.

Приравнивая приращение кинетической энергии сумме работ сил тяжести  и сил давления, придём к виду:.

Разделив обе части на вес dG, т.е. приведя уравнение к единичному весу, получим.

После сокращения и преобразований придём к искомому виду

Если учесть, что сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, можно прийти к выводу, что сумма приведённых выше величин описывающих движение жидкости под действием сил давления и сил тяжести есть величина постоянная для элементарной струйки, т.е.

Таким образом, снова получено то же (ранее полученное интегрированием уравнений Эйлера)  уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.

 

 

 

27. Три формы записи  уравнения Бернулли

 – 1-ая форма уравнения  Бернулли в напорах;