Контрольная работа по "Эконометрике"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

 

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«Пензенский государственный университет»

 

Факультет дополнительного  образования

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по дисциплине

 

«Эконометрика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

	Выполнил:
	Проверила: Парфенова Н.И.

                                                                                              

 

 

 

           

         

Пенза 2011

План

Введение

1.Корреляционный анализ: расчет коэффициента линейной  корреляции.

2.Регрессионный анализ: построение  регрессионной модели,

   оценка ее качества, построение графика модели

3. Точечный прогноз.

4. Проверка предпосылок МНК.

5.Построение степенной модели , оценка ее качества.

Выводы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Постановка задачи.

Провести анализ зависимости  объема потребления Y (д.е.) домохозяйства от располагаемого дохода Х (д.е.) по выборке, представленной в таблице № 1, установить силу линейной зависимости между X и Y. Оценить значимость коэффициента  линейной корреляции при уровне значимости а = 10 %; построить линейную регрессионную модель и отобразить график модели. Оценить качество уравнения регрессии; дать точечный прогноз потребления при доходе 100 д.е. ; определить 95 % доверительный интервал для полученного прогноза; рассчитать коэффициент эластичности; проверить выполнение предпосылок МНК построить степенную модель и оценить ее качество. Построить степенную модель. Сравнить линейную и степенную модели и выбрать из них лучшую. Сделать экономические выводы по построенной модели.

Таблица № 1:

X	94	95	100	101	102	108	110	117	119	125
Y	117	119	124	125	128	131	136	138	138	145

 

 

 

 

 

 

 

1.Корреляционный анализ: расчет коэффициента линейной  корреляции

 

Определяем наличие статистических связей между X и Y с помощью коэффициента линейной корреляции. Для этого необходимо определить следующие показатели:

i	xi	yi	ху	х2	у2	Y=a+ bx	Ei	Ei2
1	94	117	10998	8836	13689	119,0025	2,0025	4,010006	0,017115
2	95	119	11305	9025	14161	119,8496	0,84964	0,721888	0,00714
3	100	124	12400	10000	15376	124,0853	0,08532	0,00728	0,000688
4	101	125	12625	10201	15625	124,9325	0,067539	0,004562	0,00054
5	102	128	13056	10404	16384	125,7796	2,220402	4,930185	0,017347
6	108	131	14148	11664	17161	130,8624	0,137576	0,018927	0,00105
7	110	136	14960	12100	18496	132,5567	3,443301	11,85632	0,025318
8	117	138	16146	13689	19044	138,4867	0,48666	0,236838	0,003527
9	119	138	16422	14161	19044	140,1809	2,18094	4,756499	0,015804
10	125	145	18125	15625	21025	145,2638	0,26376	0,069569	0,001819
Сумма	1071	1301	140185	115705	170005		11,73764	26,61208	0,090349
Сред зн.	107,1	130,1	14018,5	11570,5	17000,5

 

 

Формула выборочного коэффициента корреляции:

 

Выборочную ковариацию между x и y найдем по формуле:

  = 84,79

Выборочную дисперсию  для x и y найдем по формулам:

=;                    =

=10,0045                              =8,630759

 

           rxy = 0,981975, коэффициент линейной корреляции говорит о том, что между объемом потребления (Y) и располагаемым доходом (X) есть статистическая возрастающая линейная связь.

Проверим значимость коэффициента линейной корреляции при уровне значимости  а= 10 %, для этого выдвинем 2 гипотезы:

Гипотеза № 1 Н0   - предполагаю, что реальная связь отсутствует, Rxy = 0

Гипотеза № 2 Н1   - предполагаю, что есть статистическая связь, Rxy  0

 

Проверяем гипотезу № 1, используя t-критерий Стьюдента — общее название для статистических тестов, в которых статистика критерия имеет распределение Стьюдента.

Определяем t ( 5 %; 8 ) с помощью табличных значений коэффициента Стьюдента:   t = 1.860, далее определяем:

 

 

0.2= 13,85

 

 

Трасч= 13,85 сравниваем Трасч  и t, Трасч>t, коэффициент линейной корреляции отличен от нуля при уровне значимости 10 %

Можно сделать вывод, что  гипотеза № 1 неверна, поэтому принимаем гипотезу № 2. С вероятностью 90 % можно утверждать, что коэффициент линейной корреляции генеральной совокупности существенно отличается от 0.

 

 

2.Регрессионный анализ: построение  регрессионной модели, оценка ее качества.

 

 

 

Регрессионный анализ представляет собой установление аналитической  зависимости между признаками. Он включает следующие этапы:

1) выбор формы связи  (вида аналитического уравнения  регрессии);

2) оценка параметров уравнения;

3)  оценка качества  аналитического уравнения регрессии.

Так как между X и Y установлена линейная связь, то я строю линейную математическую модель y = a+ bx.

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина

показывает среднее изменение  результата с изменением фактора  на одну

единицу.

Формально a – значение y при x = 0. Если признак-фактор x не

может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного

члена a не имеет смысла, т.е. параметр a может не иметь экономического

содержания.

Коэффициенты  a и b находятся по методу наименьших квадратов.

 

 

 

b= 0,847138

 

 

 

a= 39,37

 

Коэффициент b указывает на то, что при увеличении располагаемого дохода на 1 (д.е.) происходит увеличение объема потребления на   0,847 (д.е.),

 

Получаем модель: Y= 39,37+0,84x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Строим график модели и наблюдаемых значений.

 

 

Оцениваем качество уравнения  регрессии, рассчитываем следующие показатели:  А (средняя ошибка аппроксимации); Se (стандартная ошибка регрессии).

 

 

 

A= 0,090349*1/10 =0,009 Значение ошибки аппроксимации говорит о том, что построенная модель является очень качественной.

 

Рассчитаем стандартную  ошибку регрессии Se

 

 

 

 

 

Se= 1,823871, значение Se близко к 1, значит построенная модель является качественной

 

Дальше проверяем значимость построенного уравнения в целом. Для проверки значимости используем коэффициент детерминации .

 

 

 

= 0,964274. Коэффициент очень близок к 1, модель хорошего качества.

 

Проверим значимость коэффициента детерминации с помощью критерия Фишера.

Для этого сформулируем 2 гипотезы:

1. H0 =0
2. H1 >0

Используем односторонний  тест, определяем Fтабл (5%;1;8)= 3.46

Находим Fрасч = / (1- )* (n-2)

Fрасч= 0,96/1-0,96 *8= 192

Fрасч> Fтабл, гипотеза № 1 неверна, значительно отличается от 0.

 

Вывод : Построена модель хорошего качества

 

 

3. Точечный прогноз

 

 

 

Точечный прогноз потребления  при доходе 100 д.е.

Y= 39,3+0,84x

Х прогноз= 100 д.е.

Yпрогноз= 123,3 д.е.

 

Интервальный прогноз:

Интервальный прогноз  с 95% доверительным интервалом.

 

 

 

 

 

t находим по статистики Стьюдента t (α/2; n-2) = t (2,5%; 8) = 2,306

 

 

 

 

Интервал с надежностью 95% содержит истинное значение прогноза.

 

Расчет коэффициента эластичности

 

=

 

=

 

= 0,695 %

Вывод: Коэффициент эластичности показывает, что при росте среднего дохода домохозяйств на 1 % , объем потребления увеличивается на 0,695

 

 

 

4. Проверка предпосылок  МНК.

 

 

 

Проверка предпосылок  касается остатков. Остатки должны вести себя следующим образом:

1. Должны носить случайный характер.
2. Должны быть независимыми.
3. Должны носить нормальный закон распределения.
4. С математическим ожиданием равным 0.
5. Дисперсия каждого отклонения должна быть одинакова.

Мы проведем анализ на случайный  характер поведения остатков. Этот анализ основан на анализе поворотных точек.

Поворотной точкой считается  точка, когда ее значение одновременно меньше или больше соседних с ней. Мы должны рассчитать количество поворотных точек Р_расч.

В случайной выборке существует зависимость между средней арифметической поворотных точек, дисперсией поворотных точек и числом наблюдений n.

 

 

Тогда критерий случайности  отклонений от тренда можно представить  следующим образом:

Р_расч =

- критическая  точка по Лапласу.

 

Р_расч = = 3

Из графика видно, что  количество поворотных точек равно 4. 4> Р_расч, можно сделать вывод, что  остатки носят случайный характер.

 

 

5.Построение степенной  модели, оценка ее качества.

 

 

Степенная модель относится  к нелинейной модели, но внутренне  линейной, то есть она может быть преобразована в линейную.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: ln

Обозначим Y′ = ln;  Х′ = ;  А= ln a

Тогда уравнение примет вид: Y′ = A + β X′ - линейное уравнение регрессии.

 

 

Рассчитаем параметры, пользуясь  таблицей № 2.

	x	y	X′	Y′
1	94	117	4,543295	4,762174	21,63596	20,64153	22,6783	117,8938	0,893787	0,007639	0,798855
2	95	119	4,553877	4,779123	21,76354	20,73779	22,84002	118,7578	0,242243	0,002036	0,058682
3	100	124	4,60517	4,820282	22,19822	21,20759	23,23511	123,0361	0,96386	0,007773	0,929025
4	101	125	4,615121	4,828314	22,28325	21,29934	23,31261	123,8838	1,11622	0,00893	1,245948
5	102	128	4,624973	4,85203	22,44051	21,39037	23,5422	124,7288	3,271179	0,025556	10,70061
6	108	131	4,682131	4,875197	22,82631	21,92235	23,76755	129,7463	1,253668	0,00957	1,571682
7	110	136	4,70048	4,912655	23,09184	22,09452	24,13418	131,3995	4,600518	0,033827	21,16477
8	117	138	4,762174	4,927254	23,46444	22,6783	24,27783	137,1137	0,886271	0,006422	0,785475
9	119	138	4,779123	4,927254	23,54795	22,84002	24,27783	138,7267	0,726715	0,005266	0,528115
10	125	145	4,828314	4,976734	24,02923	23,31261	24,76788	143,5161	1,483905	0,010234	2,201975
Сумма			46,69466	48,66102	227,2813	218,1244	236,8335	1288,803	15,43837	0,117253	238,3431
Среднее значение			4,669466	4,866102	22,72813	21,81244	23,68335	128,9993	2,806976	0,011725	7,879112