Шпаргалка по "Гидравлике"

3е: Капельная жидкость способна воспринять произвольные сжимающие усилия (отрицательные нормальные напряжения) без разрыва сплошности. Однако опыт показывает, что жидкость практически терпит разрыв при растяжении, т. е.: в ней могут проявляться лишь нормальные сжимающие усилия, называемые давлениями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Вывод дифференциального  уравнения равновесия жидкости (уравнение  равновесия Эйлера).

Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости иначе называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Они получены для общего случая относительного покоя жидкости. Возможны следующие варианты относительного покоя.

Первый вариант соответствует абсолютному покою или равномерному движению сосуда с жидкостью. Такой вариант рассматривался при выводе основного уравнения гидростатики. Второй вариант – вращение сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью ω вокруг центральной оси. Несмотря на то, что вся масса жидкости вращается вместе с сосудом,  частицы жидкости друг относительно друга не перемещаются, следовательно, весь объём жидкости, как и в первом случае, представляет собой как бы твёрдое тело. Давление в каждой точке жидкости не меняется во времени и зависит только от координат. По этим причинам жидкость подпадает под определение покоящейся. Третий вариант аналогичен второму, только вращение осуществляется вокруг произвольно расположенной вертикальной оси. Во втором и третьем случае свободная поверхность жидкости принимает новую форму, соответствующую новому равновесному положению жидкости. В четвёртом варианте сосуд с жидкостью движется прямолинейно и равноускоренно. Такой случай проявляется, например, в процессе разгона или остановки автоцистерны с жидкостью. В этом случае жидкость занимает новое равновесное положение, свободная поверхность приобретает наклонное положение, которое сохраняется до изменения ускорения. Частицы жидкости друг относительно друга находятся в покое, и давление зависит только от координат. Во всех перечисленных случаях на жидкость действуют, во-первых, силы веса, во-вторых, силы инерции, в-третьих, силы давления.

Рассмотрим в произвольной системе  координат X,Y,Z произвольную точку A. Вблизи этой точки выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллелепипеда, грани которого для простоты математических выражений параллельны координатным плоскостям. Заметим следующее: 1)давление является функцией координат (при этом в любой точке оно по всем направлениям одинаково), 2)при переходе к точкам Ax( Ay, Az) меняется только одна координата на бесконечно малую величину dx( dy, dz), поэтому функция получает приращение только по одной координате, 3)этоприращение равно частному дифференциалу по соответствующей координате     

Таким образом, разность давлений, действующих  на противоположные грани параллелепипеда  (внутрь рассматриваемого объёма), перпендикулярные  соответствующим осям, будет иметь вид:

 

Исходя из этого, определим разности сил, вызванных давлением, в проекции на оси координат 

 

Кроме сил давления на параллелепипед будут действовать инерционные  силы  в общем случае определяемые массой и ускорениями X, Y, Z на соответствующие оси

 

Учитывая, что параллелепипед находится  в покое, сумма сил, действующих  на него, равна 0:

 

Разделив систему уравнений  сил на массу рассматриваемого параллелепипеда, получим систему уравнений Эйлера:

 

На практике, чтобы избавиться от частных производных, используют одно уравнение, заменяющее систему. Для  этого первое уравнение умножают на dx, второе на dy, третье на dz и складывают их: 

В этой формуле сумма в скобках  является полным дифференциалом давления, который в результате оказывается  равным

Полученное уравнение показывает, как изменяется давление при изменении  координат внутри покоящейся жидкости для общего случая относительного покоя. Это уравнение впервые получил  Леонард Эйлер в 1755

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Основной закон гидростатики

Рассмотрим произвольную точку А, находящуюся на глубине h_a. Вблизи этой точки выделим элементарную площадку dS. Если жидкость покоится, то и т. А находится в равновесии, что означает уравновешенность сил, действующих на площадку.

A – произвольная точка в жидкости, h_a – глубина т. А, P₀  - давление внешней среды, r - плотность жидкости, P_a – давление в т. А, dS – элементарная площадка. Сверху на площадку действует внешнее давление P₀ (в случае, если свободная поверхность граничит с атмосферой, то ) и вес столба жидкости. Снизу – давление в т. А. Уравнение сил, действующих на площадку, в этих условиях примет вид: _.

Разделив это выражение на dS и учтя, что т. А выбрана произвольно, получим выражение для P в любой точке покоящейся жидкости:_; где h – глубина жидкости, на которой определяется давление P.

Полученное выражение носит  название основного уравнения гидростатики. Во-первых, из основного уравнения гидростатики следует, что для любой точки жидкости в состав величины давления входит P₀ - давление, которое приложено к граничной поверхности жидкости извне. Эта составляющая одинакова для любой точки жидкости. Поэтому из основного уравнения гидростатики следует закон Паскаля, который гласит: давление, приложенное к граничной поверхности покоящейся жидкости, передаётся всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Следует подчеркнуть, что давление во всех точках не одинаково. Одинакова лишь та часть (составляющая), которая приложена к граничной поверхности  жидкости. Закон Паскаля – основной закон, на основе которого работает объёмный гидропривод, применяемый в абсолютном большинстве гидросистем технологических машин. Вторым следствием является тот факт, что на равной глубине в покоящейся жидкости давление одинаково. В результате можно говорить о поверхностях равного давления. Для жидкости, находящейся в абсолютном покое или равномерно движущейся, эти поверхности – горизонтальные плоскости. В других случаях относительного покоя, которые будут рассмотрены ниже, поверхности равного давления могут иметь другую форму или не быть горизонтальными. Существование поверхностей равного давления позволяет измерять давление в любой точке жидкости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Понятие о гидростатическом  давлении

Рассмотрим основное понятие гидростатики — гидростатическое давление. На рис. представлен некоторый произвольный объем покоящейся жидкости. Разделим этот   объем   плоскостью ВС на две части — I и II. В плоскости ВС выделим площадь ω с центром в точке А. Давление со стороны части I объема будет передаваться на поверхность ВС с силой Р.

Гидростатическим давлением Р называется сила давления жидкости на единицу площади ω, и его можно представить формулой

Гидростатическое давление имеет  размерность в системе СИ Паскаль (Па). Оно обладает тремя свойствами. Первое свойство. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к поверхности, на которую оно действует. Второе свойство. Гидростатическое давление в точке действует одинаково по всем направлениям и может быть выражено соотношением Px=Py=Pz=Pn Третье свойство. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве и может быть записано следующим образом: P=f (x, y, z)  Вычисление немного усложняется, когда надо узнать давление, производимое на не горизонтальную часть стенки сосуда вследствие тяжести налитой на него жидкости. Здесь причиной давления становится вес столбов жидкости, имеющих основанием каждую бесконечно малую частицу рассматриваемой поверхности, а высотой вертикальное расстояние каждой такой частицы от свободной поверхности жидкости. Расстояния эти будут постоянны только для горизонтальных частей стенок и для бесконечно узких горизонтальных полосок, взятых на боковых стенках; к ним одним можно прилагать непосредственно формулу Г. давления. Для боковых же стенок надо суммировать, по правилам интегрального исчисления, давления на все горизонтальные элементы их поверхности; в результате получается общее правило: давление тяжелой жидкости на всякую плоскую стенку равняется весу столба этой жидкости, имеющему основанием площадь этой стенки, а высотой вертикальное расстояние её центра тяжести от свободной поверхности жидкости. Поэтому давление на дно сосуда будет зависеть только от величины поверхности этого дна, от высоты уровня жидкости в него налитой и от её плотности, от формы же сосуда оно зависеть не будет. Это положение известно под именем «гидростатического парадокса» и было разъяснено ещё Паскалем. Действительно, оно кажется на первый взгляд неверным, потому что в сосудах с равными днами, наполненных до равной высоты одной и той же жидкостью, вес её будет очень различный, если формы различны. Но вычисление и опыт (сделанный в первый раз Паскалем) показывают, что в сосуде, расширяющемся кверху, вес излишка жидкости поддерживается боковыми стенками и передается весам через их посредство, не действуя на дно, а в сосуде, суживающемся кверху, Г. давление на боковые стенки действует снизу вверх и облегчает весы ровно на столько, сколько весило бы недостающее количество жидкости. На основании сказанного выше можно Г. давление измерять также высотой столба ртути или воды, способного производить то же давление на единицу поверхности: так давление в 1 фн. на кв. дм. равно давлению столба воды в 25 дм высотой, так как фн. есть вес 25 куб. дм. воды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Понятие об абсолютном  и избыточном (пьезометрическом  и вакуумметрическом) давлениях

Полное или абсолютное гидростатическое давление в любой точке покоящейся жидкости определяется по основному  уравнению гидростатики: p = p0 + ρgh или p = p0 + γh (1) , где p - абсолютное (полное) гидростатическое давление; p0 - абсолютное давление на свободной поверхности жидкости; γ - удельный (объемный) вес жидкости; ρ - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения; h - глубина погружения точки под уровень жидкости.

Исходя из формулы (1), можно сказать, что расчет абсолютного гидростатического  давления сводится к определению  абсолютного давления на поверхности  жидкости p0 в соответствующих единицах измерения (удельный вес γ или  плотность ρ , а также глубина погружения точки h задаются исходными данными).

Абсолютное давление - это давление, отсчитанное от абсолютного нуля (полного вакуума), подобно тому, как отсчитывается температура по шкале Кельвина. В технике промышленных измерений давления отсчет ведут от относительного нуля - атмосферного давления. Давление, выше атмосферного измеряют манометрами, а называют избыточным или манометрическим. Давление, ниже атмосферного (вакуум), измеряют вакуумметрами. На рис. 1 можно проследить пределы изменения и взаимосвязь абсолютного давления pабс , избыточного pизб и вакуума pвак

Абсолютное давление при наличии  вакуума (формула 2) называют также остаточным давлением. В открытых сосудах абсолютное давление на поверхности жидкости равно  атмосферному давлению.

Применяемые в гидротехнической практике единицы измерения давления и  их взаимосвязь следующие: 1 кгс/см2 = 1 ат (техническая атмосфера) = 10000 кгс/м2 = 98100 Н/м2 ≈ 0,1 МПа = 1бар

Давление может быть выражено высотой  столба жидкости над рассматриваемой  точкой. Высота столба жидкости определяется по зависимости:

Из формулы  следует, что одно и то же давление в зависимости  от рода жидкости может быть создано  столбом различной высоты. Так, техническая  атмосфера (1 ат) соответствует 10 м. вод. ст. (при удельном весе воды γ = 1000 кгс/м3) = 735,5 мм. рт.ст. (при удельном весе ртути 13600 кгс/м3).

 Абсолютным называется давление, определённое с учетом атмосферного  давления. Избыточное давление - это давление сверх атмосферного, определенное без учета атмосферного. ;                  (2.3)