Лекции по "Высшей математике"

Элементы комбинаторики.

 

Если из некоторого количества элементов, различных меду собой, составлять различные  комбинации, то среди них можно  выделить три типа комбинаций, носящих  общее название – соединения.

Рассмотрим подробнее эти три  типа соединений:

 

1) Перестановки.

 

Определение. Если в некотором множестве переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой.

 

 Общее число перестановок из m элементов обозначается P_m и вычисляется по формуле:

2) Размещения.

 

Определение. Если составлять из т различных элементов группы по n элементов в каждой, располагая взятые элементы в различном порядке. Получившиеся при этом комбинации называются размещениями из т элементов по п.

 

Общее число таких  размещений расчитывается по формуле:

 

Вообще говоря, перестановки являются частным случаем размещений.

 

 

3) Сочетания.

 

Определение.  Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п.

 

Общее число сочетаний  находится по формуле:

 

Также одним из вариантов комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами.

 Если среди т элементов имеется т₁ одинаковых элементов одного типа, т₂ одинаковых элементов другого типа и т.д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле:

 

 

Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

 

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.000.

Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно  .

Если учесть возможность того, что  буквы могут повторяться, то число  повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900.

Если к номеру добавляется еще  одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается  в 30 раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.

Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.