Контрольная работа по "Эконометрике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Мая 2013 в 18:11, контрольная работа

Описание работы

Задание 1
1.Составить уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2.Составить уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.
3.Вычислить коэффициент корреляции и оценить полученное уравнение регрессии.
4.Найти оценки параметров .
5.Найти параметры нормального распределения для статистик и .
6.Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости α = 0,05.
7.Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.

Файлы: 1 файл

контрольная эконометрика 1500.doc

— 185.50 Кб (Скачать файл)

Задания контрольной  работы

 

Задание 1

  1. Составить уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
  2. Составить уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.
  3. Вычислить коэффициент корреляции и оценить полученное уравнение регрессии.
  4. Найти оценки параметров .
  5. Найти параметры нормального распределения для статистик и .
  6. Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости α = 0,05.
  7. Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.

 

Вариант 4

 

Имеются данные по десяти заводам одной отрасли  промышленности об уровнях энерговооруженности  труда Х (тыс. кВт/ч) и об уровне производительности труда одного рабочего в год Y (тыс. шт. изд.):

 

X

9,4

6,0

6,1

7,2

6,8

9,4

10,5

11,4

11,5

12,1

Y

5

2

7

4

6

5

7

8

9

8


 

Решение:

Оценочное уравнение  регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

 Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

 Система нормальных уравнений.

 

x

y

x 2

y 2

x ∙ y

yx

(y-y cp) 2

(y-yx)2

(x-x p) 2

9.4

5

88.36

25

47

6.33

1.21

1.77

0.13

6

2

36

4

12

4.15

16.81

4.62

9.24

6.1

7

37.21

49

42.7

4.21

0.81

7.76

8.64

7.2

4

51.84

16

28.8

4.92

4.41

0.85

3.39

6.8

6

46.24

36

40.8

4.66

0.01

1.79

5.02

9.4

5

88.36

25

47

6.33

1.21

1.77

0.13

10.5

7

110.25

49

73.5

7.04

0.81

0

2.13

11.4

8

129.96

64

91.2

7.61

3.61

0.15

5.57

11.50

9

132.25

81

103.5

7.68

8.41

1.75

6.05

12.1

8

146.41

64

96.8

8.06

3.61

0

9.36

90.4

61

866.88

413

583.3

61

40.9

20.46

49.66


 

 

Для наших данных система  уравнений имеет вид

Из первого уравнения  выражаем а и подставим во второе уравнение

Получаем b = 0.64, a = 0.3

Уравнение регрессии:

y = 0.64 x + 0.3

Средние значения

 Дисперсия

 Среднеквадратическое отклонение

 Коэффициент корреляции

 Связь между признаком Y фактором X  сильная и прямая

Коэффициент детерминации

R 2= 0.71 2 = 0.5

 т.е. в 50% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии – средняя. Остальные 50% изменений – влияние неучтенных факторов.

 

Находим оценки параметров коэффициентов регрессии.

- стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

- стандартное отклонение случайной величины b.

Sa = 0.2269 - стандартное отклонение случайной величины a.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения  регрессии

1) t-статистика для нормального распределения

 > 1,86

 Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается.

< 1,86

Статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается.

 Доверительный интервал  для коэффициентов уравнения  регрессии

 Определим доверительные  интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(a - t a S a; a + t a S a)

(0.2194;1.0636)

(b - t b S b; b + t b S b)

(-3.6293;4.2308)

Значимость общего уравнения  регрессии.

Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

 Табличное значение критерия  со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fkp = 5.32

Поскольку F > Fkp, то коэффициент  детерминации статистически значим

 

Решаем матричным  методом

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор   получается из выражения:

s = (XTX)-1XTY

 Матрица X

1

9.4

1

6

1

6.1

1

7.2

1

6.8

1

9.4

1

10.5

1

11.4

1

11.50

1

12.1


 Матрица Y

5

2

7

4

6

5

7

8

9

8


 Матрица XT

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

9.4

6

6.1

7.2

6.8

9.4

10.5

11.4

11.50

12.1


 Умножаем матрицы,  (XTX)

 В матрице,  (XTX) число 10, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X

 Умножаем матрицы,  (XTY)

 Находим определитель det(XTX)T = 496.64

 Находим обратную  матрицу (XTX)-1

 Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = 0.3007 + 0.6415X

 

 

Задание 2

 

  1. Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b1x+ b2x+ ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
  2. Найти оценки параметров а, b1, b2, б².
  3. Найти коэффициент детерминации и оценить уравнение регрессивной связи.
  4. Оценить статистическую зависимость между переменными.

 

Вариант 4

 

По предприятиям отрасли получены следующие результаты анализа зависимости объёма выпуска продукции Y (млн руб.) от численности занятых на предприятии Х1 (тыс. чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов Х2 (млн руб.):

 

№ п/п

Y

Х1

Х2

1

1,2

2,0

0,5

2

1,4

2,1

0,6

3

2,0

3,0

0,8

4

1,8

2,5

0,4

5

1,6

2,4

0,5


 

 

Решение:

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор   получается из выражения: s = (XTX)-1XTY

Матрица X

1

2.0

0.5

1

2.1

0.6

1

3.0

0.8

1

2.5

0.4

1

2.4

0.5


Матрица Y

1.2

1.4

2.0

1.8

1.6


Матрица XT

1

1

1

1

1

2.0

2.1

3.0

2.5

2.4

0.5

0.6

0.8

0.4

0.5


Умножаем матрицы,  (XTX)

В матрице,  (XTX) число 5, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы,  (XTY)

 Находим определитель det(XTX)T = 0.19

 Находим обратную  матрицу (XTX)-1

 Вектор оценок коэффициентов  регрессии равен

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = -0.2496 + 0.8803X 1-0.4701X 2

Несмещенная ошибка e = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

-0.08

0.08

-0.02

0.04

-0.03


se2 = (Y - X*s)T(Y - X*s)

 Несмещенная оценка  дисперсии равна

 Оценка среднеквадратичного отклонения равна

 

 Найдем оценку ковариационной  матрицы вектора k = a*(XTX)-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали.

По таблице Стьюдента  находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;a) = (2;0.05) = 2.92

1) t-статистика

< 2,92

 Статистическая значимость  коэффициента регрессии b0 не подтверждается

< 2,92

 Статистическая значимость  коэффициента регрессии b1 не подтверждается

< 2,92

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 не подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(bi - t i S i; bi + t i S i)

b 0: (-3.095;2.5959)

b 1: (-0.5671;2.3278)

b 2: (-4.2277;3.2875)

2) F-статистика. Критерий  Фишера

Fkp = 19.2

Поскольку F < Fkp, то коэффициент  детерминации статистически не значим и уравнение регрессии статистически  ненадежно

 

Оценим статистическую значимость между переменными xi

Число наблюдений n = 5. Число независимых  переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (5 х 4). Матрица ХT Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.

Матрица составленная из Y и X

 

1

1.2

2

0.5

1

1.4

2.1

0.6

1

2

3

0.8

1

1.8

2.5

0.4

1

1.6

2.4

0.5


 

 

 

Транспонированная матрица.

 

1

1

1

1

1

1.2

1.4

2

1.8

1.6

2

2.1

3

2.5

2.4

0.5

0.6

0.8

0.4

0.5

Информация о работе Контрольная работа по "Эконометрике"