Интуиционистская и многозначная логика

Фреге был типичным представителем логики конца XIX в., свободной от каких бы то ни было парадоксов, логики, уверенной в своих возможностях и претендующей на то, чтобы быть критерием строгости даже для математики. Парадоксы показали, что абсолютная строгость, достигнутая якобы логикой, была не более чем иллюзией. Они бесспорно показали, что логика — в том интуитивном виде, какой она имела на рубеже веков, — нуждается в глубоком пересмотре.

Прошло около века с тех пор, как началось оживленное обсуждение парадоксов. Предпринятая ревизия логики так и не привела, однако, к недвусмысленному их разрешению.

220

И вместе с тем такое состояние вряд ли кого волнует сегодня. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они все еще остаются в центре внимания логиков, поиски их решений активно продолжаются. Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались, так сказать, локализованными. Они обрели свое определенное, хотя и неспокойное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногда в начале нынешнего, — это в принципе недостижимый идеал.

Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящей особняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разным типам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики. Обнаружение парадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции и заняться систематической переработкой основ науки логики. При этом стремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй, главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышления над центральными темами логики. Продолжая сравнение парадоксов с особо отчетливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленно исключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особенно заботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностях мышления.

§ 7. Несколько парадоксов, или то, что похоже на них

И в заключение этого короткого рассмотрения логических парадоксов — несколько задач, размышление над которыми будет полезно для читателя. Нужно решить, действительно ли приводимые утверждения и рассуждения являются логическими пара-

221

доксами или только кажутся ими. Для этого следует, очевидно, как-то перестроить исходный материал и попытаться вывести из него противоречие: и утверждение и отрицание одного и того же об одном и том же. Если обнаруживается парадокс, можно подумать над тем, с чем связано его возникновение и как его устранить. Можно даже попытаться придумать свой собственный парадокс такого же типа, т.е. строящийся по той же схеме, но на основе других понятий.

1. Тот, кто говорит: «Я ничего не знаю», высказывает как будто парадоксальное, внутренне противоречивое утверждение. Он заявляет, в сущности: «Я знаю, что я ничего не знаю». Но знание того, что никакого знания нет, есть все-таки знание. Значит, говорящий, с одной стороны, уверяет, что никакого знания у него нет, а с другой — самим утверждением этого сообщает, что некоторое знание у него все-таки есть. В чем здесь дело?

Размышляя над этим затруднением, можно вспомнить, что Сократ выражал сходную мысль более осторожно. Он говорил: «Я знаю только то, что ничего не знаю». Зато другой древний грек, Метродор, с полной убежденностью утверждал: «Ничего не знаю и не знаю даже того, что я ничего не знаю». Нет ли в этом утверждении парадокса?

2. Исторические события уникальны. История, если она и повторяется, то, по известному выражению, первый раз как трагедия, а второй — как фарс. Из неповторимости исторических событий иногда выводится идея, что история ничему не учит. «Быть может, величайший урок истории, — пишет О.Хаксли, — действительно состоит в том, что никто никогда и ничему не научился из истории».

Вряд ли эта идея верна. Прошлое как раз и исследуется главным образом для того, чтобы лучше понимать настоящее и будущее. Другое дело, что «уроки» прошлого, как правило, неоднозначны.

Не является ли убеждение, будто история ничему не учит, внутренне противоречивым? Ведь само оно вытекает из истории в качестве одного из ее уроков. Не лучше ли сторонникам этой идеи сформулировать ее так, чтобы она не распространялась на себя: «История учит един-

222

ственному —  из нее ничему нельзя научиться»,  или «История ничему не учит, кроме этого ее урока»?

3. «Доказано, что доказательств не существует». Это, как кажется, внутренне противоречивое высказывание: оно является доказательством или предполагает уже проведенное доказательство («доказано, что...») и одновременно утверждает, что ни одного доказательства нет.

Известный древний скептик Секст Эмпирик предлагал такой выход: вместо приведенного высказывания принять высказывание «Доказано, что никакого доказательства, кроме этого, не существует» (или: «Доказано, что ничего доказанного, кроме этого, нет»). Но не является ли этот выход иллюзорным? Ведь утверждается, по сути дела, что есть только одно-единственное доказательство — доказательство несуществования каких-либо доказательств («Существует одно-единственное доказательство: доказательство того, что никаких иных доказательств нет»). Чем тогда является сама операция доказательства, если ее удалось провести, судя по данному утверждению, только один раз? Во всяком случае, мнение самого Секста о ценности доказательств было не очень высоким. Он писал, в частности: «Так же, как правы те, кто обходится без доказательства, правы и те, кто, будучи склонным сомневаться, голословно выдвигает противоположное мнение».

4. «Ни одно высказывание не является отрицательным», или проще: «Нет отрицательных высказываний». Однако само это выражение представляет собой высказывание и является как раз отрицательным. Явный, как будто, парадокс. С помощью какой переформулировки данного утверждения можно было бы избежать парадокса?

Средневековый философ и логик Ж.Буридан известен широкому читателю рассуждением об осле, который, стоя между двумя одинаковыми охапками сена, обязательно умрет с голоду. Осел, как и всякое животное, стремится выбрать из двух вещей лучшую. Две охапки совершенно не отличаются друг от друга, и потому он не может предпочесть ни одну из них. Однако этого «буриданова осла» в сочинениях самого Буридана нет. В логике Буридан хорошо известен, и в частности

223

своей книгой о софизмах. В ней приводится такое умозаключение, относящееся к нашей теме: ни одно высказывание не является отрицательным; следовательно, существует отрицательное высказывание. Является ли этот вывод обоснованным?

5. Хорошо известно описание Н.В.Гоголем игры Чичикова с Ноздревым в шашки. Их партия так и не закончилась, Чичиков заметил, что Ноздрев мошенничает, и отказался играть, опасаясь проигрыша. Недавно один специалист по шашкам восстановил по репликам игравших ход этой партии и показал, что позиция Чичикова не была еще безнадежной.

Допустим, что Чичиков все-таки продолжил игру и в конце концов выиграл партию, несмотря на плутовство партнера. По уговору проигравший Ноздрев должен был отдать Чичикову пятьдесят рублей и «какого-нибудь щенка средней руки или золотую печатку к часам». Но Ноздрев скорее всего отказывался бы платить, упирая на то, что он сам всю игру мошенничал, а игра не по правилам — это как бы и не игра. Чичиков мог бы возразить, что разговор о мошенничестве здесь не к месту: мошенничал сам проигравший, значит, он тем более должен платить.

В самом деле, должен был бы платить Ноздрев в подобной ситуации или нет? С одной стороны — да, поскольку он проиграл. Но с другой — нет, так как игра не по правилам — это вовсе и не игра; ни выигравшего, ни проигравшего в такой «игре» не может быть. Если бы мошенничал сам Чичиков, Ноздрев, конечно, не обязан был бы платить. Но, однако, мошенничал как раз проигравший Ноздрев...

Здесь ощущается что-то парадоксальное: «с одной стороны...», «с другой стороны...», и притом с обеих сторон в равной мере убедительно, хотя эти стороны несовместимы.

Должен все-таки Ноздрев платить или нет?

6. «Всякое правило имеет исключения». Но ведь это утверждение само является правилом. Как и все иные правила, оно должно иметь исключения. Таким исключением будет, очевидно, правило «Есть правила, не имеющие исключений». Нет ли во всем этот парадокса? Какой из предыдущих примеров напоминают эти два

224

правила? Допустимо ли рассуждать так: всякое правило имеет исключения; значит, существуют правила без исключений?

7. «Всякое обобщение ошибочно». Ясно, что это утверждение суммирует опыт мыслительной операции обобщения и само является обобщением. Как и все иные обобщения, оно должно быть ошибочным. А значит, должны иметься верные обобщения. Однако правильно ли рассуждать так: всякое обобщение неверно, следовательно, есть верные обобщения?

8. Некий писатель сочинил «Эпитафию всем жанрам», призванную доказать, что литературные жанры, разграничение которых вызывало столько споров, умерли и можно о них не вспоминать.

Но эпитафия, между тем, тоже жанр в некотором роде, жанр надгробных надписей, сложившийся еще в античные времена и вошедший в литературу как разновидность эпиграммы:

Здесь я покоюсь: Джимми Хогг.

Авось грехи простит мне Бог,

Как я бы сделал, будь я Бог,

А он — покойный Джимми Хогг.

Так что эпитафия всем без изъятия жанрам грешит как будто непоследовательностью. Как лучше ее переформулировать?

9. «Никогда не говори «никогда». Запрещая употребление слова «никогда», приходится дважды употреблять это слово!

Аналогично обстоит, как кажется, дело с советом: «Пора бы тем, кто говорит «пора», сказать что-нибудь, кроме «пора».

Нет ли в подобных советах своеобразной непоследовательности и можно ли ее избежать?

10. В стихотворении «Не верьте», напечатанном, естественно, в разделе «Ироническая поэзия», его автор рекомендует не верить ни во что:

...Не верьте в колдовскую власть огня:

Горит, пока кладут в него дровишки.

225

Не верьте в златогривого коня

Ни за какие сладкие коврижки!

Не верьте в то, что звездные стада

Несутся в бесконечной круговерти.

Но что же вам останется тогда?

Не верьте в то, что я сказал.

Не верьте.

В.Прудовский

Но реально ли такое всеобщее неверие? Судя по всему, оно противоречиво и, значит, логически невозможно.

11. Допустим, что, вопреки общему убеждению, неинтересные люди все-таки есть. Соберем их мысленно вместе и выберем из них самого маленького по росту, или самого большего по весу, или какого-то другого «самого...». На этого человека интересно было бы посмотреть, так что мы напрасно включили его в число неинтересных. Исключив его, мы опять найдем среди оставшихся «самого...» в том же самом смысле и т.д. И все это до тех пор, пока не останется только один человек, которого не с кем будет уже сравнивать. Но, оказывается, этим он как раз и интересен! В итоге мы приходим к выводу, что неинтересных людей нет. А началось рассуждение с того, что такие люди существуют.

Можно, в частности, попробовать найти среди неинтересных людей самого неинтересного из всех неинтересных. Этим он будет, без сомнения, интересен, и его придется исключить из неинтересных людей. Среди оставшихся опять-таки найдется наименее интересный и т.д.

В этих рассуждениях определенно есть привкус парадоксальности. Допущена ли здесь какая-нибудь ошибка и если да, то какая?

12. Допустим, что вам дали чистый лист бумаги и поручили описать этот лист на нем же. Вы пишите: это лист прямоугольной формы, белый, таких-то размеров, изготовленный из прессованных волокон древесины и т.д.

Описание как будто закончено. Но оно явно неполное! В процессе описания объект изменился: на нем появился текст. Поэтому к описанию нужно еще до-

226

бавить: а кроме того, на этом листе бумаги написано: это лист прямоугольной формы, белый...и т.д. до бесконечности.

Кажется, что здесь парадокс, не так ли?

Хорошо известен детский стишок:

У попа была собака,

Он ее любил,

Она съела кусок мяса,

Он ее убил.

Убил и закопал,

А на плите написал:

«У попа была собака...»

Смог ли этот любивший свою собаку поп когда-нибудь закончить надгробную надпись? Не напоминает ли составление этой надписи полное описание листа бумаги на нем самом?

13. Один автор дает такой «тонкий» совет: «Если маленькие хитрости не позволяют достичь желаемого, прибегните к большим хитростям». Этот совет предлагается под заголовком «Маленькие хитрости». Но относится ли он на самом деле к таким хитростям? Ведь «маленькие хитрости» не помогают, и как раз по этой причине приходится прибегнуть к данному совету.

14. Назовем игру нормальной, если она завершается в конечное число ходов. Примерами нормальных игр могут служить шахматы, шашки, домино: эти игры всегда завершаются или победой одной из сторон, или ничьей. Игра, не являющаяся нормальной, продолжается бесконечно, не приводя ни к какому результату. Введем также понятие сверхигры: первым ходом такой игры является установление того, какая именно игра должна играться. Если, к примеру, вы и я намереваемся играть в сверхигру и мне принадлежит первый ход, я могу сказать: «Давайте играть в шахматы». Тогда вы в ответ делаете первый ход шахматной игры, допустим, е2 — е4, и мы продолжаем партию до ее завершения (в частности, в связи с истечением времени, отведенного турнирным регламентом). В качестве своего первого хода я могу предложить сыграть в крестики-нолики и т.п. Но игра, которая мною выбирается, должна быть нормальной; нельзя выбирать игру, не являющуюся нормальной.