Контрольная работа по "Эконометрике"

S_t =

 

Определим стандартную ошибку коэффициента β₀

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 10) = 2,228

Доверительный интервал для коэффициента β₀: (β₀ – ₎

(β₀ – _{) = (424,375 – 29,93·2,228; 424,375 + 29,93·2,228) =}

= (357,69; 456,533)

Таким образом, с вероятностью 0,95 коэффициент β₀ будет находиться в пределах от 357,69 до 456,533.

 

 

 

Задача 9. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для обратной функции у=1/(β₀+β₁x+ε). Известно, что: =0.226;  =7.602; =360; =12150.

2.2. Для  временного ряда y_t оценить значимость коэффициента регрессии β₀ с использованием t-критерия, полагая тренд линейным при уровне значимости α=0,05. Известно, что: =760; =55750; =78; =650; =4070.

 

1) Рассчитаем параметры обратной функции Y = 1 / (β₀+ β₁x)

Для нахождения уравнения линейной регрессии используется метод наименьших квадратов. С использованием данного метода коэффициенты уравнения  регрессии могут быть найдены  по следующим формулам:

 

 

Для обратной регрессии необходимо заменить на , а на

Тогда получим:

 

 

Таким образом, обратная функция будет иметь  следующий вид: Y = 1 / (0.149137–0.017·X)

 

2) Найдём  уравнение тренда вида y = + t

 

 

Уравнение тренда имеет вид: Y = 424,375 – 44,635t

Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента . Определим остаточное среднеквадратическое отклонение и среднеквадратическое отклонение для Х:

– среднеквадратическое отклонение остатков: S_ост =

– среднеквадратическое отклонение Х: S_x =

Проводим  промежуточные расчёты:

ti		yi
10	400	110	42,04	4618,61
20	100	75	-18,80	8798,35
15	225	100	11,62	7811,02
25	25	80	-49,22	16697,58
30	0	60	-79,64	19498,97
35	25	55	-110,06	27244,23
40	100	40	-140,48	32572,26
35	25	80	-110,06	36122,15
25	25	60	-49,22	11928,81
40	100	30	-140,48	29062,70
45	225	40	-170,90	44477,73
40	100	30	-140,48	29062,70
∑ ti =		∑yi =
360	1350	760	-955,664	267895,11

 

S_ост =

S_t =

 

Определим стандартную ошибку коэффициента β₀

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 10) = 2,228

Доверительный интервал для коэффициента β₀: (β₀ – ₎

(β₀ – _{) = (424,375 – 29,93·2,228; 424,375 + 29,93·2,228) =}

= (357,69; 456,533)

Таким образом, с вероятностью 0,95 коэффициент β₀ будет находиться в пределах от 357,69 до 456,533.

 

 

 

 

 

 

 

Задача 10. Дана таблица:

	1	2	3	4	5	6
	2	1	8	6	4	10
	1	0,99	- 0,9	- 0,99	- 1	0,9

Здесь: - номер наблюдения; - значение независимой переменной; - значение остатка.

Требуется: 1) оценить наличие гетероскедастичности графически; 2) оценить наличие гетероскедастичности с помощью теста Спирмена.

 

Решение.

 

1) Оценим  наличие гетероскедастичности графически. Построим график, где по оси  абсцисс отложим остатки, а  по оси ординат – значения  Х. 

 

 

По виду графика остатков не замечается какой  либо взаимосвязи между значениями остатков и значениями Х. Отсюда можно  сделать вывод, что гетероскедастичность отсутствует.

 

2) Проверим  наличие гетероскедастичности, используя  тест Спирмена.

Рассчитаем  ранги остатков и ранги значений Х, а затем выражение:

d_i² = (rang (x) – rang (e))²

 

x	e	rang (x)	rang (e)	di2
2	1	2	6	16
1	0,99	1	5	16
8	-0,9	5	3	4
6	-0,99	4	2	4
4	-1	3	1	4
10	0,9	6	4	4

 

d_i² = 16 +16 +4 + 4 + 4 + 4 = 48

Оценка  гетероскедастичности с помощью  теста ранговой корреляции Спирмена заключается в расчёте коэффициента ранговой корреляции по формуле:

Рассчитаем  его: r_x,e = 1 – (6 · 48) / (6³ – 6) = – 0,37143

 

Проверим  значимость коэффициента:

tr_x,e =

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 4) = 2,776445

|tr_x,e| < t_кр. (0,05; 4), следовательно, гипотеза о равенстве коэффициента нулю принимается. Гетероскедастичность в модели отсутствует.

 

Задача 11. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Оценить  на уровне значимости α=0.05 значимость  линейного уравнения регрессии  Y на Х с использованием F критерия и пояснить его смысл. Известно, что:=360; =12150; =760; =55750; =19925.

2.2. Для  временного ряда y_t найти эмпирическое уравнение регрессии (тренд), полагая тренд линейным и проинтерпретировать полученный результат. Известно, что: =760; =55750; =78; =650; =4070.

 

Решение.

 

1) Рассчитаем  линейный коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции рассчитывается по следующей  формуле:

 

 

 

 

 

Коэффициент детерминации: R² = r²_xy = (–0.8966)² = 0,8038

Рассчитаем F-статистику по формуле:

 

Критическое значение критерия Фишера при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы  числителя и знаменателя соответственно 1 и n–2, равно: F_кр. (0,05;1;10) = 4,9646

F > Fкр. (0,05;1;10), следовательно, уравнение регрессии признаётся статистически незначимым.

 

2) Найдём  уравнение тренда вида y = + t, используя метод наименьших квадратов.

Коэффициенты  определяются по следующим формулам:

 

 

 

 

 

Таким образом, уравнение тренда имеет вид: Y = -44.635 + 424.375x

Уравнение тренда может быть интерпретировано следующим образо: ежегодно количество блага, приобретаемое домохозяйствами, увеличивалось на 424,375.

 

Задача 12. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Оценить  95%-ный доверительный интервал для среднего значения количества блага при цене 42 для линейного уравнения регрессии Y на Х и пояснить его смысл. Известно, что:=360; =12150; =760; =55750; =19925.

2.2. Для  временного ряда y_t найти коэффициент автокорреляции (для лага τ=2). Известно, что: =575; =38025; =690; =53250; =42300.

 

Решение.

 

1) Найдём  уравнение регрессии Y на Х

Определим коэффициенты и :

 

 

 

 

Уравнение регрессии имеет вид: Y = 127.222 – 2.13 X

Рассчитаем  точечный прогноз для Х = 42: Y_p (42) = 127.222 – 2.13 · 42 = 37,762