Контрольная работа по "Эконометрике"

Контрольная работа №3

1. В двух ящиках находится по 16 деталей. Причем в первом ящике находится 9 стандартных деталей, а во втором – 12. Из первого ящика наугад извлекли одну деталь и переложили во второй ящик.

Найти вероятность  того, что деталь, наугад извлеченная после этого из второго ящика, будет стандартной.

Решение.

_{События:}

= {переложена стандартная деталь}

= {переложена нестандартная  деталь}

= {извлеченная из второго  ящика деталь – стандартная}

;

;

По формуле  полной вероятности: .

2. Электронная система состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа любого из них в течение года равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов.

Найти вероятность  отказа за год работы:

1. двух элементов;
2. не менее двух элементов.

Решение.

1. Пусть – событие, состоящее в том, что за год работы отказали ровно два элемента. Тогда найдем, пользуясь асимптотической формулой Пуассона (так как ):

, где  .

(Для сравнения  )

2. Пусть – событие, состоящее в том, что за год работы отказало не менее двух элементов. События «за год работы отказало не менее двух элементов» (событие ) и «за год работы отказало менее двух элементов» (событие ) – противоположные. Поэтому . Если произошло , то это означает, что за год работы не отказало ни одного элемента, либо отказал один элемент. Так как это несовместные события, то по теореме сложения вероятностей имеем:

 

3. При установившемся технологическом процессе среди изготавливаемой продукции оказывается в среднем 15% бракованных шин.

Сколько шин  нужно отобрать для проверки, чтобы  с вероятностью 0,9876 число бракованных  шин отклонилось от своего среднего значения не более чем на 15 штук?

Решение.

Согласно следствию  из интегральной теоремы Лапласа:

, где 

По условию, Тогда, .

 

4. Даны две случайные величины и , причем имеет биномиальное распределение с параметрами и , а - распределение Пуассона с параметром . Пусть .

Необходимо:

1. найти математическое ожидание и дисперсию ;
2. оценить вероятность с помощью неравенства Чебышёва.

Решение.

1. Числовые характеристики биномиального распределения:

Числовые характеристики распределения Пуассона:

По свойствам  математического ожидания:

Тогда,

По свойствам  дисперсии:

Тогда,

2. Согласно неравенству Чебышёва: .

Неравенство Чебышёва имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную оценку. Например, как в предложенной задаче, когда , и, следовательно, , имеем . В этом случае неравенство Чебышёва указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом.

 

5. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Найти:

1. параметр ;
2. плотность вероятности ;
3. математическое ожидание и дисперсию .

Построить графики  функций  и .

Решение.

Плотностью  распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию – первую производную от функции распределения :

; ;

Параметр  найдем, исходя из условия нормировки: .

Таким образом,   и

Математическое  ожидание непрерывной случайной  величины по определению: или .

Дисперсия случайной  величины проще всего может быть рассчитана по следующей формуле:

 

Контрольная работа №4

1. С целью изучения дневной выработки ткани (м) по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100 ткачих комбината из 2000. Результаты обследования представлены в таблице.

Дневная выработка, м	Менее 55	55 - 65	65 - 75	75 - 85	85 - 95	95 - 105	Более 105	Итого
Число ткачих	8	7	15	35	20	8	7	100

Найти:

1. границы, в которых с вероятностью 0,9883 заключена средняя дневная выработка всех ткачих комбината;
2. вероятность того, что доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, отличается от доли таких ткачих в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине);
3. объем бесповторной выборки, при котором те же границы для средней дневной выработки (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9942.

Решение.

1. Предельная ошибка выборки для средней определяется по формуле:

где  – нормированное отклонение, коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки,

 – средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

где  – выборочная дисперсия,

 – объем выборки,

 – объем генеральной совокупности.

В рассматриваемом  случае , .

Расчетная таблица.

Дневная выработка, м	fi	xi	xi·fi
Менее 55	8	50	400	-30,4	7393,28
55 - 65	7	60	420	-20,4	2913,12
65 - 75	15	70	1050	-10,4	1622,40
75 - 85	35	80	2800	-0,4	5,60
85 - 95	20	90	1800	9,6	1843,20
95 - 105	8	100	800	19,6	3073,28
Более 105	7	110	770	29,6	6133,12
Итого	100	û	8040	û	22984,00

Среднее значение признака: м

Дисперсия

По таблице  значений функции  для вероятности 0,9883 находим . Тогда предельная ошибка выборки для средней будет равна .

Для генеральной  средней верно, что  . Таким образом, возможные границы, в которых заключена средняя дневная выработка всех ткачих комбината, составляют: м. То есть с вероятностью 0,9883 можно утверждать, что дневная выработка одной ткачихи в среднем по комбинату лежит в пределах от 76,66 до 84,14 м.

2. Определить границы, в которых заключена генеральная доля признака, можно, зная выборочную долю признака и предельную ошибку выборки . Тогда верным будет двойное неравенство: ,

где – искомая доля признака в генеральной совокупности.

,

где  – нормированное отклонение, коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки.

 – средняя ошибка выборки  для альтернативного признака.

Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

где  – выборочная дисперсия альтернативного признака,

 – объем выборки,

 – объем генеральной совокупности.

Выборочная  доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, равна: . Тогда, .

.

По таблице  значений функции  для находим вероятность 0,7199. То есть с вероятностью 0,7199 можно утверждать, что доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, отличается от доли таких ткачих в выборке не более чем на 0,05 и лежит в пределах от 30 до 40%.

3. Для бесповторной выборки .

Предельная  ошибка выборки для средней . По таблице значений функции для вероятности 0,9942 находим .

Для того чтобы  с вероятностью 0,9942 можно было утверждать, что дневная выработка одной ткачихи в среднем по комбинату лежит в пределах от 76,66 до 84,14 м, необходимо проверить 119 ткачих.

 

2. По данным задачи 1, используя  -критерий Пирсона, на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина – дневная выработка ткани – распределена по нормальному закону.

Построить на одном  чертеже гистограмму эмпирического  распределения и соответствующую  нормальную кривую.

 

Решение.

Исправленная  статистическая дисперсия:

Значение признака на интервале	-∞ - 55	55 - 65	65 - 75	75 - 85	85 - 95	95 - 105	105 - ∞
	8	7	15	35	20	8	7

Теоретические частоты: ,  , где

	-∞ - 55	55 - 65	65 - 75	75 - 85	85 - 95	95 - 105	105 - ∞
	8	7	15	35	20	8	7
	-∞	-1,67	-1,01	-0,35	0,30	0,96	1,61
	-0,5	-0,4525	-0,3438	-0,1368	0,1179	0,3315	0,4463
	-1,67	-1,01	-0,35	0,30	0,96	1,61	∞
	-0,4525	-0,3438	-0,1368	0,1179	0,3315	0,4463	0,5
	0,0475	0,1087	0,2070	0,2547	0,2136	0,1148	0,0537
	4,75	10,87	20,70	25,47	21,36	11,48	5,37
	2,22	1,38	1,57	3,57	0,09	1,05	0,49

Вычислим наблюдаемое  значение критерия:

По таблице  критических точек распределения  при уровне значимости и числе степеней свободы находим границу критической области: .

Так как  , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается.

 

3. Распределение 50 однотипных предприятий по основным фондам (млн. руб.) и единицы продукции (млн. руб.) представлено в таблице.