Контрольная работа по "Эконометрике"

Задача1. В следующей выборке представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

 

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. С помощью  теста ранговой корреляции Спирмена оценить гетероскедастичность линейного уравнения регрессии Y на Х при 5% уровне значимости. Известно, что: =253,5.

2.2.. Для  временного ряда y_t оценить значимость коэффициента регрессии β₁ с использованием t-критерия, полагая тренд линейным при уровне значимости α=0,05. Известно, что: =760; =55750; =78; =650; =4070.

 

Решение.

 

1) Оценка  гетероскедастичности с помощью  теста ранговой корреляции Спирмена  заключается в расчёте коэффициента  ранговой корреляции по формуле: 

Рассчитаем  его: r_x,e = 1 – (6 · 253.5) / (12³ – 12) = 0.1136

 

Проверим  значимость коэффициента:

tr_x,e =

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 10) = 2,228

tr_x,e < t_кр. (0,05; 10), следовательно, гипотеза о равенстве коэффициента нулю принимается. Гетероскедастичность в модели отсутствует.

 

2) Рассчитаем  коэффициенты уравнения линейного  тренда.

 

 

 

 

Уравнение тренда имеет вид: Y = 424,375 – 44,635t

Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента . Определим остаточное среднеквадратическое отклонение и среднеквадратическое отклонение для Х:

– среднеквадратическое отклонение остатков: S_ост =

– среднеквадратическое отклонение Х: S_t =

Проводим  промежуточные расчёты:

ti		yi
10	400	110	42,04	4618,61
20	100	75	-18,80	8798,35
15	225	100	11,62	7811,02
25	25	80	-49,22	16697,58
30	0	60	-79,64	19498,97
35	25	55	-110,06	27244,23
40	100	40	-140,48	32572,26
35	25	80	-110,06	36122,15
25	25	60	-49,22	11928,81
40	100	30	-140,48	29062,70
45	225	40	-170,90	44477,73
40	100	30	-140,48	29062,70
∑ ti =		∑yi =
360	1350	760	-955,664	267895,11

 

S_ост =

S_t =

 

Стандартная ошибка коэффициента β1:

 

 

t-статистика коэффициена β1:

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 10) = 2,228

 

|t_β1| > t_кр. (0,05; 10), следовательно, коэффициент β₁ на уровне значимости 0,05 следует признать статистически значимым.

 

 

Задача 2. Дана выборка (табл.): - выпуск продукции;  - ввод в действие основных фондов (%); - удельный вес рабочих высокой квалификации (%). Требуется: 1) записать матрицы и ; 2) построить линейную регрессионную модель и проверить правильность вычисления вектора оценок ; 3) оценить значимость коэффициентов регрессии; 4) вычислить коэффициент детерминации и проверить его значимость.

 

	5	7	8	7	10
	4	3	4	5	7
	10	8	7	3	2

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

1) Матрица  Х: , матрица Y:

2) Матрица  вектора оценок В рассчитывается по формуле:

Выполнив  произведение матриц, получим: b = (8,05; 0.266; –0.314)^T

 

Проверим  правильность вычисления:

 

 

 

Произведение  XB совпадает с полученным в исходных данных. Отсюда можно предположить, что расчёт вектора оценок был верным.

 

3) Оценим  значимость коэффициентов регрессии. 

 

Определим остаточное среднеквадратическое отклонение: S_ост =

 

yi
5	5,982	0,965	5,76
7	6,344	0,430	0,16
8	6,925	1,155	0,36
7	8,450	2,103	0,16
10	9,298	0,493	6,76
∑yi =
37	37	5,145	13,2

 

S_ост =

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии  рассчитываются по следующим формулам:

Для коэффициента b1: m_b1 = 1,604 · √0,343 = 0,9394

Для коэффициента b2: m_b2 = 1,604 · √0,069 = 0,4213

 

t-статистики коэффициентов:

tb1 = b₁ / m_b1 = 0.266 / 0.9394 = 0.283

tb2 = b₂ / m_b2 = –0.314 / 0.4213 = 0.7453

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 2) = 4,303

t-статистики меньше критического значения, следовательно, коэффициенты уравнения незначимы.

 

4) Определим коэффициент детерминации:

 

Проверим  значимость коэффициента детерминации по критерию Фишера:

 

 

Критическое значение критерия Фишера: F_кр. (0,05; 2; 2) = 19

F < Fкр. (0,05; 2; 2), следовательно, коэффициент детерминации и уравнение в целом следует признать статистически незначимыми.

 

Задача 3. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

 

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для степенной функции у=β₀ *ε. Известно, что:=160.0; =39.8; =48.8; =134.5; =200.3.

2.2. Для  временного ряда y_t выявить на уровне значимости 0.05 наличие автокорреляции остатков с использованием критерия Дарбина-Уотсона. Известно, что: =2324;       =5434.

 

Решение.

1) Степенная регрессия имеет вид:    .

Логарифмирование  данного уравнения по основанию  е приводит к линейному уравнению  вида:    .

Соответственно  оценки параметров и могут быть найдены методом наименьших квадратов. Произведем следующие замены переменных:  ,  ,  . Уравнение в новых переменных будет иметь вид:

 

Оценки  коэффициентов при исходных данных могут быть найдены по следующим  формулам:

 

 

 

Таким образом, уравнение степенной функции  будет иметь вид: y = 0.4412 · x^1.431727

2) Рассчитаем  значение критерия Дарбина-Уотсона: 

d = 5434 / 2324 = 2,3382

4 – d = 1,6618

На уровне значимости 0,05 критические значения критерия Дарбина-Уотсона равны:

d_l = 0.9, d_u = 1.33; 4 – d_l = 3.1; 4 – d_u = 2.67

Выполняется условие: d_u < d < 4 – d_u, следовательно, гипотеза о независимости остатков не отвергается, т.е. автокорреляция отсутствует.

 

 

Задача 4. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Применить  тест Голдфелда-Квандта для оценки гетероскедастичности линейного уравнения регрессии Y на Х при 5% уровне значимости. Известно, что: =272,8 и =920.

2.2. Для  временного ряда y_t найти коэффициент автокорреляции (для лага τ=1). Известно, что: =650; =43650; =730; =54850; =46250.

 

Решение.

 

1) Рассчитаем  F-статистику для теста Голдфелда-Квандта: F = S₂ / S₁ = 920 / 272,8 = 3,3724

Критическое значение критерия Фишера при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы  n₁ – m = n₂ – m: F_кр. (0,05; 4; 4) = 6,388

F < F_кр. (0,05; 4; 4), следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

 

2) Определим  коэффициент автокорреляции первого  порядка для временного ряда  y_t

Коэффициент автокорреляции определяется также, как  и обычный коэффициент корреляции, только вычисляется корреляция между  различными уровнями временного ряда. Коэффициент автокорреляции первого  порядка рассчитывается по следующей  формуле: