Лекции по "Общей и таможенной статистике"

Наиболее совершенным  методом обработки рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда является выравнивание уровней ряда по аналитическим формулам (или аналитическое выравнивание). Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических, исходных) уровней y_i теоретическими , которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические уровни рассматриваются как функция времени: = f(t).

При этом каждый фактический  уровень y_i  рассматривается как сумма двух¹ составляющих:

, (85)

где f(t) = - систематическая составляющая, отражающая тренд и выраженная определенным уравнением; - случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:

1. определение на основе фактических данных формы (вида) гипотетической функции = f(t), способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;
2. нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции;
3. расчет по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.

В аналитическом выравнивании наиболее часто используются  простейшие функции, представленные в табл. 28, где обозначено - теоретические (выравненные) уровни (читается как «игрек, выравненный по t»); t – условное обозначение времени (1, 2, 3 …); a₀, a₁, a₂, ... – параметры аналитической функции; k – число гармоник (при выравнивании по ряду Фурье).

Таблица 28. Виды математических функций², используемые при выравнивании

Название  функции	График функции	Формула
Прямая линия		(86)
Парабола 2-го порядка	или	(87)
Гипербола		(88)
Показательная		(89)
Степенная		(90)
Ряд Фурье		(91)

 

Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется на основании графического изображения эмпирических данных. Если по тем или иным причинам уровни эмпирического ряда трудно описать одной функцией, следует разбить анализируемый период на отдельные части и затем выровнять каждую часть по соответствующей кривой.

Нередко один и тот  же ряд можно выровнять по разным аналитическим функциям и получить довольно близкие результаты. В нашем примере про ВО России можно произвести выравнивание и по прямой линии, и по параболе. Чтобы решить вопрос о том, использование какой кривой дает лучший результат, обычно сопоставляют суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических (остатки), рассчитанным по разным функциям, то есть:

. (92)

Та функция, при которой эта сумма минимальна, считается наиболее адекватной, приемлемой. Однако сравнивать непосредственно суммы квадратов отклонений можно в том случае, если сравниваемые уравнения имеют одинаковое число параметров. Если же число параметров k разное, то каждую сумму квадратов делят на разность (n – k), выступающую в роли числа степеней свободы, и сравнивают уже квадраты отклонений уровней, рассчитанные на одну степень свободы (т.е. остаточные дисперсии на одну степень свободы).

Параметры искомых уравнений (a₀, a₁, a₂, ...) при аналитическом выравнивании могут быть определены по-разному, но наиболее распространенным методом является метод наименьших квадратов (МНК). При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней y от теоретических уровней :

. (93)

В частности, при выравнивании по прямой вида (86) параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (93) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение  на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

 (94)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда³. Например, при нечетном числе уровней серединная точка времени (год, месяц) принимается за нуль, тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней (как в нашем примере про ВО России – 7 уровней) два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д. (см. 3-й столбец табл. 29).

При таком порядке  отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений (94) упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

 (95)

Как видим, при  такой нумерации периодов параметр a₀  представляет собой средний уровень равномерного интервального ряда, то есть формулу (77).

 

5.Прогнозирование при помощи  тренда.

 

 Определим по формуле (95) параметры уравнения прямой для нашего примера про ВО России, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в табл. 29.

Таблица 29. Вспомогательные расчеты для линейного тренда

Год	y	t	t2	yt
2000	149,9	-7	49	-1049,3	84,050	4336,223	44283,941	20905,545
2001	155,6	-5	25	-778	144,175	130,531	22593,848	19289,738
2002	168,3	-3	9	-504,9	204,300	1296,000	8133,785	15923,285
2003	212	-1	1	-212	264,425	2748,381	903,754	6804,188
2004	280,6	1	1	280,6	324,550	1931,602	903,754	192,863
2005	368,9	3	9	1106,7	384,675	248,851	8133,785	5537,220
2006	468,4	5	25	2342	444,800	556,960	22593,848	30245,558
2007	552,2	7	49	3865,4	504,925	2234,926	44283,941	66415,733
Итого	2355,9	0	168	5050,5	2355,900	13483,473	151830,656	165314,129

Из табл. 29 получаем, что: a₀ = 2355,9/8 = 294,4875 и a₁ = 5050,5/168 = 30,0625. Отсюда искомое уравнение тренда: =294,4875+30,0625t. В 6-м столбце табл. 29 приведены теоретические (трендовые) уровни, рассчитанные по этому уравнению, а в итоге 7-го столбца – остатки по формуле (92). Для иллюстрации построим график эмпирических и трендовых уровней – рис. 18.

Рис. 18. Эмпирические и трендовые уровни ряда динамики ВО России

Для найденного уравнения тренда необходимо провести оценку его надежности (адекватности), что осуществляется обычно с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическим (табличным) значением F_Т (Приложение 8). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле (96):

, (96)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда.

Для проверки правильности расчета сумм в формуле (96) можно использовать следующее равенство (97):

. (97)

В нашем примере про  ВО равенство (97) соблюдается (необходимые суммы рассчитаны в трех последних столбцах табл. 29): 165314,129 = 13483,473 + 151830,656.

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется при заданном уровне значимости⁴ с учетом степеней свободы: и . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Проверим тренд на адекватность в нашем примере про ВО по формуле (96):

F_Р = 151830,656*6/(13483,473*1) = 67,563 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т = 5,99 находим по Приложению 8 в 1-ом столбце [ = k – 1 = 2 – 1 = 1] и 5-й строке [ = n – k = 6]).

Как уже было отмечено ранее, в нашем примере про  ВО России можно произвести выравнивание не только по прямой линии, но и по параболе, чего делать не будем, так как уже найденный линейный тренд адекватно описывает тенденцию⁵.

При составлении прогнозов  уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (98):

, (98)

где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n–1 (приложение 9)⁶; – ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (99):

. (99)

Спрогнозируем ВО России на 2008 и 2009 годы с вероятностью 0,95 (значимостью 0,05), для чего найдем ошибку аппроксимации по формуле (99): = = 47,405 и найдем коэффициент доверия по распределению Стьюдента по Приложению 9: = 2,3646 при = 8 – 1= 7.

Прогноз на 2008 и 2009 годы с вероятностью 0,95 по формуле (98):

Y₂₀₀₈ = (294,4875+30,0625*9) 2,3646*47,405 или 452,96<Y₂₀₀₈<677,14 (млрд. долл.);

Y₂₀₀₉ = (294,4875+30,0625*11) 2,3646*47,405 или 513,08<Y₂₀₀₉<737,27 (млрд. долл.).

Как видно из полученных прогнозов, доверительный интервал достаточно широк (из-за достаточно большой величины ошибки аппроксимации). Более точный прогноз можно получить при выравнивании по параболе 2-го порядка⁷.

 

Методические указания

По данным ФСГС сальдо внешней торговли (СВТ) России за период 2003-2007 гг. характеризуется рядом динамики, представленным в табл. 30.

Таблица 30. Сальдо внешней торговли (СВТ) России за период 2003-2007 гг.

Год	2003	2004	2005	2006	2007
Млрд. долл. США	76,3	106,1	142,8	163,4	152,8

Проанализируем данный ряд динамики: выявим тенденцию и  сделаем прогноз на 2008 и 2009 годы с вероятностью 0,95.

Для большей наглядности  представим данные табл. 30 на графике – рис. 19.

 

Рис. 19. Сальдо внешней торговли (СВТ) России за период 2000-2006 гг.

Данные табл. 30 и рис. 19 наглядно иллюстрируют постепенный рост и последующее уменьшение СВТ России за период 2003-2007 гг. Очевидно, что такую динамику не следует описывать линейной функцией тренда. Попробуем описать эту динамику с помощью тренда по параболе 2-го порядка по формуле (87). Параметры параболы (a₀, a₁, a₂) определим методом МНК, для чего в формуле (93) вместо записываем выражение параболы . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении a₀,  a₁, a₂ функция трех переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по a₀,  a₁, a₂ и приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему трех уравнений с тремя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение  на 2, раскрыв скобки и перенеся члены  с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

 (100)

Упростим систему (100), введя условную нумерацию t от середины ряда. Тогда ∑t = 0 и ∑t³ = 0, а система (100) упростится до следующего вида: