Контрольная работа по "Эконометрике"

Доверительный интервал для коэффициента β₀: (β₀ – ₎

(β₀ – _{) = (17,6 – 2,7055·2,228; 17,6 + 2,7055·2,228) =}

= (11,5722; 23,6278)

Таким образом, на уровне значимости 0,05 коэффициент  β₀ будет находиться в пределах от 11,5722 до 23,6278.

 

 

Задача 24. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для обратной функции у=1/(β₀+β₁x+ε). Известно, что: =1.5;  =10.4;.

2.2. Для  временного ряда y_t проверить значимость парной регрессии с использованием F-критерия, полагая тренд линейным при уровне значимости α=0,05. Известно, что: =96; =1225.7; =55; =385; =407,9.

 

1) Параметры  для обратной функции могут  быть найдены по формулам:

 

 

 

 

 

Таким образом, обратная функция будет иметь  следующий вид: Y = 1 / (0.28154–0.0143·X)

 

2) Для  определения значимости уравнения  линейного тренда по F-критерию необходимо определить коэффициент детерминации.

Рассчитаем  сначала коэффициент корреляции по формуле:

 

 

 

 

 

 

Тогда коэффициент  детерминации: R² = r²_ty = (–0,349)² = 0.1218

Определим критерий Фишера:

Критическое значение критерия Фишера: F_кр. (0,05; 1; 8) = 5,3176

F < Fкр. (0,05; 1; 8), следовательно, уравнение тренда следует признать статистически незначимым.

 

Задача 25. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для степенной функции у=β₀ *ε. Известно, что:=20.9; =20.8; =46.1;  =47.2; =46.4.

2.2. Для  временного ряда y_t найти эмпирическое уравнение регрессии (тренд), полагая тренд линейным и проинтерпретировать полученный результат. Известно, что: =96; =1225.7; =55; =385; =407,9.

 

Решение.

 

1) Оценки  коэффициентов для степенной  функции  могут быть найдены  по следующим формулам:

 

 

 

Таким образом, уравнение степенной функции  будет иметь вид: y = 0,63763 · x^1,2104

 

2) Рассчитаем  коэффициенты уравнения линейного  тренда.

 

 

 

 

Уравнение тренда имеет вид: Y = 17,6 – 1,456t

Его можно  интерпретировать следующим образом:

• в нулевом периоде прибыль компании Y была равна 17,6;
• ежегодно прибыль компании Y уменьшалась в среднем на 1,456.

 

Задача 26. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для экспоненциальной функции  у=*ε. Известно, что: =20.8;  =218.7;.

2.2. Для  временного ряда y_t найти коэффициент автокорреляции (для лага τ=2). Известно, что: =57,9; =497,7; =79,5; =1089,4; =663,8.

 

Решение.

 

1) Параметры  экспоненциальной регрессии можно  найти по следующим формулам:

 

 

 

Таким образом, уравнение экспоненциальной функции  имеет вид:

 

2) Коэффициент  автокорреляции второго порядка  рассчитывается по следующей  формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент автокорреляции первого порядка  равен 0,57623.

 

Задача 27. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Найти  с надежностью 0.95 интервальную  оценку остаточной дисперсии  и пояснить её смысл. Известно, что:=92;  =1084.2; =96;  =1225.7; =1142.5.

2.2. Для  временного ряда y_t найти эмпирическое уравнение регрессии (тренда) полагая, что тренд описывается показательной функцией у=*ε и проинтерпретировать полученный результат. Известно, что: =20,81; =47,23; =55; =385; =102,39.

 

Решение.

1) Истинное  значение дисперсии  и её выборочная оценка S² соответствуют следующему правилу:

 

Рассчитаем  остаточную дисперсию. Необходимо сначала  определить вид уравнения регрессии. Если она линейна, тогда параметры  определяются по формулам:

 

 

 

 

 

Уравнение регрессии имеет вид: Y = –0,4318 + 1,09 X

Определим дисперсию остатков:

yi
20,1	20,50	0,163
18	16,80	1,448
10,3	13,20	8,400
12,5	10,80	2,892
6	5,78	0,047
6,8	5,89	0,823
2,8	3,38	0,342
3	5,24	5,010
8,5	7,53	0,944
8	6,87	1,268
Сумма	–	21,34

 

 

Определим квантили распределения χ2 на уровне 0,05 и 0,95 при числе степеней свободы, равном 8: χ²_0,05 = 2,733; χ²_0,95 = 15,507

Тогда доверительный  интервал для остаточной дисперсии:

σ² Є (26,675 / 15,507; 26,675 / 2,733) = (1,7202; 9,76)

Таким образом, с вероятностью 0,95 остаточная дисперсия  для генеральной совокупности будет  находиться в пределах от 1,7202 до 9,76.

 

2) Для  показательной функции параметры  уравнения тренда могут быть  рассчитаны следующим образом: 

 

 

 

 

 

Уравнение показательной функции имеет  вид:

 

Задача 28. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Оценить  значимость коэффициента β₁ линейного уравнения регрессии Y по Х с использованием t критерия при 5% уровне значимости. Известно, что: =92;  =1084.2; =96;  =1225.7; =1142.5.

2.2. Для  временного ряда y_t оценить тесноту и направление связи между переменными Y и t с помощью коэффициента корреляции, полагая тренд линейным. Известно, что: =96; =1225.7; =55; =385; =407,9.

 

Решение.

1) Определим  уравнение регрессии Y по Х: 

 

 

Уравнение регрессии имеет вид: Y = –0,4318 + 1,09 X

Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента . Определим остаточное среднеквадратическое отклонение и среднеквадратическое отклонение для Х:

– среднеквадратическое отклонение остатков: S_ост =

– среднеквадратическое отклонение Х: S_x =

Проводим  промежуточные расчёты:

xi		yi
19,2	100,00	<span class="dash0421_0435_0442_043a_0430_0020_0442_0430_0431_043b_0438_0446_044b12__Char" style=" font