Моделирование систем

Курсовой  проект

Для решения  системы n линейных уравнений с n неизвестными используют методы Гаусса и Крамера. Метод Крамера состоит в использовании определителей, при этом значения неизвестных определяются по формуле:

xj=Dj/D ,

D – определитель левой части системы уравнений, состоящий из коэффициентов при неизвестных;

Dj – определитель, получившийся из D заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Метод Гаусса уменьшает объем  вычислительной работы по сравнению  с методом Крамера и обеспечивает непрерывный контроль вычмслений. В результате этого метода конечный вариант уравнений выглядит так:

 х1+Ах2+Вх3=С;

          х2+Dх3=Е;

                   х3=F.

Задание 1. Вариант №2

Пользуясь формулами Крамера, решить систему уравнений:

3х1 - 5х2 + 3х3=46;

х1 + 2х2 + х3=8;

х1 - 7х2 - 2х3=5.

           3  -5   3

∆=       1  2    1 = (-12-5-21)-(6-21+10)= -38+5= -33

1  -7   -2

 

             46  -5   3

∆1=       8    2    1 = (-184-25-168)-(30-322+80)= -374+212= -165

  5   -7   -2

 

           3  46   3

∆2=    1   8    1 = (-48+15+46)-(24+15-92)=13+53=66

           1   5    -2

 

           3  -5   46

∆3=    1   2    8 = (30-322-40)-(92-168-25)= -332+101= -231

           1   -7   5

Вычисляем хj:

х1= ∆1/∆= -165/-33=5;

х2=∆2/∆=66/-33= -2;

х3=∆3/∆= -231/-33=7.

Проверка:

3·5 - 5·(-2) + 3·7=46

5 + 2·(-2) + 7=8

5 - 7·(-2) - 2·7=5

При подстановке  полученных значений выполняется равенство  во всех трех уравнений, что говорит  о правильности решения.

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2:

Вариант №32

Методом исключения неизвестных (метод Гаусса) решить систему линейных уравнений:

8х1+5х2-10х3-3х4=37;

 х1+5х2+3х3+2х4=13;

 х1+х2=5;

3х1-2х2-2х3+х4=-2.

8	5	-10	-3	37
1	5	3	2	13
1	1	0	0	5
3	-2	-2	1	-2

 

Находим определитель основной матрицы:

8   5   -10   -3

∆=  1   5    3      2 = 8·35/8·31/35·98/31=98

1    1     0     0

3   -2    -2    1

Определитель  отличен от нуля.

Исключаем переменную х1. Разделим первую строку на 8, чтобы  в первом уравнении х1 было с коэффициентом 1.

1	0,625	-1,25	-0,375	4,625
1	5	3	2	13
1	1	0	0	5
3	-2	-2	1	-2

 

 

 

 

Вычитаем из второй и третьей строчек первую строку.

1	0,625	-1,25	-0,375	4.625
0	4,375	4,25	2,375	8,375
1	1	0	0	5
3	-2	-2	1	-2

 

1	0,625	-1,25	-0,375	4.625
0	4,375	4,25	2,375	8,375
0	0,375	1,25	0,375	0,375
3	-2	-2	1	-2

 

Делим четвертую  строку на 3, чтобы коэффициент был 1 и из нее вычитаем первую строку.

1	0,625	-1,25	-0,375	4.625
0	4,375	4,25	2,375	8,375
0	0,375	1,25	0,375	0,375
0	-3,875	1,75	2,125	-15,875

 

Исключаем переменную х2. Разделим вторую строку на 4,375. Вычитаем из третьей строки вторую, но перед этим разделив третью строку на 0,375. Также разделяем четвертую строку на -3,875 и из нее вычитаем вторую строку.

1	0,625	-1,25	-0,375	4,625
0	1	0,971429	0,542857	1,914286
0	0	0,885714	0,171429	-0,34286
0	0	5,514286	4,228571	-8,45714

 

Исключаем переменную х3. Разделим третью строку на 0,885714. И вычитаем из четвертой строки  третью строку, предварительно разделив четвертую строку на 5,514286.

1	0,625	-1,25	-0,375	4,625
0	1	0,971429	0,542857	1,914286
0	0	1	0,193548	-0,3871
0	0	0	3,16129	-6,32258

 

 

Разделяем четвертую  строку на 3,16129.

1	0,625	-1,25	-0,375	4,625
0	1	0,971429	0,542857	1,914286
0	0	1	0,193548	-0,3871
0	0	0	1	-2

 

Таким образом получили:

 х1+0,625·х2-1,25·х3-0,375·х4=4,625;

                 х2+0,971429·х3+0,542857·х4=1,914286;

                                       х3+0,193548·х4=  -0,3871;

                                                             х4= -2.     

 Посчитаем остальные переменные.

х3= -0,3871-0,19354·(-2)=0

х2=1,914286-0,971429·0-0,542857·(-2)=3

х1=4,625-0,625·3+1,25·0+0,375·(-2)=2

x1=	2
x2=	3
x3=	0
x4=	-2

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверяем подставляя в исходные уравнения: 

 

 

 

 

Проверка выполнена. Найденное решение верно.

Задание 3.

Вариант №62

Найти матрицу, обратную данной.

9     9      5

4     -1    -2

14   13    7

 

1 способ.

Способ, при  котором сначала находим определитель. Потом нахождение значение каждого  элемента, с помощью вычеркивания соответствующего столбца и строки. И в итоге умножить определитель в степени (-1) на полученную матрицу.

Находим определитель матрицы.

|A|=(-63+260-252)-(-70-234+252)= -55+52= -3

А₁₁=(-1)²   -1   -2 = -7+26=19

13    7 

 

А₁₂=(-1)³   4   -2 = -1·(28+28)= -56

14    7

А₁₃=(-1)⁴    4   -1 = 52+14=66

14  13

А₂₁=(-1)³    9    5 = -1·(63-65)=2

13    7

А₂₂=(-1)⁴   9     5 = 63-70= -7

14    7

А₂₃=(-1)⁵   9     9 = -1·(117-126)=9

14   13

А₃₁=(-1)⁴    9     5 = -18+5= -13

-1    -2

А₃₂=(-1)⁵    9    5 = -1·(-18-20)=38

4    -2

А₃₃=(-1)⁶    9    9 = (-9-36)= -45

4    -1

А^-1=-1/3·   19   2   -13     =  - 6,33   -0,67      4,33

-56  -7   38  18,67   2,33    -12,67

66   9   -45   -22       -3         15

 

 

 

 

 

 

Обратная матрица
-6,33	-0,67	4,33
18,67	2,33	-12,67
-22	-3	15

Проверка:

Исходная матрица
9	9	5
4	-1	-2
14	13	7

      

 

Умножаем эти две матрицы:

Единичная матрица
1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

Получили единичную  матрицу. Значит вычисления сделаны  правильно.

2 способ.

Заключается в  том, что взяв исходную матрицу мы начинаем делать из нее единичную. В  соответствии с этим производив те же действия с единичной матрицей, в конце получим обратную матрицу.

Единичная матрица			Исходная матрица
1	0	0	9	9	5
0	1	0	4	-1	-2
0	0	1	14	13	7

 

В первом столбце  нужно первую ячейку сделать 1,остальные 0. Для этого делим первую строку на 9, вторую строчку и третью обнуляем по первому столбцу. Вычитаем из них значения с противоположным знаком. (-4) и (-14)

Выполняем  эти  действия и с единичной матрицей.

Единичная матрица			Исходная матрица
0,111111	0	0	1	1	0,555556
-0,44444	1	0	0	-5	-4,22222
-1,55556	0	1	0	-1	-0,77778

 

Делаем те же действия со вторым столбцом. Но теперь единицу делаем во второй строчке, а остальные обнуляем. Делим вторую строчку на -5. Остальные строки обнуляем по второму столбцу. Тоже делаем и с единичной матрицей.

Единичная матрица			Исходная матрица
0,022222	0,2	0	1	0	-0,28889
0,088889	-0,2	0	0	1	0,844444
-1,46667	-0,2	1	0	0	0,066667