Синтез нейронной сети для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

СИНТЕЗ НЕЙРОННОЙ  СЕТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

                       Исполнитель: Смолькова Т. П. – студент группы № 955

                      Руководитель: Акилова И. М., доцент

Актуальность  и практическая значимость поставленной задачи.

Искусственные нейронные сети широко используются для решения как  инженерных, так и научных задач. Поскольку они оказались весьма эффективным средством обработки  информации, постоянно делаются попытки  расширить область их применения или найти новые принципы их построения и работы.

Общая характеристика исследуемой системы.

Несмотря на огромное число публикаций в настоящее время нет общепринятого определения искусственной нейронной сети (ИНС). Причина, скорее всего в том, что существует очень много различных типов ИНС.    Базовые нелинейные элементы ИНС называются формальными нейронами.    Как правило, формальный нейрон получает несколько входных сигналов  , суммирует их, выполняет нелинейное преобразование над этой суммой. Связи между нейронами характеризуются "весами"  . Нейроны могут также получать "внешние" сигналы   с весами  . Таким образом, типичная операция, выполняемая нейроном в сети, - это преобразование вида

после чего ИНС посылает у в качестве своего выходного сигнала другим нейронам или устройствам. Функцию ƒ называют функцией активации. Очень часто ƒ является "сигмоидной" функцией вида

ƒ = 1/(1 + e^-ax) или ƒ = tanh(ax)

В предельном случае а→∞, ƒ становится пороговой функцией.

Выходом нейронной сети служат состояния нейронов (всех или некоторых) по окончании всех промежуточных расчетов. Таким образом, основные черты нейронной сети следующие:

• Это устройство для обработки информации, получающее на входе сигнал Х (как правило, вектор) и вырабатывающее выходной сигнал Y = F(Х) (Y тоже может быть вектором).
• Она состоит из элементов - нейронов, которые работают параллельно, подобно нейронам мозга.
• НС способна обучаться. Обычно под обучением понимают процесс подборки весов ij для того, чтобы добиться желаемых свойств отображения F.

Общее описание используемых обеспечивающих подсистем.

       В качестве инструментального средства был использован пакет прикладных программ Neural Network Toolbox версии 4, функционирующий под управлением ядра системы Matlab версии 6.5.

MATLAB -  программный пакет для автоматизации математических вычислений.

Его функциональные возможности  охватывают все основные разделы  математики, такие как линейная алгебра, дифференциальные вычисления, геометрия, статистика и многие другие.

Использование “Neural Network Toolbox” совместно с другими  средствами MATLAB открывает широкий  простор для эффективного комплексного использования современных математических методов для решения самых разных задач прикладного и научного характера.

Краткое изложение полученных результатов  и примеры экранных форм.

Рассмотрим задачу решения  систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в нейросетевом базисе.

Для примера разработаем НС для решения системы уравнений в системе Simulink.

y'1 = y2,     (1) 
y'2 = -y1

при начальных условиях: y1(0) = -1, y2(0) = 0, t = 0…2π.

Блок-схема решения  системы (1) в нейросетевом базисе, созданная в среде Simulink, показана на рис.1.

 
Рис. 1-  Блок-схема решения системы (1) в нейросетевом базисе.

Для запуска схемы  из командной строки MatLab следует  набрать:

>> N=100;

>> h=2*pi/N;

>> sim('Koshi_neuro')

После открытия блока Scope можно увидеть графики решения задачи.

 

 
Рис. 2- График решения задачи в Simulink.

 

В результате моей работы были изучены основные принципы функционирования нейронных сетей при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений.