Моделирование динамических систем

Министерство высшего образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тульский государственный университет

Институт высокоточных систем им. В.П. Грязева

Факультет «Системы автоматического управления»

Кафедра «Приборы управления»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольно-курсовая работа

 

по дисциплине

 

Моделирование динамических систем

 

Вариант №1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тула, 2013

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Задачей контрольно – курсовой работы является закрепление полученных знаний в области применения компьютерных технологий, углубление навыков, приобретенных на практических и лекционных занятиях по курсу «Моделирование динамических систем».

Целью работы является проведение численного моделирования системы, описанной системой дифференциальных уравнений (передаточной функцией). Для этого нужно решить следующие задачи:

 

1. построить систему дифференциальных уравнений первого порядка;
2. получить передаточную функцию;
3. составить схемы моделирования методом последовательного (непосредственного) интегрирования, методом вспомогательной переменной и методом канонической формы;
4. построить системы уравнений, соответствующие методам последовательного (непосредственного) интегрирования, вспомогательной переменной и канонической формы;
5. составить схемы моделирования;
6. получить матрицы пространства состояний в нормальной форме, канонической форме и форме простых сомножителей;
7. определить значения коэффициентов для всех схем моделирования;
8. смоделировать переходные процессы в системе для всех схем моделирования и сделать вывод о результатах моделирования.
9. для нелинейной системы необходимо построить схему моделирования и привести результаты моделирования для заданных входных воздействий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

 

№ Варианта	Передаточная функция
1		2	20	23

 

Передаточная функция примет окончательный вид:

Получим дифференциальное уравнение системы 3-его порядка:

;

 

 

 

1.1 Метод последовательного интегрирования

 

Первое уравнение системы будет иметь вид:

Ему соответствует передаточная функция

Суть метода последовательного интегрирования состоит в том, что дифференциальное уравнение разрешают относительно старшей производной:

 

 

а младшие производные и сам выходной сигнал получают последовательным интегрированием сигнала старшей производной. При этом выходная переменная и ее производные заменяется машинными переменными:

, , ,

 

Тогда уравнение принимает вид:

 

Для составления схем второго уравнения системы обратимся к передаточной функции:

Из последнего выражения следует:

,

отсюда из теоремы Лапласа об изображении производной получаем:

 

Тогда выходной сигнал представляется в виде суммы сигналов :

.

 

 

Рисунок 1 – схема моделирования методом последовательного интегрирования

 

 

Рисунок 2 - результат моделирования методом последовательного интегрирования

 

Система дифференциальных уравнений, соответсвующих схемы моделирования рисунка 1, имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Метод канонической формы

 

Суть метода состоит в том, что исходное уравнение разрешают относительно искомой переменной . Для этого его записывают в операторной форме:

,  

и делят на , где – порядок уравнения:

.

Далее уравнение разрешают относительно и группируют по степеням :

.

Отсюда получают выражение для выходного сигнала :

Схема моделирования методом канонической формы имеет вид, представленный на рисунке 3.

 

Рисунок 3 – Схема моделирования методом канонической формы

 

 

 

 

 

Рисунок 4 - результат моделирования методом канонической формы

 

Система дифференциальных уравнений, соответствующая схеме моделирования на рисунке 3, имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Метод вспомогательной переменной

 

Вводим вспомогательную переменную:

Этой передаточной функции соответствует уравнение:

,отсюда

   

Из передаточной функции следует, что в операторной форме

,

отсюда, на основании обратного преобразования Лапласа:

.   

Введем переменные:

, , .

Уравнения и   с учетом переменных , образуют систему уравнений, решающую дифференциальное уравнение:

 

 

Схема моделирования, соответствующая системе уравнений, представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 – схема моделирования методом вспомогательной переменной

 

 

Рисунок 6 – Результат моделирования методом вспомогательной переменной

 

1.4 Модель в пространстве состояний в нормальной форме

 

Составляем дифференциальное уравнение:

 

,

.

 

Производим переход к машинным переменным

Вектор состояний состоит из 3-х элементов: .

Дифференциальное уравнение приобретает вид:

 

.

 

Получаем следующую систему уравнений:

.

Отсюда находим матрицы пространства состояний:

 

.

Рисунок 7 – схема моделирования методом модели в пространстве состояний в нормальной форме

 

 

Рисунок 8 – результат моделирования методом модели в пространстве состояний в нормальной форме

 

 

1.5 Модель в пространстве состояний в канонической форме

 

Перейдем к канонической форме передаточной функции. Корни знаменателя равны:

 

,

,

.

Следовательно,

,

, ,

 

и передаточная функция окончательно принимает вид:

.

Отсюда находим матрицы пространства состояний:

, , , , .

Рисунок 9 – схема моделирования методом модели в пространстве состояний в канонической форме

 

 

Рисунок 10 – результат моделирования методом модели в пространстве состояний в канонической форме

 

 

1.6 Модель в пространстве состояний в форме простых сомножителей

 

Пусть передаточная функция задана в нормальной форме

 

Представим передаточную функцию в виде сомножителей. Корни знаменателя равны:

,

следовательно, передаточная функция принимает вид:

.

Отсюда находим матрицы пространства состояний:

, , , , .

Рисунок 11 – схема моделирования методом модели в пространстве состояний в простых сомножителях

 

 

Рисунок 12 – результат моделирования методом модели в пространстве состояний в простых сомножителях

 

 

Вывод: во всех рассмотренных нами методами моделирования мы получили одинаковые результаты, потому что в основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

 

 

Задание 2

Дано:

Вариант	Нелинейность
1	1	2	±0,5	10	0,05	0,07	0,5

 

где .

Нелинейность : 

 

          

 

 

Подставляя значения получим:

Схема моделирования, соответствующая системе уравнений, представлена на рисунке 13.

Рисунок 13 – схема моделирования

 

 

Рисунок 14 – результат моделирования