Интуиционистская и многозначная логика

5. Тетралогика

 Если не считать n-значной системы Поста, которая с логической точки зрения при n 3 представляется достаточно тривиальной и не вносящей ничего принципиально нового по сравнению с трилогикой, то можно считать, что первый шаг в области тетралогики был сделан также Лукасевичем (1957 г. [40] ). Суть предложенного подхода заключалась в том, что неопределенность разделялась на два логических значения: “вероятность” (как приближение к “истине”) и “невероятность” (как приближение ко “лжи”). Причем данный шаг интерпретировался как явное выражение тех идей, которые в зародышевом виде содержались уже в аристотелевой логике. Следует признать, однако, что как и система Поста, данная логика существенно не продвинула развитие логических идей по сравнению с трилогикой, так как все построения по-прежнему оставались в одномерном пространстве - в пределах оси “0-1”.

Одной из ранних попыток осмысленного выхода за пределы одномерного логического пространства была реализована уже в первых веках нашей эры в весьма сложной с логической точки зрения концепции Троицы, что, надо полагать, явилось результатом исчерпания (в основном) философского потенциала античной дилогики и необходимостью дальнейшего развития интеллектуального инструментария. Кажущаяся несогласованность догмата о “триединой, единосущной и нераздельной” христианской Троице с формальной логикой (фактически - дилогикой) толкала многих на “еретические”построения, которые по сути своей являлись различными вариантами сведения ее многомерной логики к более привычной одномерной. Это непонимание не исчерпало себя и к XX веку. Другой крайностью и по сей день является сознательный отказ от понимания всех тонкостей догмата. Так, например, о. Павел Флоренский в своей книге “Столп и утверждение истины” утверждал, что положения догмата Троицы антимоничны (противоречивы по форме), а, следовательно, для рассудка ничего не значат и могут быть лишь “преодолены подвигом веры”. Однако, академик Б.В. Раушенбах убедительно показал, что математика к настоящему времени по существу уже оперирует математическими объектами, обладающими всеми логическими свойствами Троицы, и в качестве примера такого объекта привел вектор с тремя ортогональными составляющими [29]. Другими попытками преодоления одномерности логики можно считать древнекитайскую концепцию “гармонии противоположностей” (через взаимопроникновение и взаимодополнение противоположных начал Инь и Ян) и диалектическую концепцию “единства и борьбы противоположностей”.

В вычислительной технике возможность и необходимость выхода за пределы одномерного логического пространства впервые была достаточно четко декларирована в 1976 году американским математиком Н. Белнапом в работах “Как нужно рассуждать компьютеру” и “Об одной полезной четырехзначной логике” [12], в которых была предложена четырехзначная логика со следующими значениями истинности: T - “только Истина” (True); F - “только Ложь” (False); N - “ни Истины, ни Лжи” (None); B - “и Истина и Ложь” (Both). Необходимость четырехзначной логики обосновывалась тем, что входные данные могут поступать в компьютер из различных независимых источников, что может привести к достаточно типичной информационной ситуации: появлению противоречивой информации. Предложенная логика рассматривалась как средство практического преодоления такой ситуации.

В 1996 году независимо и практически одновременно вводится специальное понятие “тетралогика” для обозначения четырехзначной логики в работах [2] и [20]. В частности, в работе [20] введение данного понятия аргументировалось следующим образом: “Простейший учет внешней неопределенности состоит в переходе к тетралогике с фатальным (квадратным) нулем, который метит абсурдные ситуации внешней неопределенности фактических и априорных знаний в шкале (0,1,), и наличие на значимом входе любой функции квадратного нуля порождает на выходе функции знак []. При отсутствии в процессе фатальных ошибок и внутренних неопределенностей трилогика и тетралогика воспроизводят классическую логику”.

В работе [2] и данной статье тетралогика трактуется существенно шире. Во-первых, предполагается возможность построения различных вариантов тетралогики, включающих в качестве логических значений кроме классических 1 (“истина”) и 0 (“ложь”) также различные парные комбинации следующих значений: А (“неопределенность”, “непроявленность” - аналогично N в логике Белнапа), М (“множественность” - аналогична В в логике Белнапа), М - (“возможность”, “равновероятность” - аналогична значению “возможно” в трилогике Лукасевича), S (“симметричность”, “отражение”), S (“возможность симметричности”) и другие. Во-вторых, четко декларируется три вида логических значений, отличных от классических: первый вид - это значение полной неопределенности А; второй - неопределенность однозначных значений (М, S и др., расположенные в логическом пространстве на границах квадратах MRSD); и третий -выражающий многозначность или множественность значений (М, S и др. На границах квадрата MRSD), что, соответственно, в зависимости от конкретных ситуаций и задач, позволяет с максимальной эффективностью реализовывать и использовать одни или другие варианты тералогики. В-третьих, что наиболее существенно, тетралогика в различных ее проявлениях рассматривается прежде всего как основа для построения эффективных систем кодирования количественной информации, обладающих по сравнению с традиционными рядом качественных преимуществ.

“Проблема отрицания” в тетралогике и других гиперлогиках требует существенно более глубокой проработки, чем в дилогике. В первом приближении различные альтернативы операции логического отрицания могут задаваться как симметричные преобразования относительно тех или иных осей двумерного логического пространства. Например, отрицание в дилогике и трехзначной логике Лукасевича есть симметричное отражение относительно оси АМ.

6. Монокоды

Несколько упрощенно монокоды можно определить как коды без ноля. Другими характерным признаками монокодов является их непозиционность и представление значений соответствующим количеством определенных предметов или знаков. Другими словами, в случае монокодов некоторое количество чего-либо прямо репрезентуется соответствующим количеством счетных знаков или предметов. Простейшими примерами монокода есть нарастающие ряды зарубок или других однородных меток, которые не только сегодня служат простейшим средством для последовательного подсчета каких-либо событий, но и по многочисленным археологическим свидетельствам являлись на ранних этапах развития цивилизации единственным средством фиксации числовых значений (см., например, [23] ).

Многие из первичных форм и приложений монокода сохранились в употреблении и сегодня. Наиболее типичный пример: точечные обозначения на игральных костях, использование которых в обиходе древнейших носителей индоевропейского праязыка подтверждается не только древнеиндийскими тестами, но и целым рядом археологических находок (см., например, [31] ). Другим наглядным примером являются костяшки счетов, ведущих свою родословную от древнейшего счетного прибора - абака.

Несмотря на кажущуюся примитивность, уже простейшие формы монокода могли использоваться для весьма сложных вычислений и, что особенно важно в контексте данной статьи, построения довольно развитых средств вычислительного моделирования. Наиболее ярким (и пока фактически уникальным) примером такого рода является хранящаяся в Эрмитаже пластина из мамонтовой кости, возраст которой по разным оценкам может составлять от 15-ти до 25-ти тысяч лет. Детальная реконструкция и расшифровка точечных узоров на пластине позволяет достаточно уверенно идентифицировать ее как тщательно продуманный вычислительный прибор, позволяющий относительно просто отслеживать и прогнозировать основные календарные и астрономические события, а также - изменения в видимом положении небесных тел [24].

Одной из основных проблем при работе с монокодами является представление больших чисел. Поэтому развитие монокодов шло в основном по пути введения специальных знаков для определенных количеств, что должно было облегчать представление относительно больших значений. Так, например, уже на ранних стадиях (3200 г. до н. э.) развития цивилизации Древнего Египта существовали отдельные обозначения для чисел до девяти (в виде вертикальных черточек), десятков (короткий изогнутый отрезок веревки), сотен (спирально свернутый отрезок веревки, по форме напоминающий узоры на упомянутой выше пластине), а также - тысяч, десятков, сотен тысяч и миллиона [37]. Известны также изыскания пифагорейской школы в области так называемых фигурных чисел. Наиболее же развитыми системами монокода явились греческая и кириллическая алфавитная цифирь, т. е. система представления цифровых значений символами алфавита со специальными обозначениями. Такая форма записи чисел была общеупотребительной в России вплоть до XVIII века.

Из сохранившихся сегодня в употреблении развитых форм монокода необходимо отметить в первую очередь римскую систему нумерации.

Заметим, что ранние формы монокода были максимально удобны для последовательного инкрементного (или декрементного) счета. Поздние формы монокода были относительно хорошо приспособлены для компактного представления натуральных чисел вплоть до миллионов. Однако уже простое сравнение чисел, представленных монокодами, а тем более - выполнение с ними основных арифметических операции, являлось чрезвычайно сложной задачей. В связи с этим практически повсеместно для вычислительных операций использовались специальные средства типа абака, существенно облегчающие манипуляции с монокодами.

Абак оставался в качестве основного вычислительного средства вплоть до широкого распространения десятичной “арабской” системы, включившей нуль в качестве одной из равноправных цифр.

7. Дикоды

Дикоды могут быть определены как “позиционные системы с нулем”, основанные на использовании дилогики. Наиболее простой и очевидной формой дикода является классический двоичный (бинарный) код, к которому могут быть сведены и все другие из используемых сегодня в вычислительной технике систем счисления: троичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатиричная и пр.

“Изобретение нуля” по праву считается одним из важнейших шагов на пути к современной математике. Достаточно отметить такой факт, что в математический язык понятие “алгоритм” пришло вместе с нулем [35, с. 93]: одним из первых источников, принесших вместе с десятичной позиционной системой понятие нуля в Западную Европу, стал латинский перевод XII века книги известного арабского мыслителя IX века аль-Хорезми, которая в переводе называлась “Об индийском числе, сочинение Алгоризми”. Вынесенное в заглавие латинизированное имя автора как раз и стало прообразом слова “алгоритм”. Практически одновременно, от названия другой книги аль-Хорезми, сформировалось и понятие “алгебра”, что отнюдь не случайно. Ибо с введением нуля, а фактически, в нашей интерпретации, при переходе от монокодов к дикодам, появилась реальная возможность достаточно простой алгоритмизации основных арифметических действий, что послужило стимулом и основой развития алгебраического методов в математике. Процесс перехода от монокодов к дикодам в Европе растянулся на несколько столетий и проходил в острой борьбе, как тогда считали, двух наук: одной - математики на абаке, другой - математики без абака, на бумаге. Эта борьба известна в истории математики как борьба абакистов и алгоритмиков [10, с. 50].

Утверждение дикодов в качестве основной формы представления числовых значений открыло дорогу не только интенсивной алгоритмизации и алгебраизации математики, но и определило переход от абака к механическим арифмометрам, а также - к весьма своеобразным механическим устройствам вычислительного моделирования, работающих по принципу часового механизма (см., например, [28] ). Главный же успех дикодов был обеспечен электронными вычислительными машинами, в которых они оказались наиболее эффективными именно в своей простейшей двоичной форме. Однако с переходом к так называемым ненеймановским архитектурам, которые в настоящее время представлены в первую очередь массивно параллельными и сетевыми вычислительными структурами, начинает все более ощущаться ограниченность дикодов как практически единственных методов кодирования числовых значений в ЭВМ. Эта ограниченность выражается прежде всего в следующем (см. также [2] ):

  в современных массивно-параллельных системах удельный вес межпроцессорного информационного обмена соизмерим, а порой и превосходит удельный вес чисто вычислительных операций (см., например, [46] ), что требует максимального повышения компактности кодирования информации для внешнего обмена, в т. ч. даже за счет возможного повышения трудоемкости ее внутрипроцессорной обработки - кардинально же изменить здесь ситуацию на базе дикодов не представляется возможным;

  интенсивное распространение новых методических, вычислительных и алгоритмических подходов, например, т. н. мягких вычислений, генетических алгоритмов и т. п., требует соответствующей поддержки их как на аппаратном уровне, так и на уровне форматов данных и форм кодирования числовой информации; при этом желательно обеспечивать это не специфическими для каждого из подходов средствами, а максимально универсальными, что в рамках ориентации исключительно на дикоды представляется крайне затруднительным;

  расширение применения различных форм вычислительного моделирования, в том числе с использованием массивно параллельных структур, предполагает реализацию различных источников сигналов, в том числе стохастических, а также - требует эффективного численного описания различных сложных структур реального мира, в т. ч. характеризуемых вариабельностью параметров, а также - той или иной степенью регулярности структурной организации, что также практически не поддерживается традиционными дикодами.

8. Гиперкоды

Подобно тому, как переход от монокодов к дикодам открыл принципиально новые возможности для развития математики и новых вычислительных средств, переход к гиперкодам также может открыть новые горизонты как в теоретическом плане, так и с точки зрения практической эффективности.

Основные особенности гиперкодов рассмотрим на примере различных вариантов тетракода. В качестве иллюстраций будем использовать отображения трехразрядных кодовых комбинаций на числовую ось, представляющую целочисленные значения от 0 до 7 (эта операция по сути своей аналогична преобразованию тетракодов в простейший монокод, который для небольших численных значений является существенно более наглядным, чем прочие коды). При этом обозначать значения на числовой оси будем при помощи следующих символов: “-“ - незадействованные значения; “+” - значения, безусловно представленные тетракодом; “~” - неопределенные значения, задаваемые символом А; “=” - одно из возможных альтернативных значений; “а”, “b”... - возможные альтернативные значения из наборов а, b...

Простейшие комбинации типа 000 или 001 отображаются на числовой оси единичными значениями соответственно как [+ - - - - - - -] или [- + - - - - - -] и т. п.