Уровневая дифференциация в обучении математике

 Для того, чтобы уравнение имело решение необходимо и достаточно, чтобы

Отсюда наименьшее значение функции , наибольшее .

Ответ:

Как видно из решений последних задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений иногда удобнее рассматривать функцию как уравнение с неизвестным , в котором необходимо установить при каких это уравнение имеет решение. Рассмотрим еще один пример, в котором работает эта идея с небольшими вариациями.

 

16. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения , если

  .

Решение.

Положим . Подставим полученное выражение в (1):

 

Ответ: наибольшее значение выражения равно ; наименьшее - .

Рассмотрим один из самых универсальных методов доказательства - методом математической индукции.

 

 

17. Доказать, что при любом натуральном число делится на 7.

 

Решение.

Обозначим .

При - делится на 7.

Пусть делится на 7.

Имеем 

Последнее число делится на 7, т.к. представляет собой разность двух целых чисел, которые делятся на 7, ч.т.д.

 

17. Доказать тождество:

 

 

Решение.

1)При    равенство выполняется.

2)Предположим, что равенство выполняется при  

При    имеем:

ч.т.д.

 

18. Выполнить следующие действия:

 

а) ;   б) ;  в)

 

Решение.

а)

 

б)

 

 

в)

 

 

Ответ: а) ; б) в)

 

19. Решить уравнения:

а) ;

б)

 

Решение.

а)

б)

Чтобы найти не будем  переходить к тригонометрической форме (но и этот путь верный). Итак, надо найти числа и такие что,

Достаточно найти одно решение

 

 

 

 

Т.о.

Ответ: а) б) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   2.3. Индивидуальная работа учащихся.

 

Поскольку внеклассная индивидуализация осуществляется в основном в форме самостоятельной работы, следует, естественно, учитывать требования, исходящие из методики самостоятельной работы.

Самостоятельная работа учащихся - это такой способ учебной работы, где 1) учащимся предлагаются учебные задания и руководства для их выполнения; 2) работа проводится без непосредственного участия учителя, но под его руководством; 3) выполнение работы требует от учащегося умственного напряжения.

С точки зрения организационных основ самостоятельную работу можно разделить на: 1) самостоятельную работу в школе и 2) самостоятельную работу, выполняемую за пределами школы, в т. ч. и дома. Самостоятельная работа в школе может проводиться в рамках урока, зачета, семинара, практического занятия и т. д. На основе другого логического членения можно выделить еще два вида самостоятельной работы: 1) индивидуальную и 2) групповую.

В ходе самостоятельной работы каждый ученик получает конкретное задание, которое предполагает и выполнение определенной письменной работы. В этом случае можно проверить степень участия ученика в выполнении этого задания. Самостоятельная работа позволяет работать и в индивидуальном темпе и стиле.

Учебные задания для самостоятельной работы.  

Учебные задания для самостоятельной работы весьма разнообразны. Их можно в основном делить на следующих 4 логических основаниях: 1) по методу самостоятельной работы учащихся (например, наблюдения, упражнения, работа с текстом учебника); 2) по звеньям учебного процесса (задания на восприятие, систематизацию, закрепление и повторение учебного материала); 3) по характеру познавательной деятельности учащегося (репродуцирующие и творческие задания); 4) по характеру руководства (подробное или менее подробное инструктирование).

Выделяют 3 основных вида основной работы:

А. Учебные задания, опосредующие учебную информацию. В учебном задании соответствующая информация дана непосредственно или  же задание указывает на источник, откуда можно получить необходимую информацию. Этот вид задания заменяет устное изложение учителя и предназначен в основном для первоначального восприятия учебного материла.

Б. Учебные задания, направляющие работу ученика с учебным материалом. Эти задания ориентируют ученика на осмысление и систематизацию учебного материала, а также на самоконтроль; наводят на сравнение, выводы, обобщения.

В.  Учебные задания, требующие от ученика творческой деятельности. Эти задания направляют ученика к решению проблем, к самостоятельному сбору материала, к составлению заданий.

  Рабочее руководство к индивидуализированной самостоятельной работе.

Рабочее руководство к индивидуализированной самостоятельной работе представляет собой, в принципе, такое же рабочее руководство, которое используется при обычной самостоятельной работе. Поэтому по отношению к нему действуют точно такие же требования. Эти руководства различаются тем, что в пределах класса не ограничиваются только одним-единственным рабочим руководством, а составляют его варианты, где учитываются индивидуальные особенности учащихся с помощью индивидуализированных заданий.

Варианты рабочего руководства могут отличать друг от друга или частично, или полностью. Выбор варианта зависит от того, в какой мере желают индивидуализировать учебную работу.

Среди вариантов, использованных в наших экспериментах, можно выделить следующие типы рабочих руководств:

1 тип.1. Общие задания.

2. Дополнительные задания более быстрым и сильным ученикам.

           2 тип.1. Общее задание.

                      2. Разветвленные задания: а) более легкий вариант, б) средний  вариант, в) более трудный вариант.

тип. Разветвленные задания: а) более легкий вариант, б) средний вариант, в) более трудный вариант.

тип. 1. Разветвленные задания: а) более легкий вариант, б) средний вариант, в) более трудный вариант.

                       2. Общие задания.

 

АЛГЕБРА  IX КЛАСС

I вариант

Часть А

 

Упростите выражение  а³ (а^-2)³.

1. а^-5;  2) а^-3;  3) а^-9;  4) а⁹.

 

Найдите значение выражения b - 54b^-2, если  b = 3.

1. -6;  2)  9;  3) -3;  4) 327.

 

Решите систему уравнений:

         

1. (3; -1);  2) (-1;  3); 3) (-2; 6); 4) (6; -2).

4. Сократите дробь:   9с² - 1

                                     2с+ 6с²

0. ;  2) ;  3) 3с - 1;  4) 3с + 1.

 

5. Упростите выражение:  25 - (5 - 2с)².

1) 20с + 4с²;      2)  10с - 4с²;

3) -20с + 4с²;    4) 20с - 4с².

 

0. Упростите выражение:  + + 5 .
1. 14 ;  2) 50 ;  3) 20 ;  4) 24 .

 

5. Решите систему неравенств:

                                 

1) (∞; -8);                 2) ;

3) +∞ );           4) (-∞; .

 

5. Через точку (0; -1) проходит график функции
6. у = 1 - х²;  2) у = ;  3) у = х - 1;  4) у = - 1.
7. По графику квадратичной функции найдите все значения аргумента, при которых значения функции неотрицательны.

                                                                                      у

1. (∞; -1);     
2. (∞; ; +∞);
3. ; ∞);    4) ; +∞).

 

                                                                                          

                                                                                         0                                   

                                                                       -3    -2    -1           1       2     3      4      х                    

 

 

 

                      

 

10. Упростите выражение:     m     +   m² + 9

                                                 m+3          9-m²

 

1) ;  2) ;  3) ;   4) .

 

 

 

0. Выразите из формулы      S=   переменную b.

1) b = ;                2) b = ;

3) b = - а;                4)  b = - a.

 

11. На рисунке изображен график движения пешехода из города М в город К. На каком расстоянии от города М пешеход устроил привал?

 

          S (км)    

  14 К

  12

  10

    8

    6

    4

    2

      М    1    2    3   4    5    6     t(ч)

 

1) 8 км;   2)  4 км;   3) 2 км;   4) 5 км.

 

13. Расположите в порядке возрастания числа  ;   3 ;  4.

1) ;  4;   3 ;          2)  4;  ;   3 ;

3)   3 ; ;  4;           4)  4;  3 ; .

          14. Катер прошел по течению реки 8 км и вернулся обратно, потратив на весь путь 5ч. Скорость течения реки 3 км/ч. какова собственная скорость катера?

Если собственную скорость катера обозначить буквой х, то можно составить уравнение:

1) 2,5(х+3)+2,5(х-3) = 8        2)   + = 5;

3) + = 8;                   4) + = 8.

 

15. Соотношение соли и сахара в рассоле равно 5 : 2. Сколько сахара содержится в 210 г рассола?

1. 60 г;  2) 70г;  3)  42 г;  4)  105г.

 

16. Вычислите значение выражения:

                                      ( 1,47 * 10^-5) : (4,2 * 10^-8)

и приведите результат к стандартному виду.

1. 3,5 * 10^-2;  2)  3,5 * 10²;  3)  3,5 * 10⁴;  4) 0,35 * 10³.

17. Решите неравенство   х2 - 5х + 4 0.

1) (∞;  4);  2) (-∞; ;    3) ;     4)  (-4;  -1).

 

 

Часть В

 

1. Найдите 35% от числа 420.
2. Найдите положительный корень уравнения 17х² - 51х = 0
3. Решите уравнение - = 8
4. Найдите ординату точки пересечения графиков функций      у=5х - 1 и у = 4х + 5.
5. Найдите меньший корень уравнения = 5 + х

Часть С

1.Сократите дробь      4х² + 5х + 1

                                                2х +  8х².

2. Задайте формулой квадратичную функцию, график которой - парабола с вершиной в точке Т (0; 4), проходящая через точку М (-3;  -8).

Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии  11,3;  9,6;  … .

Ответы

I вариант

 

А: 1. 2;  2. 3;  3. 1;  4. 1;  5. 4;   6. 3; 7. 4;  8. 3; 9. 2;  10. 4; 11. 3;  12. 1;

     13. 2;  14. 4;  15. 4;  16. 2;  17. 3.

                           В:  1. 147; 2.  3;  3.  -22;  4. 29; 5.  -6.

С:  1.  ;  2. у = - х² + 4; 3.  43,4.

 

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА XI КЛАСС

I вариант

Часть А

 

1. Результат вычисления выражения

(1,6 - 2 - ) · (-3 ) - 0,4 : (-1,25) равен:

1) 1;  2) 2;   3) 3;   4) 4;   5) 5.

 

1. Результат упрощения выражения

( + ) : +   имеет вид:

1) -с - 1;    2) 1 - с;   3) 2 - с;  4) с - 1;  5) с -2.

1. Даны три точки: (1; -2), (-2; 1),  (2; 3). Если две из них принадлежат графику функции у = ах + b, пересекающему ось Оу в точке с положительной ординатой, то значение параметра а равно:
2. -1;  2) 2;  3) 5;  4) 0,5;  5) 0,75.

 

0. Число целых значений аргумента на промежутке , при которых функция у = 2х² - 8х + 2 принимает отрицательные значения, равно:
1. 0;  2) 1;  3) 2;  4) 3;  5) 4.

 

1. Если х₀, у₀ - решение системы уравнений

                                

то сумма х₀ + у₀ равна:

1. 2;  2) 1;  3) -1;  4) -2;  5) -3.

 

1. Если х₁ и х₂ - корни уравнения -2х² + 3х + 5 = 0, то значение выражения х₁ + х₂ + 2х₁х₂ равно:

1) 9;  2) -3,5;  3) 15;   4) -7,5;   5) 0.

 

1. Среднее арифметическое всех корней уравнения

(х-1)² (х+2) + (1-х²) (х+3) = х² + 4х - 5 равно:

1) 0,25;   2) 0,5;  3) 0,75;  4) -0,75;  5) -0,5.

 

8. Если х₀ - корень уравнения · = х+1, то значение выражения х₀ + 2  равно:  

       х₀ - 2

1) - ;   2) ;   3) -3;  4) 3;  5) 1.

 

9. Количество целых положительных решений неравенства равно:

1. 2;  2) 3;  3) 4;  4) 5;  5) 1.

 

5. Сумма корней уравнения ׀6х - 5х²׀ = 1 равна:
6. -2,4;  2) -2,2;  3) -1,2;  4) 1,2;  5) 2,4.

 

5. Количество целых решений неравенства ׀׀х׀ - 2׀ < 1 равно:
6. 1;  2) 0;  3) 2;  4) 3;  5) 6.

 

0. Наименьший положительный период функции у = tg равен:
1. 2π;  2) 2π;  3) 21π;  4) 2π;  5) 4π.

7          3          4

13. Если  sin α = 3  и   0 < α <π, то величина sin α равна:

2. 5

3. - ;  2) - ;  3) - ;  4) ;  5) .

                                                               5

 

14. Значение выражения cos ( π - arcsin 4) равно:

2. 5

1) - ;  2) ;  3) ;  4) - ;   5) .

 

15. Сумма корней уравнения 2cos2x + sinx = 2, принадлежащих промежутку [π  ; 9π], равна:

  2 8