Контрольная работа по "Эконометрике"

 
 
 

ЗАДАНИЕ 1.

Установить  соответствие

Тип регрессионной модели	Название  функции
Линейная	Ŷ =  a0 + а1х
Параболическая	Ŷ =  a0 + а1х + а2х2
Степенная	Ŷ =  a0 ха1
Логарифмическая	Ŷ =  a0 + а1 ln х
Гиперболическая	Ŷ =  a0 + а1 / х
Показательная	Ŷ =  a0 а1х
Логистическая	Ŷ =  a0 /1 + еа1 +а2х

 

ЗАДАНИЕ 2.

     По  данным таблицы построить однофакторное  уравнение линейной регрессии; вычислить  значение Ŷ и сравнить их с эмпирическими  данными; дать экономическую интерпретацию  коэффициента регрессии; найти коэффициент корреляции и коэффициент эластичности. 

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	4	5	6	7	7	8	8	9	10	9

 

РЕШЕНИЕ: 

     В таблице данные двух переменных Х  и У могут быть упорядоченными или нет, предполагается что между ними имеется зависимость.

     Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости.

     По  расположению эмпирических точек можно  предполагать наличие линейной регрессионной  зависимости между переменными  Х и У. Поэтому уравнение регрессии  будем искать в виде линейного  уравнения.

Ŷ =  a₀ + а₁х

Получим систему нормальных уравнений для  определения параметров a₀ и  а₁

      n a₀ + a₁ x_i = y_i

     a₀ x_i + a₁ x²_i = x_i y_i

     n = 10

     По  данным таблицы вычислим все необходимые суммы:

      x_i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

      y_i = 4+5+6+7+7+8+8+9+10+9 = 73

      x² = 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10² = 385

      x_i y_i = 4+10+18+28+35+48+56+72+90+90 = 451

 

      Составим систему уравнений

     10а₀ + 55а₁ = 73       55

     55а₀ + 385а₁ = 451    10

 

     550а₀ + 3025а₁ = 4015

     550а₀ + 3850а₁ = 4510

     Из  первого уравнения вычитаем второе

     -825а₁ = -495

     а₁ = 0,6 тогда а₀ = 4

     Уравнение линейной регрессии

Ŷ =  4 + 0,6х

     Из  уравнения видно, что при увеличении переменной Х на 1 единицу переменная У увеличивается в среднем  на 0,6.

     Далее подставляем полученные данные в  таблицу.

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi	4	5	6	7	7	8	8	9	10	9
Ŷi	4,6	5,2	5,8	6,4	7	7,6	8,2	8,8	9,4	10
Ŷi– уi	0,6	0,2	- 0,2	-0,6	0	-0,4	0,2	-0,2	-0,6	1

 

     Коэффициент корреляции (r)

     Находим по формуле r =

                      n x_iy_i – x_i y_i

         n x²_i – ( x_i)²       n y²_i – ( y_i)²

      у²_i = 4²+5²+6²+7²+7²+8²+8²+9²+10²+9² = 565

   r = 10* 451 – 55 *73 / √10* 385 – (55)²   * √ 10* 565 – (73)² = 495 / 514,6 ≈ 0,96

    T.к. r ≈ 0,9 близкое к единице, зависимость сильная и линейная, т.е. связь между переменными достаточно тесная

     Коэффициент эластичности (Э)

Э = а_{1 *} ( x_i  / y_i)

     Э = 0,6 * (55 / 73) = 0,45

     При росте переменной Х на 1% переменная У увеличивается на 0,45 %.

 

ЗАДАНИЕ 3.

     По  данным таблицы построить однофакторное  уравнение гиперболической регрессии, вычислить значение Ŷ и сравнить их с эмпирическими данными.

Х	1	2	4	8	16
У	22	12	10	9	5

 

РЕШЕНИЕ:

     В таблице данные двух переменных Х и У могут быть упорядоченными или нет, предполагается что между ними имеется зависимость.

     Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости.

     

     По  расположению эмпирических точек можно  предполагать наличие гиперболической  регрессионной зависимости между переменными Х и У. Поэтому уравнение регрессии будем искать в виде гиперболического уравнения.

Ŷ =  a₀ + а₁ / х

    Получим нормальную систему уравнений для  определения гиперболической регрессии:

       n a₀ + a₁ = y_i                    n = 5

     a₀ + a₁ =

    Вычисляем необходимые суммы:

    

    

    

    

     Составляем систему уравнений:

     5а₀ + 1,9а₁ = 58              0,38

     1,9а₀ + 1,33а₁ = 31,94

 

     1,9а₀ + 0,722а₁ = 22,04

     1,9а₀ + 1,33а₁ = 31,94

     Из  первого уравнения вычитаем второе

     - 0,6а₁ = -9,9

     а₁ = 16,5 

     а₀ = (58 – (1,9 * 16,5)) / 5 = 5,33

     Уравнение гиперболической регрессии

Ŷ =  5,33 + 16,5 / х

 

     Далее подставляем полученные данные в  таблицу.

xi	1	2	4	8	16
yi	22	12	10	9	5
Ŷi	21,83	13,58	9,45	7,39	6,36
Ŷi– уi	-0,17	1,58	-0,55	-1,61	1,36

 
 

ЗАДАНИЕ 4.

    По  данным таблицы построить двухфакторное  уравнение линейной регрессии; вычислить значение Ŷ  и сравнить их с эмпирическими данными.

X1	90	110	120	130	180	200	280
X2	1	1	2	2	3	3	4
Y	25	28	31	32	36	42	55

 

РЕШЕНИЕ:

     В таблице  между тремя переменными Х₁, Х₂ и У имеется зависимость изобразим ее графически точками координатной плоскости.

    

     По  расположению эмпирических точек можно  предполагать наличие линейной двухфакторной  регрессионной зависимости между  переменными Х₁, Х₂ и У. Поэтому уравнение регрессии будем искать в виде линейного двухфакторного уравнения.

Ŷ =  a₀ + а₁х₁ + а₂х₂

     Получим систему нормальных уравнений для  определения параметров a₀ и  а₁, а₂

      n a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂  = y_i                        n = 7

     a₀ x₁ + a₁ x²₁ + а₂ х₁х₂ = x_i y_i

     а₀ х₂ + а₁ х₁х₂ + а₂ х²₂ = х₂у

     По  данным таблицы вычислим все необходимые суммы:

      x₁ = 90+110+120+130+180+200+280=1110

      х₂ = 1+1+2+2+3+3+4=16

      у = 25+28+31+32+36+42+55= 249

      х²₁ = 90²+110²+120²+130²+180²+200²+280² = 202300

      x²₂ = 1²+1²+ 2²+2²+3²+3²+4²=44

      х₁х₂ = 90+110+240+260+540+600+1120= 2960

      x₁y = 2250+3080+3720+4160+6480+8400+15400= 43490

      х₂у = 25+28+62+64+108+126+220= 633

      Составим систему  уравнений

    7а₀ +  1110а₁ + 16а₂ = 249

    1110а₀ + 20300а₁ + 2960а₂ = 43490

    16а₀ + 2960а₁ + 44а₂ = 633

    Вычисляем значения определителя  по формуле:

         a₁    b₁    c₁   

∆ =   a₂    b₂    c₂      = a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ – a₃b₂c₁ – a₂b₁c₃ – a₁b₃c₂