Интуиционистская и многозначная логика

декакоды: C110= {1, 0, М, R, O, S, I, D, А, М}и др.;

гексадекакоды: С116= {1, 0, М, R, O, S, I, D, 1, 0, М, R, O, S, I, D}и т.д.

Аналогично тому, как это было сделано для логических систем, для всех систем кодирования третьего и более высоких порядков может быть введен обобщающий термин “гиперкоды”.

В совокупности перечисленные логические и кодовые системы образуют расширенный кодо-логический базис.

Следует отметить, что возможности расширения кодо-логического базиса не исчерпываются двумерным логическим пространством, в котором, в частности, не находят своего отражения в явном виде идеи нечеткой логики [19, 36, 48, 49, 50]. Этот недостаток может быть устранен расширением логического пространства до трехмерного путем введения вектора функций принадлежности в качестве третьей составляющей ортонормированного базиса. При этом двумерному пространству классических функций принадлежности нечеткой логики будет соответствовать плоскость, ортогональная осям “ложь” и “истина” и пересекающая их в точках логических значений 0 и 1.

2. Монологика

 Весьма существенным представляется введение в рассмотрение понятий монологики и монокодов, так как в данном случае имеет место отнюдь не абстрактная “манипуляция с терминологией”, а новый методический подход к систематизации и вовлечению в круг интересов компьютерных наук чрезвычайно важного массива интеллектуальных достижений человеческой культуры, практически выпавших из рассмотрения в современной информатике. Более того, анализ закономерностей и особенностей перехода от монологики к дилогике и от монокодов к дикодам позволит эффективно использовать этот опыт при переходе к гиперлогике и гиперкодам.

С уверенностью можно констатировать, что монологика явилась исторически первым логическим построением, освоенным человеческим мышлением. Этот факт однозначно отражен в особенностях построения так называемого праязыка, наиболее полно реконструированного сегодня на материалах индоевропейской языковой семьи (см., например, [25] ). Отмечаются, в частности, следующие реконструированные особенности генетически ранних языковых форм [23]:

во-первых, господство простых единичных суждений, выражающих и закрепляющих знания о тех предметах, которые в результате практических потребностей рассматривались как предметы отдельные;

во-вторых, как следствие, отсутствие способов синтаксического подчинения и дифференцированной системы союзных отношений, т. е. единственным способом выражения грамматических связей между словами в предложении было примыкание, а поэтому индоевропейское предложение было способным только к простому соположению слов, выражающих понятия, и, следовательно, речь могла строиться только в виде упрощенного монолога, состоящего из последовательности простых суждений (даже в классической латыни нередки случаи, когда сложное суждение еще не получает должного языкового выражения);

в-третьих, практически единственным видом умозаключений был вывод от единичного к единичному - явление, ярко выраженное сегодня в мышлении детей дошкольного возраста.

Сложноподчиненные предложения с подчинительными союзами (так, как, потому что, ибо, и т.п.) впервые появляются только после распада индоевропейской языковой общности и образования современных языковых семей, приспособленных для тонкой передачи не только мыслей любой сложности, но и их зависимости друг от друга. А это явление датируется примерно 5 - 3 тысячелетием до н. э.

В качестве примера можно обратиться к “Ригведе” (РВ) - древнейшему из сохранившихся текстов достаточно большого объема [30]. Та часть РВ, которая на сегодня уверенно идентифицирована как наиболее древняя, уходящая корнями устной традиции в эпоху индоевропейской общности, целиком и полностью выдержана в упрощенной монологической форме и состоит из слабо связанных логически последовательностей констатирующих суждений, призывов, заклинаний и риторических вопросов. Из более чем тысячи гимнов РВ не более чем два десятка с большей или меньшей достоверностью можно назвать диалогами, причем лишь в их зачаточной неразвитой форме. Даже в наиболее поздних частях РВ для диалогов характерны такие явления, как отсутствие достаточно ясной связи между репликами, впечатление об отсутствии каких-то звеньев в развитии событий, частая невозможность уверенной идентификации авторов реплик [30, с.492]. Для целей нашего изложения важно также отметить характерную для РВ неразвитость логического отрицания и вытекающей из него системы логических противопоставлений. Выражается это прежде всего в ярко выраженной и довольно хаотичной многозначности лексики, доходящей до того, что некоторые слова могут объединять в себе прямо противоположные значения, как, например, ari - “друг” и “враг”, maya - “сверхъестественная мудрость” и “обман”. При этом конкретное значение существенно зависит от контекста и не всегда может быть определено с достаточной степенью уверенности.

Характерным для РВ является также отсутствие каких-либо намеков на возможность логического получения знаний, что обусловлено невозможностью построения на базе монологики сколь-нибудь развитой системы логических операций. Авторы Ригведы обозначаются словом риши, которое кроме значения “мудрец” имеет также и значение “поэт”. “Поэт в обществе ариев был носителем той мудрости, которая в моменты озарения открывается богами отдельным избранным лицам. Поэт молит богов о том, чтобы ему были дарованы эти мгновения просветления, когда перед ним раскрывается божественная истина, скрытая от обычных людских взоров. Мудрость - это раскрывающаяся на мгновение картина. Способ ее постижения - видение. Видит поэт внутренним взором, интуицией, внезапная вспышка которой озаряет для него божественную картину истины... В смене этих откровений заключалось познание мира, кодируемое словом dhi - “мысль, представление, взгляд, понятие, интуиция, познание, разум.” [30, с.458]. В современном языке с внелогическим оформлением и синтезом знаний связаны именно слова, происходящие от упомянутого индоевропейского корня: например, “вдохновение” в русском языке и “надхнення” в украинском.

Из логических операций с монологикой уверенно может быть связана лишь импликация (лат. Implicatio - сплетение), соответствующая в современном обыденном языке связке “если..., то ...”. Если отождествить импликацию с логическим следованием в форме х  y, то содержание ее можно свести к следующим утверждениям: “если высказывание х истинно, то оно следует из любого высказывания y”, и “если х ложно, то из него следует любое у”. В современную формальную логику данные утверждения вписываются не без проблем, в связи с чем возникло понятие “парадокса материальной импликации” [33, c.218]. Одной из причин такой ситуации является, по-видимому, реликтовость данной операции, унаследованной бинарной логикой из монологики, где она еще до оформления ее в языковую конструкцию являлась основой построения простейших суждений “от единичного к единичному”.

В алгоритмическом плане монологике соответствует простая последовательность операторных вершин, выполнение которой реализуется в соответствии с правилом “если выполнен текущий оператор, то переходи к выполнению следующего”. Большинство современных инструкций по подготовке к эксплуатации технических устройств, например, являются именно такими простейшими алгоритмами.

3. Дилогика

Важнейшей предпосылкой перехода от монологики к дилогике явилась необходимость в четком оформлении понятия отрицании и соответствующей разработке системы противопоставлений. В монологике отрицание как таковое еще четко не оформлено и может пониматься в основном как “непроявленность”, неясность, недоступность для понимания. Так, например, в “Гимне о сотворении мира” в РВ отрицание интенсивно используется для описания непознаваемой ситуации “до сотворения”: “Не было не-сущего, и не было сущего тогда... Не было ни смерти, ни бессмертия тогда, Не было ни признака дня [или] ночи...” [14, с. 44], что в некоторых варианта перевода на современный язык может звучать вполне абсурдно: “Было не было и Не-было тоже...” [16, с. 125] ). Для античной же науки характерен как раз повышенный интерес к четкой проработке проблемы отрицания.

Для современного ученого чрезмерное увлечение пифагорейской школы учением о противоположностях представляется иногда весьма наивным, оправданным лишь для первых шагов познания. Однако, явление “гипериспользования”, когда применимость новшества испытывается везде, где это возможно, наблюдается повсеместно и в современной науке в процессе любых действительно многообещающих нововведений. Поэтому правильнее считать “науку о противоположностях” не первыми шагами научного познания как такового, начавшегося значительно раньше, в “эпоху монологики”, а начальным этапом “эпохи дилогики”. Связанной с этим “болезнью роста” можно считать и гипертрофированное использование древнегреческими философами диалоговой формы научных трактатов, несколько раздражающей своей навязчивостью современного читателя. Любопытно отметить, что последний ярко выраженный всплеск повышенного интереса к диалогу в научных текстах, имел место в XV веке, когда в Европе окончательно утверждалась в качестве основной системы записи чисел индийско-арабская система с нулем [35, с. 111]. А именно наличие и регулярное использование специального знака для нуля является наиболее характерным признаком дикодов, построенных на основе дилогики.

Основной современной формой дилогики стала бинарная логика, оперирующая значениями “истина” и “ложь”, однако определенный интерес могут представлять и другие её варианты, оперирующие, например, такими парами логических значений, как “истина” и “неизвестность” или “истина” и “многозначность”.

4. Трилогика

Простейшим строгим обобщением классической логики явилась трилогика - троичная логика, в которой к двум традиционным значениям “истина” и “ложь” добавляется в какой-либо форме значение неопределенности. При этом особый интерес представляет тот факт, что и в данном случае развитие логических систем было тесно связано с дальнейшей разработкой понятия отрицания.

Впервые формальная трехзначная пропозициональная логика была построена Лукасевичем в 1920 г. [41]. В ней “истина” обозначена как 1, “ложь” - 0, “нейтрально” (“возможно”) - 1/2. В качестве основных функций рассматриваются отрицание и импликация, а производными от них считаются конъюнкция и дизъюнкция, определяемые соответственно как минимум и максимум значений аргументов. Характерной особенностью логики Лукасевича является нейтральность операции отрицания в отношении значения “возможно”.

Обобщенная n-значная система Поста (1921 г. [44] ) предполагала уже введения двух видов отрицания: циклического N1 ( [N1x] = [x] + 1 при [x] n и [N1n] = 1) и симметричного N2 ( [N2x] = n - [x] + 1). При n = 2 эти отрицания совпадают, но уже при n = 3 они по разному оперируют с логическими значениями. Существенным при этом является единообразие влияния каждого из видов отрицания на весь набор логических значений.

Следующим существенным шагом в развитии трилогики является трехзначная система советского логика Бочвара (1938 г. [15] ), построенная на разделении высказываний на имеющие смысл (т. е. истинные или ложные) и бессмысленные. При этом “истина” обозначается как R, “ложь” - F, “бессмысленность” - S. Для данного набора значений таблично задаются уже три следующие вида отрицаний: a - внешнее отрицание;  a - внутреннее отрицание; a - внутреннее отрицание внешнего утверждения. Следует отметить, что данное построение, пожалуй впервые для разработок в области неклассических логик, оказалось весьма полезным практически для разрешения ряда парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. В частности, с помощью своей системы Бочвар смог разрешить парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств, доказав несуществование такого множества.

Среди последующих работ в области трилогики может быть выделена трехзначная система Рейхенбаха (1946 г. [45] ), которая заслуживает внимания хотя бы потому, что в ней многозначная логика впервые вводится исходя не из исключительно внутренних потребностей математики или логики как таковой, а ввиду потребностей несколько менее абстрактной специальной науки. Рейхенбах построил свою трехзначную систему для описания явлений квантовой механики. Основным положением системы является утверждение о том, что говорить об истинности или ложности высказываний правомерно лишь тогда когда возможно осуществить их проверку. Если же нельзя ни подтвердить, истинность высказывания (“верифицировать”), ни опровергнуть его с помощью проверки, то такое высказывание должно оцениваться третьим значением - неопределенно. Характерным примером являются высказывания о ненаблюдаемых объектах в микромире. Рейхенбах ввел 3 вида отрицаний: циклическое, диаметральное и полное, которые различаются в основном их действием в отношении “неопределенности”.

В современных условиях наибольший и постоянно возрастающий интерес к различным вариантам трилогики проявляют специалисты в области разработки интеллектуальных систем. В работе [20], например, вводится понятие информационного ноля  и троичная шкала Bit = {0,1, }, которая выражает абстрактную семантику номинативной (да, нет, не знаю да или нет) и логической (истина, ложь, истинность неизвестна) шкал. Информационный ноль в данном контексте определяет формализованную внутреннюю неопределенность переменной х =  в двоичной шкале. Операции классической логики переносятся при этом в трилогику следующим образом: если вариации неопределенных входных значений изменяют результат операции, то ей присваивается неопределенное значение  , в противном случае неопределенности “поглощаются” и троичная функция имеет вполне определенное значение.

Обобщая сложившиеся на сегодня наиболее распространенные подходы к реализации трилогики в компьютерных науках, ее операции можно свести в таблицу 1, в которой неопределенность обозначена в своем крайнем выражении как “неизвестность” А,  a есть отрицание а (понимаемое в его простейшем виде, характерном для бинарной логики), а+b и a b есть соответственно логическая сумма (дизъюнкция) и произведение (конъюнкция), а b - импликация (следование), a b - эквиваленция, а b - сумма по модулю 2, а b - стрелка Пирса (отрицание дизъюнкции), а b - штрих Шеффера (отрицание конъюнкции). Данная таблица будет выглядеть аналогично при замене А на другие виды неопределенности, например, М или М.

Таблица 1
 Основные операции трилогики