Контрольная работа по "Эконометрике"

Контрольная работа по эконометрике

 

Целью контрольной работы является формирование у студентов навыков анализа экономических объектов и процессов на основе применения методов эконометрики и построения эконометрических моделей.

Задачи  контрольной работы:

• усвоить методы эконометрического  моделирования  и  практической реализации с использованием пакетов прикладных программ;
• научиться содержательно интерпретировать формальные результаты.

 

Номер варианта студента определяется по следующей таблице

Начальная буква фамилии	Вариант задания
А, Е, Л	1
Р, Х, Э	2
Б, Ж, М	3
С, Ц, Ю	4
В, З, Н	5
Т, Ч	6
Г, И, О	7
У, Ш	8
Д, К, П	9
Ф, Щ, Я	10

 

Исходные данные

Имеются данные о сменной добычи угля Y (тонн) на одного рабочего и мощности пласта Х (в метрах).

Х=15,2

У=4,4

Задание 
 
Исследовать зависимость сменной добычи угля на одного рабочего от мощности пласта путем построения уравнения парной линейной регрессии 
 
. 
 
Для исходных данных, приведенных в задаче, требуется 

1.  
   Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2.  
   Найти оценки   и   параметров модели парной линейной регрессии   и  . Записать полученное уравнение регрессии.
3.  
   Проверить значимость оценок коэффициентов   и   с надежностью 0,95 с помощью t-статистики Стьюдента и сделать выводы о значимости этих оценок.
4.  
   Определить интервальные оценки коэффициентов   и   с надежностью 0,95.
5.  
   Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F-статистики Фишера и сделать выводы о значимости уравнения регрессии.
6.  
   Определить коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy. Сделать выводы о качестве уравнения регрессии.
7.  
   Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации и сделайте выводы о качестве уравнения регрессии.
8.  
   Рассчитать прогнозное значение результата  , если значение фактора X будет больше на 15% его среднего уровня  .
9.  
   Дать экономическую интерпретацию коэффициентов парной регрессии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: 
 

1.  
   Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

 
Поле корреляции изображено на рис.1. Оно строится следующим  образом: по горизонтальной оси откладывается  фактор х, а по вертикальной фактор у. 
  
8 
 
7 
 
6 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
 
0 
 
 
Выдвинем гипотезу о линейной форме связи.

 

2.  
   Найти оценки   и   параметров модели парной линейной регрессии   и  . Записать полученное уравнение регрессии.

 
 
Линейная регрессия сводится к  нахождению уравнения вида:   
 
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основа на методе наименьших квадратов, который позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических)   минимальна: 
 
 
 
Строим систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b: 
 
 
 
Решая данную систему найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться следующими формулами для a и b. 
 
 
 
 
 
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Знак при коэффициенте регрессии b показывает направление связи: при   – связь прямая, а при   – связь обратная. 
 
Составим таблицу для расчетов необходимых значений (таблица 1) 
_x²=x² – x² = 426,606 - 20,392² = 10,786 
 
? _y²=y² – y² = 40,448 – 6,292² = 0,862 
 
 
 
 
= 130,428 – 6,292 * 20,392 = 0,198 
 
10,772 
 = 6,292 – 0,198 * 20,392 = 2,263 
 
Уравнение линейной регрессии будет иметь вид: 
 
 = 2,263 + 0,198 * x

3.  
   Проверить значимость оценок коэффициентов   и   с надежностью 0,95 с помощью t-статистики Стьюдента и сделать выводы о значимости этих оценок.

 
 
Процедура оценки значимости коэффициентов  осуществляется следующим образом: 
 
Рассчитывается значение t-статистики для коэффициента регрессии по формуле   или  . 
 
 
 
 
=  ^{0,1 * 5,298*426,606} = 1,321 
 
^129,429 
 
 
 
 
= ^{0,1 * 5,298} = 0,064 
 
^129,429 
 = 2,263 / 1,321 = 1,7127 
 
 = 0,198 / 0,064 = 3,0878 
 

1.  
   Уровень доверия q = 0,95
2.  
   Уровень значимости g = 1 – q = 1 – 0,95 = 0,05
3.  
   Число степеней свободы n – 2 = 12 – 2 = 10
4.  
   t_кр = 2,2281
5.  
   Сравнение расчетных и табличных величин критерия Стьюдента показывает, что

 
t < t_кр ; 
 
t  > t_кр 
 
Это значит, что коэффициент   статистически незначим, а коэффициент   статистически значим.

4.  
   Определить интервальные оценки коэффициентов   и   с надежностью 0,95.
1.  
   Уровень доверия q = 0,95.
2.  
   Уровень значимости g = 1 – q = 1 – 0,95 – 0,05.
3.  
   Число степеней свободы n – 2 = 12 – 2 = 10.
4.  
   По таблицам распределения Стьюдента t_кр = 2,2281
5.  
   Доверительные интервалы для параметров  .

 
:  , Y: ( -0,68 ; 5,206) 
 
:  . Y: (0,055 ; 0,34) 
 
Точность коэффициента   высокая, а коэффициента – низкая. 
 

5.  
   Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F-статистики Фишера и сделать выводы о значимости уравнения регрессии.

 
 
Уравнение значимо, если есть достаточно высокая вероятность того, что существует хотя бы один коэффициент, отличный от нуля. 
 
Имеются альтернативные гипотезы:  
 
H₀: b=0 и  
 
H₁: 0Úb0. 
 
Если принимается гипотеза H₀, то уравнение статистически незначимо. В противном случае говорят, что уравнение статистически значимо. 
 
Процедура оценки значимости уравнения парной регрессии осуществляется следующим образом: 

1.  
   . = 0,064² = 0,004096
2.  
   Уровень доверия q = 0,95.
3.  
   Уровень значимости g = 1 – 0,95 = 0,05.
4.  
   Число степеней свободы n – 2 = 12 – 2 = 10.
5.  
   По таблицам распределения Фишера F_кр = 4,496.
6.  
   0,004096 < 4,496

 
F < F_кр - это значит, что уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо.

 

6.  
   Определить коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy. Сделать выводы о качестве уравнения регрессии.

 
 
. = 1 –  5,298 / 10,349 = 0,488 
 
Полученная величина коэффициента детерминации свидетельствует о том, что необъясненная ошибка составляет менее 44,8 процента от общей ошибки, качество подгонки среднее. 
 
 
 
r _xy = (yx – y * x) / (S_x * S_y) = (130,428 – 6,292*20,392) / (3,282*0,927) = 0.700353

7. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации и сделайте выводы о качестве уравнения регрессии.

 
 
С редняя ошибка аппроксимации эмпирических данных теоретическим уровнем регрессии равна 
 
 
 
 
= 100 / 6,292 ^5,298 = 10,56 % 
 
¹² 
 
Качество подгонки уравнения хорошее.

8. Рассчитать прогнозное значение результата  , если значение фактора X будет больше на 15% его среднего уровня  .

 
 
 
Прогнозируемую величину определяем из равенства 
 
 = 2,263 + 0,198 * x=2,263+0,198*20,392*1,15=6,895933 
 

9. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов парной регрессии.

 
 
Уравнение линейной регрессии будет  иметь вид: 
 
 
 
Если   > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. 
 
При увеличении мощности пласта на 1 руб. сменная добыча угля на одного рабочего увеличится на 0,198% 
 
 

№	X	Y	xy				( у - ŷ )	( у - ŷ )2	( X-  )	(  X- )2	( y - y )	( y - y)2
1	22,7	5,4	122,58	515,29	29,16	6,748	-1,348	1,816	2,308	5,328	-0,892	0,795
2	25,8	7,2	185,76	665,64	51,84	7,360	-0,160	0,026	5,408	29,250	0,908	0,825
3	20,8	7,6	158,08	432,64	57,76	6,372	1,228	1,507	0,408	0,167	1,308	1,712
4	15,2	4,4	66,88	231,04	19,36	5,266	-0,866	0,750	-5,192	26,953	-1,892	3,578
5	25,4	7,5	190,5	645,16	56,25	7,281	0,219	0,048	5,008	25,083	1,208	1,460
6	19,4	6,7	129,98	376,36	44,89	6,096	0,604	0,365	-0,992	0,983	0,408	0,167
7	18,2	6,2	112,84	331,24	38,44	5,859	0,341	0,116	-2,192	4,803	-0,092	0,008
8	21	6,4	134,4	441	40,96	6,412	-0,012	0,000	0,608	0,370	0,108	0,012
9	16,4	5,5	90,2	268,96	30,25	5,503	-0,003	0,000	-3,992	15,933	-0,792	0,627
10	23,5	6,9	162,15	552,25	47,61	6,906	-0,006	0,000	3,108	9,662	0,608	0,370
11	18,8	5,4	101,52	353,44	29,16	5,977	-0,577	0,333	-1,592	2,533	-0,892	0,795
12	17,5	6,3	110,25	306,25	39,69	5,720	0,580	0,336	-2,892	8,362	0,008	0,000
ИТ	244,7	75,5	1565,14	5119,27	485,37	75,5	0,000	5,298	0,000	129,429	0,000	10,349
Ср зн	20,392	6,292	130,428	426,606	40,448
	3,282	0,927
	10,786	0,862	ВЫВОД ИТОГОВ                                                                       Регрессионная статистика                               Множественный R   0,698630925                               R-квадрат   0,48808517                               Нормированный R-квадрат   0,436893687                               Стандартная ошибка   0,727866189                               Наблюдения   12                                                                   Дисперсионный анализ                                         df   SS   MS   F   Значимость F               Регрессия   1   5,05127477   5,05127477   9,53449951   0,011486978               Остаток   10   5,297891897   0,52978919                       Итого   11   10,34916667                                                                           Коэффициенты   Стандартная ошибка   t-статистика   P-Значение   Нижние 95%   Верхние 95%   Нижние 95,0%   Верхние 95,0%   Y-пересечение   2,263224415   1,321444305   1,712689976   0,117547349   -0,681136968   5,207585798   -0,681136968   5,207585798   Переменная X 1   0,197553359   0,063978708   3,087798489   0,011486978   0,054999914   0,340106805   0,054999914   0,340106805