Уровневая дифференциация в обучении математике

На ряду с чисто устными практикуются также полуустные (зрительно-слуховые), когда задания записаны на доске или проецируется на экран. Некоторые мы рассматривали в предыдущем примере, когда с их помощью вводился новый материал.

Устные упражнения успешно применяются и при повторении. Например, при подготовке к контрольной работе в 8 классе по теме «арифметический квадратный корень» можно предложить следующую систему устных упражнений:

в начале урока:

Известно, что площадь квадрата составляет а²; 36; 900 кв.ед. Чему равна его сторона?

Запись на доске:

 

S=а² отсюда а=S^1/2, а=36^1/2=6 (кв.ед), а=900^1/2=30 (кв.ед.)

 

 

Ответ: 6 кв.ед., 30 кв.ед.

 

 

Сравнить значения выражений:

 

а) 3^. 5^1/2 и 42^1/2;                 в) 22^1/2 и 2^. 7^1/2;

 

б) 6 ^. 2^1/2 и 2 ^. 6^1/2;    г) 1/2 ^. 76^1/2 и 2/3 ^. 45^1/2.

 

 

Упростить выражения:

 

а) 2 а^1/2+6 а^1/2 -7а^1/2;                б) 4 с^1/2+ 2 с^1/2 - 5 с^1/2;

в) (49с)^1/2 - (16с)^1/2+ (25с)^1/2;         г) 32^1/2+18^1/2-50^1/2.

 

Назвать область определения:

 

                   а) у = х^1/2 +6; б) у = (х-4)^1/2; в) у = (х+9)^1/2; г) у = (х-3,6)^1/2-26.

 

 

Решить уравнения (назвать его корни):

 

                   а) х² -6=0;  б) х²+9=0; в) х²=0.

 

 

 

 

после блока повторения - построение графиков:

1) указать ход построение графиков:

 

          а) у=х^1/2; б) у=2^. х^1/2;   в) у=х^1/2+8; г) у=х^1/2 - 9

 

 

 

Приведем так же пример обобщающего повторения. В начале 9 класса необходимо восстановить в памяти учащихся все о квадратном трехчлене и квадратных уравнениях с помощью упражнений:

 

1. Каковы должны быть коэффициенты полного квадратного уравнения

    х²+рх+q=0, если корни его - числа р и q ?

 

 

2. При каком значении «а» данные  уравнения имеют два корня?

               а) ах²+х+2=0; б) ах²+х-3=0.

 

 

3. При каком значении «с» данные  уравнения  не имеют  корней?

              Укажите одно из таких значений «с».

              а) х²+2х+с=0;  б) х²+6х+с=0.

 

 

           4. Составьте такое уравнение, чтобы сразу было видно, что оно имеет три корня 0; 2; 5.( Ответ: х(х-2)(х-5)=0.)

 

 

Фронтальную работу можно использовать так же при текущем контроле знаний и умений учащихся. Например, в форме математического диктанта, при чем задания можно давать повариантно:  первый вариант доказывает свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями, второй - свойство возведения степени в степень; в качестве второго задания даются не сложные примеры на вычисление и т.п.

 

 

 

 

 

 

 

Групповая работа.

 

 

Для того, чтобы обучение проявляло развивающий эффект, необходимо соблюдать универсальное условие: развиваемый субъект должен быть включен в активную деятельность и общение. Это условие вытекает из того, что ученик в учебном процессе не только объект, но и субъект процесса собственного учения.

Формирование творческой активности - высшая цель активизации, но нельзя игнорировать более низкие ее ступени. К содержательной стороне активизации относятся составление и предъявление заданий, активизирующих учебно-познавательный процесс. Другой ее стороной является организация активизированной учебной работы.

Групповая работа - одна из форм активизации учащихся. По определению Х.И.Лийметса под групповой работой понимают такое построение работы, при которой класс делится на группы по 3-8 человек (чаще по четыре человека) с целью выполнения той или иной учебной задачи.

Групповая работа так же представляет много возможностей для индивидуализации, особенно, если группы составлены из схожих по какому-либо признаку учащихся, причем тогда для каждой группы подбираются специальные задания.

В малой группе учащийся находится в более благоприятных условиях, чем при фронтальной работе. Группы могут быть сформированы как учителем (на основании уровня знаний и/или умственных способностей), так и по пожеланию учащихся.

Групповая работа достаточно эффективна, однако следует следить за тем, чтобы более сильные и старательные не заглушали инициативу более слабых и пассивных. Целесообразно проводить работу также с относительно стабильными группами, что позволяет оперативно распределять задания различной степени сложности, причем по результатам обучения возможен переход из одной группы в другую.

И так групповая учебная деятельность - это организованная система активности взаимодействующих учащихся, направленная на целенаправленное решение поставленной учебной задачи.

Основными показателями являются отношение учашихся к совместному действию. Это отношение выявляется

по характеру деятельности группы при выполнении задания;

по используемым средствам фиксации совместного действия (моделирование, выработка способа, формулировка выводов и т.д.)

по характеру общения членов группы.

При учебной кооперации учащиеся выполняют общую работу, осуществляя обмен операциями и мнениями. В это процессе наступают понимание каждым участником своей зависимости от действий другого и ответственности.

Рассмотрим систему задач разной тематики для возможного решения в группах. Задачи подобраны по следующему принципу: по каждой теме предлагается по две задачи, причем одно из них является более сложной в смысле выявления способа решения или выделения основных отношений и связей и требует творческого подхода к решению.

 

1. Упростить выражение

 

Решение.

Тактически нецелесообразно складывать сразу все дроби.

Сложим первые две:

Прибавим третью:

Затем четвертую : и пятую:

Можно предложить и другой способ решения.

Легко проверить, что причем аналогичные равенства справедливы и для других дробей. Заменив каждую дробь. Входящую в выражение на соответствующую разность получим:

Ответ: .

2. Докажем равенство

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

Поменяв местами  множители, получим выражение, стоящее в правой части.

 

3.Решить уравнение.

Решение.

Вместо стандартного освобождения от знаменателя, приведения подобных слагаемых и решение полученного квадратного уравнения, объединим дроби в пары и произведем действия внутри пар:

Ответ:

 

4. Решить уравнение:

 

.

 

Решение.

Замена , тогда , а . Подставляем полученные выражения в исходное уравнение, имеем:

; ; .

не удовлетворяет условию .

Возвращаемся к :

; .

Ответ:

 

5. Решить систему уравнений:

 

 

Решение.

Выразим , из второго уравнения :

и подставляем в первое и третье уравнения системы:

Выразив через и подставив во второе уравнение, получим:

       

Ответ: , .

 

5. Решить систему уравнений:

 

Решение.

Предложенная система является симметричной: замена на , а на не меняет каждого из уравнений системы.

Используем замену переменных: .

Поскольку , относительно и  получим следующую систему:

Для   и соответственно будем иметь две системы:

               Вторая система не имеет действительных корней, первая имеет два решения: (1;2); (2;1).

Ответ: (1;2); (2;1).

 

7. Решить неравенство:

 

 

Решение.

Ответ: .

 

8. Решить неравенство:

 

 

 

Решение.

Ответ: .

 

Стандартная схема решения текстовых задач состоит из трех этапов:

Выбор неизвестных.

Составление уравнений (неравенств).

Нахождение нужного неизвестного или нужной комбинации неизвестных.

 

Рассмотрим несколько примеров.

9. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96км, затем повернулся обратно и вернулся в А через 14ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24км от А.

 

Решение.

I способ (алгебраический).

1) Пусть (км/ч) скорость катера в стоячей воде, у (км/ч) - скорость течения.

2) Составим уравнения. Поскольку скорость катера при движении по течению , а против течения , то на основании того, что сказано во второй фразе условия, получим: или

Вторая часть последней фразы дает нам (плот прошел до встречи 24км, катер 96 - 24 =72км на обратном пути).

Таким образом, имеем систему уравнений

Подставляем в I уравнение системы

 

Ответ: скорость катера в стоячей воде 14км/ч, скорость течения 2км/ч.

 

II способ (арифметический).

Итак, если катер удаляется от плота или приближается к нему, то его скорость относительно плота равна скорости катера в стоячей воде, меняется лишь направление этой скорости. Следовательно, катер удаляется от плота за то же время, что и приближается к нему, т.е. путь в 96км пройден за то же время, что и путь 72км (против течения).

96 : 72 = 4 : 3- отношение скорости катера по течению к скорости катера против течения.

Весь путь занял 14ч. Разделим число 14  на части пропорционально 3:4  :

катер шел по течению;

катер шел против течения.

96 : 6 =16 (км/ч) - скорость по течению;

96 : 8 =12 (км/ч) - скорость против течения;

- скорость течения;

- собственная скорость катера.

Ответ: 2км/ч; 14км/ч.

Как видно из решения задачи 9 «арифметический» способ решения зачастую удобнее, так как для него характерна достаточность знаний и умений, которыми располагает учащийся, окончивший начальную школу плюс, конечно развитый логический аппарат.

 

10. Лошадь съедает  копну сена за 2 дня, корова может съесть такую же копну за 3 суток, овца за 6 суток. За какое время они съедят эту копну вместе?

Решение.

Задача может даваться с 6 класса. Итак, если лошадь съедает копну сена за 2 дня, то за один день она съест часть копны, аналогично корова часть копны, а овца часть копны.

За один день вместе они съедают копны сена, т.е. всю.

Ответ: 1 день.

 

Функции

Наибольшее значение при . Возвращаясь к , получим, что  при

Ответ: наибольшее значение .

 

 

Почти вся теория квадратного трехчлена основывается на приеме, называемом «выделение полного квадрата»:

- дискриминант квадратного уравнения.

Если , то уравнение имеет два корня,

,то уравнение имеет1 корень (2 совпадающих);

, уравнение не имеет действительных корней.

 

11. Доказать, что при любом уравнение

имеет решения.

Процесс нахождения дискриминанта и доказательства, что он положителен достаточно трудоемкий, поэтому попробуем другой метод решения.

Пусть .

  при  любом  .

Т.о. уравнение всегда имеет решение, причем если , то уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству  .

 

12. Пусть и корни уравнения . Выразить через и .

Решение.

Необходимо выразить через и :

По теореме Виета

тогда

Ответ: .

 

13. Определить все значения параметра , при которых уравнение имеет 1 корень.

Решение.

В условие не сказано, что рассматривается квадратное уравнение, поэтому рассмотрим случай

Остальные значения параметра получим из уравнения .

Ответ:

 

Простейший прием нахождения наибольших значений, основанный на свойствах квадратичных функций состоит в том, что исследуемая функция при помощи преобразований или замены переменной приводится к квадратичной, после чего выделяется полный квадрат.

 

14.Найти наибольшее значение функции

Решение.

Положим , тогда Отсюда Итак, после замены получим, что надо найти наибольшее значение

 

15.Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение.

Рассмотрим данное равенство как уравнение с неизвестным и параметром .

После преобразований получим