Контрольная работа по "Эконометрике"

Содержание

 

     1. Расчет показателей тесноты связи между двумя экономическими показателями из статистических данных.

     2. Определение и графическое изображение регрессионной зависимости между рассматриваемыми показателями по методу выбранных точек и МНК линейная модель и любая на выбор (квадратичная, логарифмическая). Оценка адекватности построенной модели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Расчет показателей тесноты связи между двумя экономическими показателями из статистических данных.

 

Таблица 1. Исходные статистические данные

№п/п	Квартал, год	Чистая прибыль, млн. долл. США	ARPU, доллары США	Средний ежемесячный трафик на одного абонента	Общее число абонентов  на конец периода, млн. чел.
1	4 кв, 2002	85,2	21,2	175	6,64
2	1 кв, 2003	80,2	18,5	148	9,42
3	2 кв, 2003	128,5	18,7	162	11,34
4	3 кв, 2003	155,7	18,8	159	13,89
5	4 кв, 2003	152,7	16,3	140	16,72
6	1 кв, 2004	207,8	14,1	147	19,19
7	2 кв, 2004	267,5	14,1	160	22,78
8	3 кв, 2004	338,3	14,0	168	26,63
9	4 кв, 2004	209,1	11,2	164	34,22
10	1 кв, 2005	232,5	9,1	138	38,69
11	2 кв, 2005	303,9	9,3	134	44,07
12	3 кв, 2005	347,4	8,9	130	50,36
13	4 кв, 2005	242,6	7,3	123	58,19
14	1 кв, 2006	184,4	6,2	118	61,05
15	2 кв, 2006	294,7	7,1	128	64,10
16	3 кв, 2006	486,3	7,8	135	67,59
17	4 кв, 2006	280,3	8,3	133	72,86
18	1 кв, 2007	448,6	8,2	134	74,16
19	2 кв, 2007	507,9	9,2	151	74,67
20	3 кв, 2007	654,7	10,0	167	77,97
	сумма	5608,3	238,3	2914	844,54
	среднее	280,42	11,92	145,7	42,23

 

 

 

Рисунок 1

 

Построение описательной экономической модели.

Данная работа будет посвящена  анализу связи между количеством  абонентов в сети, средней ежемесячной  выручкой от продажи услуг в расчете  на одного абонента (ARPU) и чистой прибылью оператора связи на конец отчетного  периода.

Исходя из предположения, строим эконометрическую модель, которая относится к классу факторных статических моделей:

 

y=f(x₁, x₂)

 

где x₁ – количество абонентов в сети (объясняющая переменная)

x₂ – средняя ежемесячная выручка от продажи услуг в расчете на одного абонента (ARPU) (объясняющая переменная)

y – чистая прибыль (зависимая переменная)

Чтобы убедиться в том, что выбор объясняющих переменных оправдан, оценим связь между признаками количественно, для этого заполним матрицу корреляций:

 

Таблица 2. Матрица корреляций между исходными статистическими признаками

	x1	x2	y
x1	1	-0,97	0,72
x2	-0,97	1	-0,71
y	0,72	-0,71	1

 

Анализируя матрицу корреляций, можем сделать вывод о наличии  сильной положительной связи  между количеством абонентов  и чистой прибылью оператора. В то же время также существует сильная  отрицательная связь ARPU и чистой прибылью.

Для дальнейшего исследования модифицируем модель к виду парной регрессии: y=f(x₁).

Для выбора функциональной формы модели проанализируем корреляционное поле:

 

Рисунок 2. Корреляционное поле (x₁ – кол-во абонентов в сети, млн. чел.; y – чистая прибыль оператора

 

 

Визуальный анализ показывает, что для построения модели вполне подойдет степенная функция:

         

 

Для дальнейшего исследования приведем наше уравнение к линейному  виду. То есть:

 

,

 

где .

Таким образом, все дальнейшие исследования будем проводить с  этим уравнением.

Оценка параметров модели.

Проведем оценку параметров модели при помощи различных способов.

Метод средних.

Предположим, что изменение  чистой прибыли обусловлено только изменением количества абонентов (т.е. α₀ = 0). Тогда оценка a₁ и a₂ неизвестного параметра α₁ и α₂ определится по формулам:

 

 

Тогда модель принимает вид: y=4,7985×x^1,35881+e.

Метод выбранных точек.

Проанализируем корреляционное поле и выберем точки, которые  ближе всех лежат в предполагаемой прямой линии, описывающей модель. Это  будут точки 4 кв. 2004 г. (209,1; 34,22) и 2 кв. 2007 г. (507,9; 74,67).

Рассчитаем параметры  модели:

 

 

 

уравнение регрессии выглядит следующим образом:

Метод наименьших квадратов.

Для применения этого метода составим вспомогательную таблицу:

 

Таблица 3

№ п/п	Квартал, год	Чистая прибыль, млн. долл. США y	Общее число абонентов  на конец периода, млн. чел. x	x2	xy
1	4 кв, 2002	4,445001	1,893112	3,583873	8,414885
2	1 кв, 2003	4,384524	2,242835	5,030309	9,833764
3	2 кв, 2003	4,855929	2,428336	5,896816	11,791827
4	3 кв, 2003	5,047931	2,631169	6,92305	13,28196
5	4 кв, 2003	5,028475	2,816606	7,933269	14,163233
6	1 кв, 2004	5,336576	2,954389	8,728414	15,766321
7	2 кв, 2004	5,58912	3,125883	9,771145	17,470935
8	3 кв, 2004	5,823933	3,282038	10,771773	19,114369
9	4 кв, 2004	5,342813	3,53281	12,48075	18,875143
10	1 кв, 2005	5,44889	3,655581	13,363272	19,918859
11	2 кв, 2005	5,716699	3,785779	14,332123	21,642159
12	3 кв, 2005	5,850477	3,919197	15,360105	22,929172
13	4 кв, 2005	5,491414	4,063714	16,513771	22,315536
14	1 кв, 2006	5,217107	4,111693	16,906019	21,451142
15	2 кв, 2006	5,685958	4,160444	17,309294	23,65611
16	3 кв, 2006	6,186826	4,21346	17,75325	26,067944
17	4 кв, 2006	5,63586	4,28854	18,39158	24,16961
18	1 кв, 2007	6,106132	4,306225	18,543574	26,294378
19	2 кв, 2007	6,230285	4,313078	18,602642	26,871705
20	3 кв, 2007	6,484177	4,356324	18,977559	28,247176
	сумма	109,908127	70,081213	257,172588	392,276228
	среднее	5,495406	3,504061	12,858629	19,613811

 

Составим систему для  расчета значений параметров на основе следующей системы уравнений:

 

 

Решив эту систему, получаем значения

a₁ = 31,766

a₂ = 0,5833

Линия регрессии описывается  уравнением:

 

.

 

Таблица 4. Уравнения регрессий, полученные при помощи разных методов

№п/п	Метод расчета	Уравнение регрессии
1.	Метод средних
2.	Метод выбранных точек
3.	Метод наименьших квадратов

 

Покажем на графике различие между полученными линиями регрессии:

 

Рисунок 3. Линии регрессии, полученные при помощи различных методов

теснота корреляция регрессионный зависимость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         2. Определение и графическое изображение регрессионной зависимости между рассматриваемыми показателями по методу выбранных точек и МНК линейная модель и любая на выбор (квадратичная, логарифмическая). Оценка адекватности построенной модели

 

Проверка качества построенной  модели.

Выполним оценку качества поэтапно.

Оценим адекватность модели в целом, для каждой из выбранных  моделей. Так как выбранная нами модель является нелинейной, то приведем исследуемые модели к линейному  виду.

Таблица 5. Уравнения регрессий, приведенных к линейному виду

№п/п	Метод расчета	Уравнение регрессии
1.	Метод средних
2.	Метод выбранных точек
3.	Метод наименьших квадратов

 

Таблица 6. Предварительные расчеты для вычисления дисперсий случайных отклонений

№ п/п	x1	y				e2
			МС	МВТ	МНК	МС	МВТ	МНК
1	1,89	4,45	4,1404	3,4780	4,5627	0,0928	0,9352	0,0138
2	2,24	4,38	4,6156	3,8756	4,7666	0,0534	0,2590	0,1460
3	2,43	4,86	4,8676	4,0866	4,8748	0,0001	0,5919	0,0004
4	2,63	5,05	5,1432	4,3172	4,9932	0,0091	0,5340	0,0030
5	2,82	5,03	5,3952	4,5281	5,1013	0,1345	0,2504	0,0053
6	2,95	5,34	5,5824	4,6847	5,1817	0,0604	0,4249	0,0240
7	3,13	5,59	5,8154	4,8797	5,2817	0,0512	0,5032	0,0945
8	3,28	5,82	6,0276	5,0573	5,3728	0,0415	0,5877	0,2035
9	3,53	5,34	6,3684	5,3425	5,5191	1,0518	0,0000	0,0311
10	3,66	5,45	6,5352	5,4821	5,5907	1,1801	0,0011	0,0201
11	3,79	5,72	6,7121	5,6301	5,6666	0,9909	0,0075	0,0025
12	3,92	5,85	6,8934	5,7818	5,7445	1,0877	0,0047	0,0112
13	4,06	5,49	7,0898	5,9461	5,8288	2,5548	0,2068	0,1138
14	4,11	5,22	7,1550	6,0007	5,8568	3,7553	0,6140	0,4091
15	4,16	5,69	7,2212	6,0561	5,8852	2,3570	0,1370	0,0397
16	4,21	6,19	7,2932	6,1164	5,9161	1,2242	0,0050	0,0733
17	4,29	5,64	7,3953	6,2018	5,9599	3,0955	0,3203	0,1050
18	4,31	6,11	7,4193	6,2219	5,9702	1,7244	0,0134	0,0185
19	4,31	6,23	7,4286	6,2297	5,9742	1,4360	0,0000	0,0656
20	4,36	6,48	7,4874	6,2789	5,9994	1,0064	0,0421	0,2350
сум.	70,08	109,93	126,5863	106,1953	110,0463	21,9071	5,4382	1,6154
ср.	3,5	5,5	6,3293	5,3098	5,5023	1,0954	0,2719	0,0808

 

Примечание:

МС – метод средних

МВТ – метод выбранных  точек

МНК – метод наименьших квадратов

На основе таблицы для  каждой модели рассчитаем значение дисперсий  случайного остатка

 

,

 

и значения коэффициента детерминации

 

.

 

 

 

 

 

 

Результат запишем в таблицу:

 

Таблица 7. Оценка адекватности моделей парной регрессии

№п/п	Метод расчета	Дисперсия случайного остатка (s2e)	Коэффициент детерминации (R2)
1.	Метод средних	1,2171	-2,6455
2.	Метод выбранных точек	0,3021	0,095
3.	Метод наименьших квадратов	0,0897	0,7312

 

Как видно из таблицы, наилучшее  качество имеет модель, построенная  по методу наименьших квадратов.

Следующие этапы оценки качества проведем только для этой модели.

Для нее расчетное значение F-критерия равно:

 

,

а соответствующее критическое  значение – F_0,05;1;18 = 4,41. Поскольку расчетное значение больше критического, то модель признается статистически значимой.

Вычислим дисперсии оценок коэффициентов регрессии. Для этого воспользуемся формулами:

 

 

Стандартные ошибки коэффициентов  регрессии будут равны:

Оценим статистическую значимость коэффициентов регрессии. Для этого рассчитаем t-статистику для каждого коэффициента:

 

Сравним с критическими значениями, взятыми из таблицы (http://chemstat.com.ru/node/17):

 

Таблица 8. Критические значения t-статистики

№п/п	α (уровень значимости)
1.	0,1	1.7341
2.	0,05	2.1009
3.	0,01	2.8784